Aby rozwiązać ten przykład wystarczy dodać \(1\) do każdej ze stron:
$$-4\le x-1\le4 \           ,\
-4+1\le x-1+1\le4+1 \           ,\
-3\le x\le5$$

Prawidłowym graficznym przedstawieniem tej nierówności jest więc trzeci rysunek.

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\):
$$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \           ,\
c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\).
$$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$

Istota lokaty polega na tym, że wpłacamy na jakiś czas kwotę np. \(1000zł\), a po upływie określonego terminu bank wypłaci nam \(1000zł\) plus odsetki, które będą pomniejszone o podatek. Odsetki w naszym przypadku będą równe \(\frac{4}{100}\cdot1000\). Musimy je jeszcze pomniejszyć o podatek \(19\%\), czyli pomnożyć je przez \(\frac{81}{100}\) (mnożymy przez \(\frac{81}{100}\), bo po odliczeniu podatku otrzymana kwota będzie stanowiła \(81\%\) kwoty wyjściowej).

Po roku możemy więc wypłacić \(1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000\). Takiego zapisu nie mamy w sugerowanych odpowiedziach \(ABCD\), ale wystarczy wyłączyć wartość \(1000\) przed nawias i okaże się, że prawidłowa będzie odpowiedź trzecia, bowiem:
$$1000+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100}\cdot1000=1000\cdot(1+\frac{81}{100}\cdot\frac{4}{100})$$

Najprościej jest rozwiązać to zadanie wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zwłaszcza że będziemy mogli zastosować tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$5\cdot m=(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5}) \           ,\
5m=5^2-(\sqrt{5})^2 \           ,\
5m=25-5 \           ,\
5m=20 \           ,\
m=4$$

Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases}
x-y=3 \quad\bigg/-x \           ,\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
-y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \           ,\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
y=-3+x \           ,\
4x+y=8 \quad\bigg/-4x
\end{cases}\begin{cases}
y=x-3 \           ,\
y=-4x+8
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.

Krok 1. Obliczenie wartości wszystkich pierwiastków równania.
Nasze równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej. Aby wartość takiego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam "wyzerować" to równanie, a więc któryś z nawiasów musi być równy zero. To oznacza, że rozwiązaniami równania (a więc potocznie rzecz ujmując jego pierwiastkami) będą:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x+7=0 \quad\lor\quad x-11=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=-7 \quad\lor\quad x=11$$

Krok 2. Obliczenie sumy pierwiastków.
$$S=-3+(-7)+11=1$$

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{x-1}{x+1}=x-1 \quad\bigg/\cdot(x+1) \           ,\
x-1=(x-1)\cdot(x+1) \           ,\
x-1=x^2-1^2 \           ,\
x-1=x^2-1 \           ,\
x^2-x=0 \           ,\
x(x-1)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$

To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).

To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2;2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2;2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3 \           ,\
-2=5m-5+3 \           ,\
-2=5m-2 \           ,\
5m=0 \           ,\
m=0$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g(x)\).
Aby wyznaczyć miejsce zerowe musimy sprawdzić dla jakiego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli:
$$-3x+4=0 \           ,\
-3x=-4 \           ,\
x=\frac{4}{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Skoro obydwie funkcje mają takie samo miejsce zerowe, to znaczy że po podstawieniu do funkcji \(f(x)\) argumentu \(x=\frac{4}{3}\) powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\), zatem:
$$2x+b=0 \           ,\
2\cdot\frac{4}{3}+b=0 \           ,\
\frac{8}{3}+b=0 \           ,\
b=-\frac{8}{3}$$

Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Skoro \(f(3)=4\), to znaczy że po podstawieniu \(x=3\) funkcja musi przyjąć wartość równą \(4\). To z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika \(c\).
$$3^2+3+c=4 \           ,\
9+3+c=4 \           ,\
12+c=4 \           ,\
c=-8$$

To oznacza, że nasza funkcja przybiera postać \(f(x)=x^2+x-8\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(1)\).
Znamy już pełny wzór funkcji, więc sprawdźmy która z odpowiedzi będzie prawidłowa, podstawiając \(x=1\).
$$1^2+1-8=1+1-8=-6$$

Czyli \(f(1)=-6\).

Najprościej jest wymnożyć wszystkie liczby przez \(14\), otrzymując w ten sposób wartość \(x\) wewnątrz zapisu. To pozwoli szybko sprawdzić ile liczb całkowitych spełni wskazaną nierówność:
$$\frac{2}{7}\lt\frac{x}{14}\lt\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot14 \           ,\
4\lt x\lt18\frac{2}{3}$$

Liczb całkowitych, które spełnią tą nierówność (czyli \(5, 6, 7...16, 17, 18\)) jest więc \(14\).

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \           ,\
q^3=3 \           ,\
q=\sqrt[3]{3}$$

Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(tgα=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4;5)\), zatem \(tgα=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).

Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), zatem:
$$tgα=2sinα \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=2sinα \quad\bigg/\cdot cosα \           ,\
sinα=2sinαcosα \quad\bigg/:sinα \           ,\
1=2cosα \quad\bigg/:2 \           ,\
cosα=\frac{1}{2}$$

Jeśli za miarę kąta wpisanego przyjmiemy \(α\), to miarą kąta środkowego będzie \(2α\). Skoro kąt wpisany jest o \(20°\) mniejszy od kąta środkowego, to:
$$α=2α-20° \           ,\
-α=-20° \           ,\
α=20°$$