LekcjeRazem

Rozwiązanie – Zadanie 11

1. Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

   Funkcja $f$ jest zdefiniowana na trzech przedziałach:

   • $x \in [-4, -2]$ – przedział domknięty,
   • $x \in (-2, 2]$ – przedział lewostronnie otwarty,
   • $x \in (2, 4)$ – przedział obustronnie otwarty.
   Suma tych przedziałów tworzy zbiór wszystkich argumentów funkcji: $$D_f = [-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,4) = [-4, 4)$$ Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału (domknięty od prawej), a do drugiego nie (otwarty od lewej) – jednak $-2$ jest objęte, bo $[-4,-2]$ zawiera $-2$. Punkt $x = 4$ nie należy do żadnego przedziału.

   Dziedzina funkcji $f$ to przedział $[-4, 4)$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

   Analizujemy wartości funkcji na każdym kawałku:

   • Dla $x \in [-4, -2]$: $f(x) = x + 5$.
     Funkcja liniowa rosnąca:
     – dla $x = -4$: $f(-4) = -4 + 5 = 1$,
     – dla $x = -2$: $f(-2) = -2 + 5 = 3$.
     Wartości tworzą przedział $[1, 3]$.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$.
     Funkcja stała – przyjmuje tylko wartość $3$.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x + 9$.
     Funkcja liniowa malejąca:
     – dla $x \to 2^+$: $f(x) \to -3 \cdot 2 + 9 = 3$ (wartość nieosiągana – przedział otwarty),
     – dla $x \to 4^-$: $f(x) \to -3 \cdot 4 + 9 = -3$ (wartość nieosiągana – przedział otwarty).
     Wartości tworzą przedział $(-3, 3)$.

   Łącząc wszystkie wartości: $$ZW_f = [1,3] \cup \{3\} \cup (-3,3) = (-3, 3]$$ Wartości z trzeciego kawałka dają $(-3,3)$, z pierwszego $[1,3]$ (które zawiera się w $(-3,3]$), a wartość $3$ jest osiągana (m.in. dla $x = -2$ i $x \in (-2,2]$).

   Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

3. Krok 3: Zbiór argumentów, dla których $f(x) > 0$

   Szukamy, dla których $x$ zachodzi $f(x) > 0$:

   • Dla $x \in [-4,-2]$: $f(x) = x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
     Ponieważ cały przedział $[-4,-2]$ spełnia $x > -5$, więc $f(x) > 0$ dla całego $[-4,-2]$.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3 > 0$ – warunek spełniony dla całego przedziału $(-2, 2]$.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $f(x) = -3x+9 > 0 \Rightarrow -3x > -9 \Rightarrow x < 3$.
     W połączeniu z $x \in (2,4)$ otrzymujemy $x \in (2, 3)$.

   Suma tych zbiorów: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,3) = [-4, 3)$$

   Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f(x) > 0$, jest przedział $[-4, 3)$.

4. Krok 4: Zbiór rozwiązań równania $f(x) = 3$

   Szukamy wszystkich $x$ z dziedziny, dla których $f(x) = 3$:

   • Dla $x \in [-4,-2]$: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$.
     Punkt $x = -2$ należy do $[-4,-2]$ ✓.
   • Dla $x \in (-2, 2]$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x$ w tym przedziale.
     Zatem $x \in (-2, 2]$ ✓.
   • Dla $x \in (2, 4)$: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$.
     Ale $x = 2 \notin (2,4)$ – punkt nie należy do dziedziny tej gałęzi ✗.

   Łącząc: $\{-2\} \cup (-2,2] = [-2, 2]$.

   Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Odpowiedzi końcowe:

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4,\ 4)}$.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3,\ 3]}$.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4,\ 3)}$.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2,\ 2]}$.