LekcjeRazem

Krok 1. Grupowanie i wzór na sumę sinusów. Łączymy skrajne składniki:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cos(-x)=2\sin 2x\cos x.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0.$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.

$$\sin 2x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Krok 3. Pierwszy czynnik. $\sin 2x=0$ oznacza $2x=k\pi$, czyli $x=\frac{k\pi}{2}$. Dla $x\in\langle0,\pi\rangle$ mamy $2x\in\langle0,2\pi\rangle$, więc

$$x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\pi.$$

Krok 4. Drugi czynnik.

$$2\cos x+1=0\ \Longrightarrow\ \cos x=-\frac12.$$

W przedziale $\langle0,\pi\rangle$ jedynym takim argumentem jest $x=\frac{2\pi}{3}$.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \pi\right\}$