LekcjeRazem

Jeżeli ten ciąg jest arytmetyczny, to zajdzie w nim bardzo charakterystyczna własność między trzema kolejnymi wyrazami, czyli:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Z kolei jeśli ten ciąg jest geometryczny, to zajdzie w nim następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Sprawdźmy zatem, która z tych własności będzie spełniona, zaczynając od ciągu arytmetycznego. Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$4=\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2} \           ,\
4=\frac{6\sqrt{2}}{2} \           ,\
4=3\sqrt{2} \           ,\
L\neq P$$

Wyszła nam sprzeczność, czyli wiemy już, że ten ciąg nie jest arytmetyczny. To teraz sprawdźmy, czy jest geometryczny:
$$4^2=2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2} \           ,\
16=8\cdot2 \           ,\
16=16 \           ,\
L=P$$

Taki wynik oznacza, że faktycznie ten ciąg jest geometryczny, ponieważ \(b^2=a\cdot c\) i taka też jest odpowiedź.