Krok 1. Wzory Viète'a.
$$S=x_1+x_2=-(m+1),\qquad P=x_1x_2=1-m^{2}.$$
Krok 2. Warunek dwóch różnych pierwiastków.
$$\Delta=(m+1)^{2}-4\left(1-m^{2}\right)=m^{2}+2m+1-4+4m^{2}=5m^{2}+2m-3.$$
Miejsca zerowe: $\Delta^{\prime}=4+60=64$, $\sqrt{\Delta^{\prime}}=8$, więc $m=\frac{-2\pm8}{10}$, czyli $m=-1$ lub $m=\frac35$.
$$\Delta>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt -1\ \ \text{lub}\ \ m>\frac{3}{5}.$$
Krok 3. Przekształcenie warunku. Korzystamy ze wzoru
$$x_1^{3}+x_2^{3}=S^{3}-3PS.$$
Warunek $x_1^{3}+x_2^{3}>-7x_1x_2$ przyjmuje postać
$$S^{3}-3PS+7P>0.$$
Krok 4. Podstawienie i rozkład. Zauważmy, że $P=1-m^{2}=(1-m)(1+m)$ oraz $S=-(m+1)$:
$$-(m+1)^{3}+3(1-m)(m+1)^{2}+7(1-m)(m+1)>0.$$
Wyłączamy wspólny czynnik $(m+1)$:
$$(m+1)\Bigl[-(m+1)^{2}+3\left(1-m^{2}\right)+7(1-m)\Bigr]>0.$$
Upraszczamy nawias:
$$-m^{2}-2m-1+3-3m^{2}+7-7m=-4m^{2}-9m+9.$$
$$(m+1)\left(-4m^{2}-9m+9\right)>0\ \Longleftrightarrow\ (m+1)\left(4m^{2}+9m-9\right)\lt 0.$$
Krok 5. Rozkład trójmianu. $\Delta=81+144=225$, $\sqrt{\Delta}=15$, pierwiastki $m=\frac{-9\pm15}{8}$, czyli $\frac34$ i $-3$:
$$4m^{2}+9m-9=(4m-3)(m+3).$$
$$(m+1)(4m-3)(m+3)\lt 0.$$
Krok 6. Analiza znaku. Miejsca zerowe: $-3,\ -1,\ \frac34$; współczynnik wiodący dodatni. Iloczyn jest ujemny na
$$m\in(-\infty,-3)\cup\left(-1,\ \frac34\right).$$
Krok 7. Część wspólna z warunkiem $\Delta>0$.
$$\left[(-\infty,-3)\cup\left(-1,\tfrac34\right)\right]\cap\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac35,+\infty\right)\right]=(-\infty,-3)\cup\left(\frac35,\ \frac34\right).$$
Kontrola: dla $m=-4$: $x_1^{3}+x_2^{3}=162>105=-7P$ ✓; dla $m=0{,}7$: $-2{,}312>-3{,}57$ ✓; dla $m=-2$: $10>21$ — fałsz ✓; dla $m=0{,}8$: $-3{,}888>-2{,}52$ — fałsz ✓
Odpowiedź: $m\in(-\infty,-3)\cup\left(\frac{3}{5},\frac{3}{4}\right)$