Krok 1. Obliczenie ceny nart po pierwszej obniżce.
Jeżeli przyjmiemy początkową cenę nart jako \(x\), to po obniżce o \(20\%\) nasza nowa cena nart będzie równa \(80\%\) ceny wyjściowej, czyli \(0,8x\).

Krok 2. Obliczenie ceny nart po drugiej obniżce.
Tym razem ceną wyjściową do obniżki jest już \(0,8x\). Obniżka nastąpiła o \(30\%\), a więc nowa cena nart stanowi tym razem \(70\%\) ceny starej. To oznacza, że narty kosztują teraz \(0,7\cdot0,8x=0,56x\).

Krok 3. Obliczenie wysokości całkowitej obniżki.
Skoro na początku narty kosztowały \(x\), a teraz kosztują \(0,56x\), to ich cena spadła o \(x-0,56x=0,44x\), czyli o \(44\%\).

Zadanie polega tak naprawdę na poprawnym wykonaniu działań na potęgach i pierwiastkach. Pamiętaj, że ujemny wykładnik potęgi odwraca nam liczbę potęgowaną:
$$a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$

Całość rozwiązania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}= \           ,\
=\sqrt[3]{\frac{1}{(-8)^1}}\cdot(2^4)^{\frac{3}{4}}= \           ,\
=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot(2)^{4\cdot\frac{3}{4}}= \           ,\
=-\frac{1}{2}\cdot2^3= \           ,\
=-\frac{1}{2}\cdot8=-4$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) obliczmy pierwszą część naszego działania, a następnie uporządkujmy całe wyrażenie:
$$(3-\sqrt{2})^2+4(2-\sqrt{2})= \           ,\
3^2-6\sqrt{2}+2+8-4\sqrt{2}= \           ,\
9-10\sqrt{2}+10= \           ,\
=19-10\sqrt{2}$$

Obliczmy najpierw wartość samego logarytmu \(\log_{\frac{1}{3}}9\). Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść wartość \(\frac{1}{3}\) by otrzymać \(9\)? Tą liczbą będzie \(-2\), bo \((\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9\).
W treści zadania przed naszym logarytmem stoi jeszcze dwójka, tak więc otrzymany wynik musimy pomnożyć jeszcze przez \(2\). To oznacza, że:
$$2\log_{\frac{1}{3}}9=2\cdot(-2)=-4$$

Zgodnie z treścią zadania możemy podstawić każdą z liczb do równania i sprawdzić która z nich spełni to równanie. Już na wstępie możemy odrzucić liczby ujemne, bo po prawej stronie równania otrzymalibyśmy w ten sposób wynik ujemny, a wartość bezwzględna daje zawsze dodatni rezultat. Nie mniej jednak nawet jeśli tego nie dostrzeżemy, to nieprawidłowość tych równań wyjdzie nam podczas podstawiania każdej kolejnej liczby. Jedyną liczbą, która spełni to równanie będzie \(x=1\), bo otrzymamy wtedy:
$$|3\cdot1+1|=4\cdot1 \           ,\
|4|=4 \           ,\
4=4 \           ,\
L=P$$

Jeśli znamy wzory Viete'a (są zapisane w tablicach maturalnych) to wiemy, że:
$$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$$

(\(a\) oraz \(b\) to współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej).

Na maturze podstawowej jednak wzory te nie są obowiązkowe, więc możemy obliczyć to równanie kwadratowe metodą delty.

Krok 1. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9-(-56)=9+56=65 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{65}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3+\sqrt{65}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(x_{1}+x_{2}\).
Podstawmy do naszej sumy wyliczone przed chwilą liczby i otrzymamy:
$$x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}+(-3)+\sqrt{65}}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=\frac{-6}{4} \           ,\
x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$$

Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. Aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wzór tej funkcji do zera. Pamiętaj, że iloczyn będzie równy zero tylko i wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników (czyli jeden z nawiasów) będzie równy zero. Stąd też:
$$-3(x-7)(x+2)=0 \           ,\
x-7=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=7 \quad\lor\quad x=-2$$

Jeżeli współczynnik \(a\) jest większy od zera (a tak wynika z treści zadania) to funkcja liniowa jest na pewno rosnąca. Nie znamy dokładnej wartości współczynnika \(a\), ale już nawet dla \(f(0)\) funkcja przyjmuje wartość równą \(6\), bo \(a\cdot0+6=6\). Z związku z tym skoro funkcja jest rosnąca i \(f(0)=6\), to tym bardziej \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) oraz \(f(4)\) muszą dać wynik większy od \(6\). To oznacza, że prawidłowo zapisaną zależnością jest tylko ta z pierwszej odpowiedzi.

