Dowód podzielności wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ przez $4$ dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$
-
Krok 1: Parametryzacja nieparzystej liczby naturalnej $n$
Każdą nieparzystą liczbę naturalną $n$ możemy zapisać w postaci:
$$n = 2k - 1$$
gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$). Dzięki temu dla $k=1$ otrzymujemy $n=1$, dla $k=2$ mamy $n=3$ itd. — są to kolejne nieparzyste liczby naturalne.
-
Krok 2: Podstawienie do wyrażenia
Wstawiamy $n = 2k-1$ do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$:
$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$
-
Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie
Obliczamy kolejno:
$$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$
Zatem:
$$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$
$$2(2k-1) = 4k - 2$$
Sumujemy wszystkie składniki:
$$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$
$$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$
$$= 12k^2 - 8k + 8$$
-
Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias
Z otrzymanego wyrażenia wyłączamy $4$ przed nawias:
$$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$
Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą.
-
Krok 5: Wniosek
Pokazaliśmy, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n = 2k-1$ zachodzi:
$$3n^2 + 2n + 7 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$
Wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i liczby całkowitej $3k^2 - 2k + 2$, zatem jest podzielne przez $4$.
Wynik końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7 = 4(3k^2 - 2k + 2)$, gdzie $n = 2k-1$, co dowodzi jego podzielności przez $4$. $\blacksquare$