LekcjeRazem

Krok 1. Iloraz ciągu geometrycznego. Zapisujemy wyrazy przez $a_{21}$ i iloraz $q$: $a_{22}=a_{21}q$, $a_{23}=a_{21}q^2$. Warunek przyjmuje postać

$$a_{21}q=\frac54 a_{21}q^2+\frac15 a_{21}.$$

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $a_{21}>0$ i można podzielić stronami:

$$q=\frac54 q^2+\frac15\ \Big|\cdot 20\ \Longrightarrow\ 20q=25q^2+4.$$

$$25q^2-20q+4=0\ \Longrightarrow\ (5q-2)^2=0\ \Longrightarrow\ q=\frac{2}{5}.$$

Krok 2. Suma ciągu geometrycznego. Ponieważ $|q|\lt 1$, szereg jest zbieżny:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.$$

Krok 3. Wyraz $a_3$.

$$a_3=a_1q^2=675\cdot\frac{4}{25}=108\quad\Longrightarrow\quad b_4=108.$$

Krok 4. Suma 25 wyrazów ciągu arytmetycznego. Oznaczmy różnicę przez $r$:

$$S_{25}=\frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25=25\left(b_1+12r\right)=1125\ \Longrightarrow\ b_1+12r=45.$$

Krok 5. Układ równań. Z warunku $b_4=108$ mamy $b_1+3r=108$. Odejmujemy równania stronami:

$$\left(b_1+12r\right)-\left(b_1+3r\right)=45-108\ \Longrightarrow\ 9r=-63\ \Longrightarrow\ r=-7.$$

$$b_1=108-3\cdot(-7)=108+21=129.$$

Sprawdzenie: $b_1+12r=129-84=45$, więc $S_{25}=25\cdot45=1125$ — zgadza się z sumą ciągu geometrycznego.

Odpowiedź: $b_1=129$