LekcjeRazem

Krok 1. Wyznaczenie $m$ z twierdzenia o reszcie. Reszta z dzielenia przez $x+2$ jest równa $W(-2)$:

$$W(-2)=4\cdot(-8)-6\cdot 4-(5m+1)\cdot(-2)-2m.$$

$$W(-2)=-32-24+10m+2-2m=-54+8m.$$

Z warunku $W(-2)=-30$ otrzymujemy:

$$-54+8m=-30\ \Longrightarrow\ 8m=24\ \Longrightarrow\ m=3.$$

Krok 2. Postać wielomianu. Podstawiamy $m=3$, czyli $5m+1=16$ oraz $2m=6$:

$$W(x)=4x^3-6x^2-16x-6.$$

Krok 3. Rozkład na czynniki. Dzielimy obie strony nierówności przez $2$:

$$2x^3-3x^2-8x-3\ge 0.$$

Sprawdzamy $x=-1$: $\;-2-3+8-3=0$, więc $(x+1)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:

$$2x^3-3x^2-8x-3=(x+1)\left(2x^2-5x-3\right)=(x+1)(2x+1)(x-3).$$

Zatem $W(x)=2(x+1)(2x+1)(x-3)$, a pierwiastki to

$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac{1}{2},\qquad x_3=3.$$

Krok 4. Analiza znaku. Współczynnik przy $x^3$ jest dodatni, więc dla argumentów większych od największego pierwiastka wielomian jest dodatni, a znak zmienia się przy każdym pierwiastku jednokrotnym. Idąc od prawej: $+$ na $(3,+\infty)$, $-$ na $\left(-\frac12,3\right)$, $+$ na $\left(-1,-\frac12\right)$, $-$ na $(-\infty,-1)$.

Kontrola: $W(-2)=2\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot(-5)=-30$ — zgadza się z treścią zadania.

Krok 5. Odczytanie rozwiązania. Nierówność jest nieostra, więc pierwiastki należą do zbioru rozwiązań:

$$x\in\left\langle-1,\ -\frac{1}{2}\right\rangle\cup\left\langle 3,\ +\infty\right).$$

Odpowiedź: $m=3$, $\;x\in\left\langle-1,-\frac{1}{2}\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right)$