Pamiętając o tym, że \(0,1=\frac{1}{10}\) i korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$100^5\cdot(0,1)^{-6}=100^5\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{-6}={(10^2)}^5\cdot10^{6}= \           ,\
=10^{10}\cdot10^{6}=10^{10+6}=10^{16}$$

\(150\%\) liczby \(c\) to tak naprawdę \(1,5c\). Możemy więc zapisać, że:
$$1,5c=78 \           ,\
c=52$$

Analizując podane przedziały możemy wywnioskować, że nasze liczby muszą należeć do przedziału \(\langle-1;5)\). Liczbami całkowitymi, które spełniają warunki zadania będą więc \(-1,0,1,2,3,4\). To oznacza, że takich liczb jest łącznie \(6\).

Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej. Otrzymamy wtedy:
$$2log\sqrt{10}+log10^3=log\sqrt{10}^2+log10^3=log10+log10^3$$

Z działu logarytmów powinniśmy pamiętać, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to jest ona równa \(10\). Mamy teraz dwie opcje, które równie skutecznie doprowadzą nas do sukcesu:

I sposób - korzystając z działań na logarytmach
Korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log10+log10^3=log(10\cdot10^3)=log10^4=4$$

II sposób - obliczając oddzielnie każdy logarytm
Logarytmu \(log10\) oraz \(log10^3\) są bardzo proste do samodzielnego obliczenia. Powinniśmy dostrzec, że \(log10=1\) oraz \(log10^3=3\), zatem:
$$log10+log10^3=1+3=4$$

Wiedząc, że \(0,(3)=\frac{1}{3}\) możemy całość zapisać w taki oto sposób:
$$0,(3)-\frac{23}{33}=\frac{1}{3}-\frac{23}{33}=\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}$$

Zadanie wydaje się bardzo proste i takie rzeczywiście jest, choć należy tutaj dobrze wykonać wszystkie działania arytmetyczne. Na początek chcielibyśmy pewnie pozbyć się ułamka i pomnożyć wszystko przez \(2\) i to jest bardzo dobry pomysł, ale trzeba to mnożenie dobrze wykonać (pamiętając o tym, że trzeba wymnożyć także \(-2x\)). Otrzymamy zatem:
$$\frac{2-x}{2}-2x\ge1 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
2-x-4x\ge2 \           ,\
2-5x\ge2 \           ,\
-5x\ge0 \quad\bigg/:(-5) \           ,\
x\le0$$

Zwróć uwagę, że dzieląc przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny.

Otrzymany wynik \(x\le0\) oznacza, że zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest przedział \((-\infty,0\rangle\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek funkcję \(g(x)\). W tym celu wystarczy przesunąć wykres funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w dół:


Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - wartość \(f(2)=0\) oraz \(g(2)=-2\), zatem faktycznie \(f(2)+g(2)=0-2=-2\). Zdanie jest więc prawdą.
Odp. B. - zbiory wartości nie są równe, widzimy że przykładowo maksymalną wartością funkcji \(f(x)\) jest \(3\), a funkcji \(g(x)\) jest \(1\).
Odp. C. - te funkcje nie mają tych samych miejsc zerowych (widać to po przecięciach się funkcji z osią \(OX\)).
Odp. D. - punkt \(P\) należy do funkcji \(f(x)\), ale nie należy do funkcji \(g(x)\).

Prawdziwe jest więc jedynie pierwsze zdanie.

Do zadania da się podejść na kilka sposobów. Z geometrycznej interpretacji wiemy, że rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych. Możemy oczywiście rozwiązać każdy układ i sprawdzić kiedy otrzymamy wynik \(x=1\) oraz \(y=2\) (bo z rysunku wynika, że właśnie w tym miejscu te dwie proste się przecinają). Możemy też postąpić nieco sprytniej i wręcz podstawić \(x=1\) oraz \(y=2\) do każdego układu. Obydwie te metody są dobre, choć czasochłonne (a i czasem możemy wpaść w pułapkę związaną z tym, że pasować będą dwa układy równań).

Najlepiej byłoby dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca - czyli jedna prosta musi mieć dodatni współczynnik kierunkowy \(a\), natomiast druga musi mieć ten współczynnik ujemny. Pasują nam już zatem tylko odpowiedzi A oraz C. Teraz spójrzmy na miejsce przecięcia się prostych z osią \(OY\). Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=1\), więc współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy \(b=1\). Analogicznie prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=4\), więc \(b=4\). To oznacza, że pasuje nam już tylko odpowiedź A.

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=3\), natomiast druga ma \(a=\frac{m-3}{2}\). W związku z tym:
$$3=\frac{m-3}{2} \           ,\
6=m-3 \           ,\
m=9$$

Podstawiając \(x=\sqrt{3}-1\) do podanego wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\cdot(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}-2-2}= \           ,\
=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-4+2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-(4-2\sqrt{3})}=-1$$

Aby dowiedzieć się, który z tych punktów należy do naszej funkcji, musimy po kolei podstawiać podane współrzędne do wzoru funkcji:

Odp. A.
$$-5=3^{-1}-2 \           ,\
-5=\frac{1}{3}-2 \           ,\
-5=-1\frac{2}{3} \           ,\
L\neq P$$

Odp. B.
$$-2=3^{0}-2 \           ,\
-2=1-2 \           ,\
-2=-1 \           ,\
L\neq P$$

Odp. C.
$$-1=3^{0}-2 \           ,\
-1=1-2 \           ,\
-1=-1 \           ,\
L=P$$

Odp. D.
$$4=3^{2}-2 \           ,\
4=9-2 \           ,\
4=7 \           ,\
L\neq P$$

Lewa strona jest równa stronie prawej jedynie w przypadku punktu \((0;-1)\), zatem to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, zatem bez problemu możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\) (czyli ujemny), zatem nasza parabola będzie wyglądać następująco:


Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że funkcja maleje od wierzchołka aż do nieskończoności, zatem musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji kwadratowej (ponieważ wierzchołek znajduje się w jednakowej odległości od obydwu miejsc przecięcia się paraboli z osią \(OX\)). Skoro tak, to:
$$p=\frac{-1+3}{2} \           ,\
p=\frac{2}{2} \           ,\
p=1$$

Krok 4. Ustalenie przedziału, w którym funkcja jest rosnąca.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, skoro \(p=1\), to funkcja maleje w przedziale \(\langle1,+\infty)\).

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zajdzie następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x)^2=15\cdot\frac{5}{3} \           ,\
9x^2=25 \           ,\
x^2=\frac{25}{9} \           ,\
x=\frac{5}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{5}{3}$$

Skoro wszystkie wyrazy są dodatnie, to wartość \(x\) musi być także dodatnia (bo tylko wtedy wyraz opisany jako \(3x\) będzie dodatni), zatem zostaje nam jedynie \(x=\frac{5}{3}\).

Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność:
$$3n^2-25n\le0$$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias:
$$n(3n-25)\le0$$

Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera:
$$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0 \           ,\
n=0 \quad\lor\quad 3n=25 \           ,\
n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$

Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry):


Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\).

Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to:
$$1,2,3,4,5,6,7,8$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \           ,\
a_{5}=a_{1}+4r$$

Podstawiając te dane do sumy z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}+a_{5}=58 \           ,\
a_{1}+2r+a_{1}+4r=58 \           ,\
2a_{1}+6r=58 \quad\bigg/:2 \           ,\
a_{1}+3r=29$$

\(a_{1}+3r\) to nic innego jak wartość czwartego wyrazu, stąd też \(a_{4}=29\).