LekcjeRazem

Zadanie 8 – upraszczamy dane wyrażenie algebraiczne.

1. Krok 1 – Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki.

   Licznik pierwszego ułamka:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Mianownik pierwszego ułamka (pełny kwadrat):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Drugie wyrażenie pozostaje bez zmian: $\dfrac{x+2}{x}$.

   Całe wyrażenie przyjmuje postać:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$

2. Krok 2 – Skracamy czynniki wspólne.

   W liczniku mamy $x(x+1)(x+2)$, w mianowniku $(x+2)^2 \cdot x$.

   Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):

   $$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$

3. Krok 3 – Weryfikacja i analiza odpowiedzi.

   Otrzymany wynik to $\dfrac{x+1}{x+2}$, co odpowiada odpowiedzi B.

   • Odpowiedź A) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Taki wynik powstałby, gdyby niepoprawnie zsumowano lub przekształcono liczniki, ignorując właściwy rozkład $x^2+x = x(x+1)$.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Po rozłożeniu na czynniki i skróceniu $x$ oraz $(x+2)$ dokładnie ten wynik otrzymujemy.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie poprawnego przekształcenia; mógłby powstać wskutek błędnego dodawania mianowników.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Mianownik $4x+4 = 4(x+1)$ nie wynika z poprawnego upraszczania; prawdopodobnie pochodzi z błędnego mnożenia lub dodawania mianowników.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B) $\dfrac{x+1}{x+2}$.