LekcjeRazem

Krok 1. Wyznaczenie ilorazu. Zauważmy, że $a_4=a_3q$ oraz $a_7=a_6q$, więc

$$a_4+a_7=q\left(a_3+a_6\right).$$

Podstawiamy dane:

$$168=q\cdot(-84)\ \Longrightarrow\ q=-2.$$

Krok 2. Wyznaczenie $a_3$. Ponieważ $a_6=a_3q^{3}$:

$$a_3+a_3q^{3}=a_3\left(1+q^{3}\right)=a_3\left(1+(-8)\right)=-7a_3.$$

$$-7a_3=-84\ \Longrightarrow\ a_3=12.$$

Krok 3. Wyznaczenie $a_1$.

$$a_3=a_1q^{2}=a_1\cdot 4=12\ \Longrightarrow\ a_1=3.$$

Krok 4. Wzór na sumę. Dla $q\neq1$:

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}=3\cdot\frac{1-(-2)^{n}}{1-(-2)}=3\cdot\frac{1-(-2)^{n}}{3}=1-(-2)^{n}.$$

Krok 5. Rozwiązanie równania.

$$1-(-2)^{n}=32769\ \Longrightarrow\ (-2)^{n}=-32768.$$

Ponieważ $32768=2^{15}$, a wynik ma być ujemny, wykładnik musi być nieparzysty:

$$(-2)^{n}=-2^{15}\ \Longrightarrow\ n=15.$$

Sprawdzenie: $(-2)^{15}=-32768$, więc $S_{15}=1-(-32768)=32769$ ✓

Odpowiedź: $n=15$