Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek:
$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2a_2 = a_1 + a_3$$
-
Krok 1 – Warunek ciągu arytmetycznego
Oznaczamy wyrazy ciągu:
$$a_1 = 2m+11, \quad a_2 = m^2+3, \quad a_3 = 5-m$$
Stosujemy warunek $2a_2 = a_1 + a_3$:
$$2(m^2+3) = (2m+11) + (5-m)$$
$$2m^2 + 6 = m + 16$$
$$2m^2 - m - 10 = 0$$
-
Krok 2 – Rozwiązanie równania kwadratowego
Obliczamy wyróżnik:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$
$$\sqrt{\Delta} = 9$$
Wyznaczamy miejsca zerowe:
$$m_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$
$$m_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$
Kandydatami są zatem $m = -2$ oraz $m = \dfrac{5}{2}$.
-
Krok 3 – Warunek malejącości ciągu
Ciąg arytmetyczny jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy jego różnica $r < 0$, czyli $a_3 - a_2 < 0$, co równoważnie oznacza $a_3 < a_2$.
Sprawdzamy różnicę $r = a_3 - a_2 = (5-m) - (m^2+3) = 2 - m - m^2$.
Dla $m = -2$:
$$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$
Różnica wynosi $0$, więc ciąg jest stały (ani rosnący, ani malejący). Wartość $m = -2$ nie spełnia warunku malejącości.
Dla $m = \dfrac{5}{2}$:
$$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = \frac{8-10-25}{4} = -\frac{27}{4}$$
Różnica $r = -\dfrac{27}{4} < 0$, więc ciąg jest malejący. Wartość $m = \dfrac{5}{2}$ spełnia oba warunki.
-
Krok 4 – Weryfikacja
Dla $m = \dfrac{5}{2}$ obliczamy wyrazy ciągu:
$$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$
$$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$
$$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$
Sprawdzamy warunek arytmetyczności:
$$a_2 - a_1 = \frac{37}{4} - 16 = \frac{37-64}{4} = -\frac{27}{4}$$
$$a_3 - a_2 = \frac{5}{2} - \frac{37}{4} = \frac{10-37}{4} = -\frac{27}{4}$$
Różnice są równe i ujemne — ciąg jest arytmetyczny i malejący. ✓
Odpowiedź: Szukaną wartością jest $\boldsymbol{m = \dfrac{5}{2}}$. Odpowiadający temu ciąg to $\left(16,\ \dfrac{37}{4},\ \dfrac{5}{2}\right)$ z różnicą $r = -\dfrac{27}{4}$.