Środek okręgu wpisanego to $I=(0,0)$, a promień $r=\sqrt{10}$.
Krok 1. Punkty styczności stycznych z $A$. Leżą one na prostej biegunowej punktu $A$ względem okręgu:
$$7x-y=10.$$
Podstawiamy $y=7x-10$ do równania okręgu:
$$x^{2}+(7x-10)^{2}=10\ \Longrightarrow\ 50x^{2}-140x+90=0\ \Longrightarrow\ 5x^{2}-14x+9=0.$$
$$\Delta=16,\qquad x=\frac{14\pm4}{10}\ \Longrightarrow\ x=\frac95\ \text{lub}\ x=1.$$
$$T_1=\left(\frac95,\ \frac{13}{5}\right),\qquad T_2=(1,\,-3).$$
Krok 2. Który punkt leży na podstawie $AB$. W trójkącie równoramiennym o wierzchołku $C$ oś symetrii przechodzi przez $C$, przez $I$ oraz przez środek podstawy $AB$, który jest zarazem punktem styczności okręgu z $AB$.
Gdyby to $T_2=(1,-3)$ był środkiem $AB$, oś miałaby kierunek $[1,-3]$ i punkt $C=t\cdot[1,-3]$ nigdy nie miałby obu współrzędnych ujemnych. Zatem środkiem podstawy jest
$$M=T_1=\left(\frac95,\ \frac{13}{5}\right),$$
a $C$ leży po przeciwnej stronie $I$, czyli w kierunku $[-9,-13]$ — wtedy obie współrzędne są ujemne ✓
Krok 3. Wierzchołek $B$. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $AB$:
$$B=2M-A=\left(\frac{18}{5}-7,\ \frac{26}{5}+1\right)=\left(-\frac{17}{5},\ \frac{31}{5}\right).$$
Kontrola: $|AM|=\frac15\sqrt{26^{2}+18^{2}}=\frac15\sqrt{1000}=2\sqrt{10}$, a $|IA|^{2}=50=10+40$ ✓
Krok 4. Odległość $|CI|$. Oznaczmy $u=|CI|$. Wysokość z $C$ to $|CM|=u+\sqrt{10}$, a z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AMC$:
$$|AC|^{2}=40+\left(u+\sqrt{10}\right)^{2}.$$
Z drugiej strony $|AC|$ to suma odcinków stycznych z $A$ i z $C$:
$$|AC|=2\sqrt{10}+\sqrt{u^{2}-10}.$$
Porównanie i uproszczenie prowadzi do równania
$$3u^{2}-2\sqrt{10}\,u-50=0,\qquad \Delta=640,\qquad \sqrt{\Delta}=8\sqrt{10},$$
$$u=\frac{2\sqrt{10}+8\sqrt{10}}{6}=\frac{5\sqrt{10}}{3}\qquad(\text{drugi pierwiastek ujemny odrzucamy}).$$
Krok 5. Wierzchołek $C$. Wektor jednostkowy kierunku $[9,13]$ ma długość $\sqrt{250}=5\sqrt{10}$, więc
$$C=-\frac{[9,13]}{5\sqrt{10}}\cdot\frac{5\sqrt{10}}{3}=\left(-3,\ -\frac{13}{3}\right).$$
Sprawdzenie styczności. Prosta $AC$: $x-3y-10=0$, odległość od $(0,0)$ to $\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ ✓. Prosta $AB$: $9x+13y-50=0$, odległość $\frac{50}{5\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ ✓. Ponadto $|AC|=|BC|=\frac{10\sqrt{10}}{3}$ ✓
Odpowiedź: $B=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right)$, $\;C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)$