Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$\frac{(0,2)^3}{\sqrt[4]{25^{-3}}}=\frac{(\frac{1}{5})^3}{\sqrt[4]{5^{2\cdot(-3)}}}=\frac{5^{-3}}{\sqrt[4]{5^{-6}}}=\frac{5^{-3}}{5^{-\frac{6}{4}}}= \           ,\
=5^{-3}:5^{-\frac{6}{4}}=5^{-3-(-\frac{6}{4})}=5^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt[2]{5^3}}$$

Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:

Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł \           ,\
x=36\;600zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).

Możemy rozwiązać każdą nierówność oddzielnie i sprawdzić które z rozwiązań będzie identyczne jak na rysunku, ale możemy też rozwiązać to nieco bardziej matematycznie. Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\), gdzie \(a\) jest punktem leżącym idealnie po środku między krańcami przedziałów (w naszym przypadku między \(-4\) oraz \(2\)). To oznacza, że:
$$a=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zatem \(|x-(-1)|\), czyli \(|x+1|\). I już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie, bo taka sytuacja pojawia się jedynie w trzeciej odpowiedzi.

Gdybyśmy chcieli jeszcze mimo wszystko ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie, to musimy spojrzeć na to jak dużo jednostek dzieli nasz punkt środkowy \(a=-1\) od punktów krańcowych. Między punktem środkowym \(a=-1\) oraz punktami krańcowymi \(-4\) oraz \(2\) mamy dokładnie po \(3\) jednostki w lewo i w prawo. Nas interesują wszystkie te wartości, które są oddalone od punktu środkowego o mniej niż \(3\) jednostki (tak aby zmieściły się w przedziale), stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\lt3$$

Najprościej (i chyba w tym przypadku najlepiej) jest po prostu sprawdzić dla którego \(m\) otrzymamy liczbę podzielną przez \(19\). Podstawiając po kolei każdą z odpowiedzi otrzymamy:
Odp. A. \(17^3+(-8)^3=4913+(-512)=4913-512=4401\)
\(4401:19=231,63...\)

Odp. B. \(17^3+(-2)^3=4913+(-8)=4913-8=4905\)
\(4905:19=258,15...\)

Odp. C. \(17^3+2^3=4913+8=4921\)
\(4921:19=259\)

Odp. D. \(17^3+8^3=4913+512=5425\)
\(5425:19=285,52...\)

W ten oto sposób widzimy wyraźnie, że liczba stała się podzielna przez \(19\) tylko w sytuacji, gdy \(m=2\).

Gdybyśmy jednak chcieli to zadanie rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby całość rozpisać korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \           ,\
17^3+m^3=(17+m)(17^2-17m+m^2)$$

Z tak otrzymanej postaci widzimy, że liczba będzie podzielna przez \(19\), gdy wartość w jednym z nawiasów będzie podzielna przez \(19\). Patrząc się przykładowo na pierwszy nawias możemy powiedzieć, że \(17+m\) będzie podzielne przez \(19\) właśnie dla \(m=2\), bo otrzymamy wtedy \(17+2\), czyli \(19\).

Najprościej jest to równanie rozwiązać zaczynając od pomnożenia obu stron przez \(x\):
$$\frac{-2(x-3)}{x}=x-2 \quad\bigg/\cdot x \           ,\
-2(x-3)=(x-2)\cdot x \           ,\
-2x+6=x^2-2x \           ,\
x^2=6 \           ,\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, obydwa nie wykluczają się z założeniem \(x\neq0\), stąd też równanie ma dwa różne rozwiązania.

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$

Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne.

Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne.
Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-9,8}{2\cdot2}=\frac{-20,8}{4}=-5,2 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+9,8}{2\cdot2}=\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku ułamka musi być różna od zera. W związku z tym, aby dowiedzieć się jakie liczby należy wykliczyć z dziedziny musimy rozwiązać następujące równanie:
$$x(x-1)^2=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=1$$

Aby odjąć od siebie te dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. To znaczy, że licznik i mianownik pierwszego ułamka musimy pomnożyć przez \(x\), natomiast licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez \((x-1)\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{x\cdot x}{(x-1)\cdot x}-\frac{1\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}= \           ,\
=\frac{x^2}{x^2-x}-\frac{x-1}{x^2-x}=\frac{x^2-(x-1)}{x^2-x}=\frac{x^2-x+1}{x^2-x}$$

Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$8log_{4}2+2=log_{4}2^8+2=log_{4}4^4+2=4+2=6$$

Krok 1. Określenie miejsca w którym funkcja przyjmuje najmniejszą wartość.
Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. To oznacza, że najmniejszą swoją wartość funkcja będzie osiągać w wierzchołku.

Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy najmniejszej wartości, czyli współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Musimy policzyć deltę, która znalazła się w liczniku, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot0=16-0=16$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-16}{4\cdot1} \           ,\
q=\frac{-16}{4} \           ,\
q=-4$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Poziomą osią układu współrzędnych jest oś iksów. To oznacza, że funkcja \(g\) będzie wyglądać w ten oto sposób:



Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Nasza funkcja będzie na pewno wyrażona wzorem w postaci \(g(x)=ax+b\). Musimy tylko ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od ustalenia współczynnika kierunkowego \(a\). Wykres funkcji \(g(x)\) jest prostą rosnącą, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. Z tego wynika, że interesują nas już tylko dwie odpowiedzi: B oraz D. Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków. W naszym przypadku funkcja \(g(x)\) przecina oś igreków dla \(y=-2\), zatem \(b=-2\).

To oznacza, że funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=2x-2\).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \           ,\
a_{1}=2\cdot1-1 \           ,\
a_{1}=2-1 \           ,\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \           ,\
a_{2}=2\cdot2-1 \           ,\
a_{2}=4-1 \           ,\
a_{2}=3$$

W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=3-1 \           ,\
r=2$$

Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu.
Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100 \           ,\
S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100 \           ,\
S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100 \           ,\
S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100 \           ,\
S_{100}=100\cdot100 \           ,\
S_{100}=10000$$

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając pod to równanie dane z treści zadania otrzymamy:
$$(x-10)^2=(x+35)\cdot(x+20) \           ,\
x^2-20x+100=x^2+20x+35x+700 \           ,\
-20x+100=55x+700 \           ,\
-75x=600 \           ,\
x=-8$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dobry rysunek to klucz do rozwiążania tego zadania. Musimy ustalić gdzie znajduje się bok danej długości. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna. W naszym przypadku najdłuższym bokiem jest ten o długości \(2\), więc to na pewno będzie przeciwprostokątna. Pozostałe boki, czyli \(\sqrt{3}\) oraz \(1\) to przyprostokątne.

Dodatkowo wiemy, że kąt \(α\) jest kątem najmniejszym, a to oznacza że musi się on znajdować przy dłuższej przyprostokątnej. Cały trójkąt wygląda więc w ten oto sposób:



Krok 2. Wyznaczenie miary \(cosα\).
Mając poprawny rysunek bez przeszkód wyznaczymy cosinusa. Cosinus odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=1-sin^2α$$

W związku z tym:
$$\frac{2sinα\cdot cos^2α}{1+cos^2α-sin^2α}=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{1-sin^2α+cos^2α}=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{cos^2α+cos^2α}= \           ,\
=\frac{2sinα\cdot cos^2α}{2cos^2α}=sinα$$