Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując:
$$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \           ,\
=\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni przed przekształceniem.
Prostokąt przed przekształceniem ma pole powierzchni równe:
$$P_{1}=40cm\cdot100cm \           ,\
P_{1}=4000cm^2$$

Krok 2. Obliczenie wymiarów oraz pola powierzchni po przekształceniu.
Jeżeli dłuższy bok wydłużymy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(1,2\cdot100cm=120cm\).
Jeżeli krótszy bok skrócimy o \(20\%\) to otrzymamy bok o długości: \(0,8\cdot40cm=32cm\).

To oznacza, że pole powierzchni przekształconego prostokąta wyniesie:
$$P_{2}=120cm\cdot32cm \           ,\
P_{2}=3840cm^2$$

Krok 3. Obliczenie o ile zmniejszy się pole powierzchni prostokąta po przekształceniu.
Pole powierzchni zmniejszyło się o:
$$4000cm^2-3840cm^2=160cm^2$$

To oznacza, że w procentowym ujęciu pole zmniejszy się o:
$$\frac{160cm^2}{4000cm^2}=\frac{4}{100}=4\%$$

Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \           ,\
=5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$

Krok 1. Wykonanie obliczeń na pierwiastkach.
$$\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i obliczenie sumy.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki, które znalazły się w naszym rozwiązaniu musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(3\sqrt{7}\), zatem:
$$\frac{3\cdot3}{\sqrt{7}\cdot3}+\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{3\cdot\sqrt{7}}= \           ,\
=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}$$

Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25} \           ,\
\log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \           ,\
\log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$

Zatem wartość całego wyrażenia jest równa:
$$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$

Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$

Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases}
x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \           ,\
3x-2y=-4
\end{cases}\begin{cases}
-3x-9y=15 \           ,\
3x-2y=-4
\end{cases}

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4) \           ,\
-11y=11 \           ,\
y=-1$$

Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5 \           ,\
x-3=-5 \           ,\
x=-2$$

Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.

Na samym początku musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wartości i rozwiązać tę nierówność:
$$2(x-2)\le4(x-1)+1 \           ,\
2x-4\le4x-4+1 \           ,\
2x-4\le4x-3 \           ,\
-2x-4\le-3 \           ,\
-2x\le1 \quad\bigg/:(-2) \           ,\
x\ge-\frac{1}{2}$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku w ostatniej linijce! Wynika ona z tego, że wykonywaliśmy dzielenie przez liczbę ujemną.

Musimy teraz określić jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-\frac{1}{2}\). Tą liczbą będzie oczywiście \(0\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

$$x^2(x+1)=x^2-8 \           ,\
x^3+x^2=x^2-8 \           ,\
x^3=-8 \           ,\
x=-2$$

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$

Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \           ,\
f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\
f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \           ,\
f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

Równanie paraboli o wierzchołku \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku \(p=-3\) oraz \(q=5\), zatem:
$$y=a(x-(-3))^2+5 \           ,\
y=a(x+3)^2+5$$

Zgodnie z tym wzorem pasowałyby nam pierwsza i trzecia odpowiedź, ale wiemy jeszcze, że parabola ma mieć ramiona skierowane do dołu, tak więc współczynnik \(a\) musi być mniejszy od zera. Taka sytuacja jest w trzeciej odpowiedzi, więc poszukiwanym wzorem jest $$y=-2\cdot(x+3)^2+5$$

O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).

Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
W zadaniu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez \(7\), to każda kolejna liczba będzie o \(7\) większa od swojej poprzedniczki, zatem \(r=7\).

Krok 2. Obliczenie wartości dwunastego wyrazu.
Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(7\) jest oczywiście \(14\), więc \(a_{1}=14\).
Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy \(n=12\) i dokonujemy obliczeń:
$$a_{12}=a_{1}+(12-1)r \           ,\
a_{12}=a_{1}+11r \           ,\
a_{12}=14+11\cdot7 \           ,\
a_{12}=14+77 \           ,\
a_{12}=91$$

Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1} \           ,\
a_{5}=\frac{32-1}{32+1} \           ,\
a_{5}=\frac{31}{33}$$

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa.
$$sin^2+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{9}{16}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=1-\frac{9}{16} \           ,\
cos^2α=\frac{7}{16} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \           ,\
cosα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).