LekcjeRazem

Rozwiązanie:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.

   Korzystamy z rekurencji $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   Stosujemy rekurencję dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$$

3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) 11 – POPRAWNA. Zgodnie z obliczeniami $a_3 = 11$.
   • Odpowiedź B) 7 – BŁĘDNA. Wynik $7$ można by otrzymać, gdyby zastosować wzór $a_3 = 2a_1 + 1 \cdot 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$, co jest niepoprawnym zastosowaniem rekurencji – należy wyznaczyć kolejne wyrazy po kolei, a nie podstawiać $a_1$ bezpośrednio do wzoru dla $a_3$.
   • Odpowiedź C) 5 – BŁĘDNA. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu $a_2$, nie trzeci.
   • Odpowiedź D) 4 – BŁĘDNA. Wartość $4$ to jedynie wynik działania $2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięto dodawanie $+1$ w rekurencji przy wyznaczaniu $a_2$, a następnie nie wykonano kolejnego kroku.

Odpowiedź: A) $a_3 = 11$