Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \           ,\
5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$

Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem:
$$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \           ,\
\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Zatem:
$$2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}3^2-\log_{2}5^2= \           ,\
=\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku
\(x\) plus \(120\%x\), czyli \(2,2x\) - obecna liczba zwierząt

Krok 2. Ułożenie i rozwiązania równania.
Zgodnie z treścią zadania:
$$2,2x=8910 \           ,\
x=4050$$

Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).

W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).

Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \           ,\
\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \           ,\
x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \           ,\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \           ,\
x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \           ,\
x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$

No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).

Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez \((x^4+1)\). Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość \((x^4+1)\) jest zawsze dodatnia, zatem:
$$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1) \           ,\
2-x\gt0 \           ,\
-x\gt-2 \quad\bigg/:(-1) \           ,\
x\lt2$$

Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest \(3\).

$$2-3x\ge4 \           ,\
-3x\ge2 \quad\bigg/:(-3) \           ,\
x\le-\frac{2}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.

Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.

Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero to któryś z czynników musi nam wyzerować to równanie:
$$x(x^2-4)(x^2+4)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=4 \quad\lor\quad x^2=-4 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu, która dałaby ujemny wynik. Zatem nasze równanie z niewiadomą \(x\) ma trzy rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\) oraz \(x=-2\).

Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero.
$$\sqrt{3}(x+1)-12=0 \           ,\
\sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3} \           ,\
x+1=\frac{12}{\sqrt{3}} \           ,\
x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3} \           ,\
x+1=4\sqrt{3} \           ,\
x=4\sqrt{3}-1$$

Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej wzoru funkcji kwadratowej odpowiada miejscu przecięcia się paraboli z osią \(Oy\). Widzimy wyraźnie, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0;3)\), zatem współczynnik \(c=3\).

Wykres funkcji możemy zapisać jako \(y=a^x\). Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu \(A=(1,2)\) i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem:
$$y=a^x \           ,\
2=a^1$$

No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać \(2\)? Oczywiście \(2\), tak więc prawidłową odpowiedzią będzie \(a=2\).

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=11-5 \           ,\
r=6$$

Krok 2. Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\).
Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \           ,\
71=5+(n-1)\cdot6 \           ,\
66=6n-6 \           ,\
6n=72 \           ,\
n=12$$

To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).

Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\
6^2=24\cdot(a-1) \           ,\
36=24a-24 \           ,\
60=24a \           ,\
a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$

Skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sin(90°-α)=cosα \           ,\
sin50°=sin(90°-40°)=cos40°$$

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAO\).
Trójkąt \(AOC\) jest na pewno równoramienny, a jego ramionami są boki \(AO\) oraz \(CO\). Skąd to wiemy? Obydwa te boki są długością promienia naszego okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AC\) mają równą miarę, zatem:
$$|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle ACO|=56°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(COB\), czyli kąta \(α\).
Obliczony przed chwilą kąt \(CAO\) oraz nasz kąt \(α\) są oparte na tym samym łuku \(CB\). W związku z tym miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Zatem:
$$α=56°\cdot2=112°$$

Skoro odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(CA\), to trójkąty \(ABC\) oraz \(EBD\) są trójkątami podobnymi (na mocy cechy kąt-kąt-kąt). Stosunek boków odpowiadających sobie będzie taki sam, co pozwoli ułożyć nam następujące równanie:
$$\frac{|DE|}{|CA|}=\frac{|BD|}{|BC|} \           ,\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{10+2} \           ,\
\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12} \quad\bigg/\cdot24 \           ,\
|DE|=\frac{240}{12} \           ,\
|DE|=20$$