Krok 1. Przyjęcie poprawnych oznaczeń.
Aby dobrze rozwiązać to zadanie musimy dobrze opisać sobie poszczególne dane z treści zadania:
\(a\) - długość boku pierwszego kwadratu
\(1,1a\) - długość boku drugiego kwadratu, bo ma to być długość o \(10\%\) większa od boku \(a\).
\(P_{1}\) - pole powierzchni pierwszego kwadratu
\(P_{2}\) - pole powierzchni drugiego kwadratu

Naszym zadaniem jest policzenie stosunku pól powierzchni (wyrażając wynik w procentach):
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}\cdot100\%$$

Krok 2. Obliczenie pól powierzchni i różnicy między nimi.
Obliczamy pola powierzchni obydwu kwadratów:
$$P_{1}=a\cdot a=a^2 \           ,\
P_{2}=1,1a\cdot1,1a=1,21a^2$$

Znając pola powierzchni możemy obliczyć o ile większe jest pole drugiego kwadratu:
$$\frac{P_{2}-P_{1}}{P_{1}}\cdot100\%=\frac{1,21a^2-a^2}{a^2}\cdot100\%=\frac{0,21a^2}{a^2}\cdot100\%=21\%$$

Naszym zadaniem jest poprawne wykonanie działań na potęgach, pamiętając o tym że \(3^2=9\). Całość krok po kroku możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^{-5}\cdot3^{8}=9^{-5}\cdot3^{2\cdot4}=9^{-5}\cdot(3^2)^4= \           ,\
=9^{-5}\cdot9^{4}=9^{-5+4}=9^{-1}$$

W tym zadaniu możemy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie, albo możemy też skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Licząc z powyższego wzoru otrzymamy:
$$\log_{3}27-\log_{3}1=\log_{3}\frac{27}{1}=\log_{3}27=3$$

Licząc każdy logarytm oddzielnie otrzymamy:
$$\log_{3}27=3\text{, bo }3^3=27 \           ,\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1 \           ,\
\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3$$

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(2-3\sqrt{2})^2=2^2-2\cdot2\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2= \           ,\
=4-12\sqrt{2}+9\cdot2=4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}$$

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z treści zadania wiemy, że miejscem zerowym jest \(x=-2\), zatem prawdziwa będzie równość:
$$0=m\cdot(-2)+2 \           ,\
0=-2m+2 \           ,\
2m=2 \           ,\
m=1$$

Aby wskazać poprawny rysunek musimy najpierw rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną.
$$|x+4|\le7 \           ,\
x+4\le7 \quad\land\quad x+4\ge-7 \           ,\
x\le3 \quad\land\quad x\ge-11$$

Zatem poszukiwanym przez nas przedziałem jest \(x\in\langle-11;3\rangle\), co oznacza że prawidłowy jest pierwszy rysunek.

Wzór paraboli jest podany w postaci ogólnej \(y=ax^2+bx+c\), co pozwala nam wypisać wartości poszczególnych współczynników:
$$a=1,\;b=8,\;c=-14$$

Wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) posłużą nam do wyliczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\), bowiem zgodnie ze wzorem z tablic:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \           ,\
x_{W}=\frac{-8}{2\cdot1} \           ,\
x_{W}=\frac{-8}{2} \           ,\
x_{W}=-4$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Sprawdźmy więc po kolei jaki zbiór wartości ma każda z narysowanych funkcji:
Funkcja A. \(\langle2;+\infty)\)
Funkcja B. \(\langle-2;+\infty)\)
Funkcja C. \(\langle-2;-\infty)\)
Funkcja D. \(\langle2;-\infty)\)

Poszukiwany przez nas zbiór wartości \(\langle-2;+\infty)\) znalazł się na drugim rysunku.

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy przyrównać \(x(x+6)\) do zera. Wielomian mamy podany w postaci iloczynowej, więc aby był on równy zero to któryś z czynników musi powodować jego "zerowanie", zatem:
$$x(x+6)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x+6=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do góry, bo po wymnożeniu czynników otrzymalibyśmy dodatnią wartość współczynnika \(a\). Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i odczytujemy rozwiązanie naszej nierówności. Kropki przy miejscach zerowych będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Interesują nas wartości mniejsze od zera, tak więc zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział \(x\in(-6,0)\).

Możemy wymnożyć poszczególne nawiasy w każdej z odpowiedzi i sprawdzić, która odpowiedź da nam wartość równą wielomianowi \(W(x)\). Można jednak do zadania podejść nieco sprytniej.

Na samym wstępie powinniśmy odrzucić odpowiedzi \(A\) i \(D\). Dlaczego? W wyniku mnożenia wyrazów o najwyższej potędze otrzymamy w obydwu tych odpowiedziach \(x^5\), a my potrzebujemy mieć \(x^6\). Zostają nam więc tylko odpowiedzi \(B\) i \(C\), bo tu faktycznie wystąpi \(x^6\).
Odpowiedź \(C\) możemy odrzucić z tego względu, że jakichkolwiek wyrazów nie wymnożymy, to nie otrzymamy \(x^3\). Otrzymamy za to np. \(2x^4\), której nie ma w naszym wielomianie. Z tego też wynika, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(B\), a oto dowód:

Odp. A. \((x^3+1)(x^2-2)=x^5-2x^3+x^2-2\)
Odp. B. \((x^3-1)(x^3+2)=x^6+x^3-2\)
Odp. C. \((x^2+2)(x^4-1)=x^6-x^2+2x^4-2\)
Odp. D. \((x^4-2)(x+1)=x^5+x^4-2x-2\)

Tego typu równanie wymierne może być równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy licznik jest równy \(0\). Jednak równie ważną informacją jest to, że sam mianownik nie może być równy zero, bo w matematyce dzielenie przez \(0\) nie istnieje.

Krok 1. Wypisanie założeń.
W związku z tym, że mianownik musi być równy od zera, to:
$$x-3\neq0 \quad\land\quad x+2\neq0 \           ,\
x\neq3 \quad\land\quad x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku, licznik musi być różny od zera, czyli:
$$(x+3)(x-2)=0 \           ,\
x+3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami zapisanymi w pierwszym kroku, tak więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Chcąc obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{n}=\frac{n}{(-2)^n} \           ,\
a_{3}=\frac{3}{(-2)^3} \           ,\
a_{3}=\frac{3}{-8} \           ,\
a_{3}=-\frac{3}{8}$$

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu ciągu (\(q\)).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{18}{36} \           ,\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Wartość czwartego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \           ,\
a_{4}=36\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \           ,\
a_{4}=36\cdot\frac{1}{8} \           ,\
a_{4}=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 1. Obliczenie wartości cosα.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α \           ,\
cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2 \           ,\
cos^2α=1-\frac{49}{169} \           ,\
cos^2α=\frac{120}{169} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}} \           ,\
cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$

Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy.

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \           ,\
tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}} \           ,\
tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13} \           ,\
tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}} \           ,\
tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus kąta \(α\) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
$$sinα=\frac{2\sqrt{10}}{11}$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Cosinus kąta \(α\) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
$$cosα=\frac{9}{11}$$

Z tego wynika, że poprawne obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej nastąpiło w odpowiedzi pierwszej.

Z rysunku bardzo jasno wynika, że przy wyliczeniu długości boku \(BC\) musimy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa.
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \           ,\
6^2+|BC|^2=14^2 \           ,\
36+|BC|^2=196 \           ,\
|BC|^2=160 \           ,\
|BC|=\sqrt{160} \           ,\
|BC|=\sqrt{16\cdot10}=4\sqrt{10}$$