Miejscem zerowym funkcji jest miejsce przecięcia się wykresu z osią \(Ox\) (czyli jest to taka wartość argumentu \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero). Prześledźmy każdy z wykresów:
Pierwsza funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Druga funkcja nie ma wcale miejsc zerowych.
Trzecia funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe i to jest interesujący nas przypadek.
Czwarta funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).

Krok 1. Odczytanie z tablic wartości \(tg30°\) oraz \(sin30°\).
Tak naprawdę to zadanie nie wymaga od nas szukania jakichś zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Wystarczy odczytać z tablic matematycznych poszczególne wartości, a następnie wykonać działanie odejmowania. \(tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\) natomiast \(sin30°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Teraz musimy poprawnie odjąć od siebie te dwie wartości, pamiętając aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.
$$tg30°-sin30°=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2} \           ,\
tg30°-sin30°=\frac{2\sqrt{3}}{6}-\frac{3}{6} \           ,\
tg30°-sin30°=\frac{2\sqrt{3}-3}{6}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do wyliczenia wartości sinusa potrzebujemy znać długość odcinka \(|AC|\), czyli przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\). Wyliczymy ją oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+12^2=13^2 \           ,\
a^2+144=169 \           ,\
a^2=25 \           ,\
a=5$$

Zatem \(|AC|=5\).

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa kąta \(ABC\).
Sinus kąta \(α\) jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. To oznacza, że \(sinα=\frac{5}{13}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Analizując rysunek możemy wywnioskować, że aby obliczyć długość podstawy \(AB\) wystarczy z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długości odcinków \(AD\) oraz \(DB\). Wiemy też, że te odcinki będą równej długości (bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwie równe części, zresztą widać to też wyraźnie z rysunku), więc wystarczy że obliczymy długość odcinka np. \(AD\) i pomnożymy ją przez \(2\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+2^2=5^2 \           ,\
a^2+4=25 \           ,\
a^2=21 \           ,\
a=\sqrt{21}$$

Zatem \(|AD|=\sqrt{21}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
$$|AB|=2\cdot|AD|=2\cdot\sqrt{21}=2\sqrt{21}$$

Krok 1. Ustalenie które boki trójkąta mają długość \(5\) i \(7\).
Główną trudnością w tym zadaniu jest zdobycie informacji o tym które z boków trójkąta prostokątnego mają długość \(5\) i \(7\). Czy są to przyprostokątne? A może jedną z tych długości jest przeciwprostokątna? Jeśli tak, to która?

Musimy pamiętać, że w trójkącie prostokątnym najdłuższy bokiem jest przeciwprostokątna. Stąd też skoro najdłuższymi bokami w tym trójkącie są boki o długości \(5\) i \(7\), to z całą pewnością przeciwprostokątna ma długość \(7\). I ta wiedza już nam wystarczy, bo z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy sobie teraz długość najkrótszego, która jest nam potrzebna do wyliczenia obwodu figury.

Krok 2. Obliczenie długości najkrótszego boku.
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
a^2+5^2=7^2 \           ,\
a^2+25=49 \           ,\
a^2=24 \           ,\
a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
$$Obw=5+7+2\sqrt{6}=12+2\sqrt{6}$$

Krok 1. Ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe to wiemy, że trójkąty \(EAB\) i \(ECB\) są podobne. W związku z tym stosunek długości odcinka \(EC\) względem \(DC\) jest taki sam jak stosunek odcinka \(EA\) i \(BA\). Zauważmy też, że \(|EC|=|AC|+2\). Wykorzystamy tę wiedzę i ułożymy następujące równanie:
$$\frac{|EC|}{7}=\frac{|EA|}{5} \           ,\
\frac{|EA|+2}{7}=\frac{|EA|}{5}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Równanie to możemy rozwiązać na wiele sposobów, ale najprościej jest chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$5\cdot(|EA|+2)=7|EA| \           ,\
5|EA|+10=7|EA| \           ,\
10=2|EA| \           ,\
|EA|=5$$

Krok 1. Ustalenie długości przekątnej kwadratu.
Z własności kwadratów wpisanych w okrąg wynika, że przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest równa \(2r\), czyli w naszym przypadku \(2\cdot5=10\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratu wiemy, że przekątną możemy opisać wzorem: \(d=a\sqrt{2}\).
Skoro przekątna kwadratu ma długość \(10\), to bok kwadratu jest równy:
$$10=a\sqrt{2} \           ,\
a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
$$P=a^2 \           ,\
P=(5\sqrt{2})^2=25\cdot2=50$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dzięki informacji, która mówi o tym że punkty \(A, B, C, D\) podzieliły nam okrąg na cztery równe łuki, jesteśmy w stanie stwierdzić, że odległości pomiędzy sąsiednimi punktami na okręgu są identycznej długości, a zaznaczony odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu. To oznacza, że trójkąt \(ADC\) jest równoramienny i w dodatku prostokątny, bo trójkąt oparty na średnicy jest zawsze prostokątny.

Krok 2. Obliczen