Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Proste i płaszczyzny w przestrzeni (klasa 4 LO)
Co robi: porządkuje wzajemne położenie prostych i płaszczyzn.
Elementy: proste skośne nie przecinają się i nie są równoległe; kąt między prostą a płaszczyzną.
Punkt, prosta, półprosta, odcinek (klasa 4 SP)
Co robi: porządkuje podstawowe figury.
Elementy: prosta jest nieskończona, półprosta ma początek, odcinek $\overline{AB}$ ma dwa końce, a $|AB|$ to jego długość.
Reguła mnożenia
Co robi: zlicza, na ile sposobów można wykonać ciąg niezależnych wyborów.
Elementy: $n_i$ — liczba możliwości w $i$-tym kroku, $k$ — liczba kroków. Warunek: liczba możliwości w każdym kroku nie zależy od tego, co wybraliśmy wcześniej.
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $3 \cdot 4 = 12$ zestawów. Kod z $2$ liter ($26$ możliwości) i $3$ cyfr: $26^2 \cdot 10^3 = 676\,000$.
Pułapka: jeśli elementy się nie powtarzają, liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie 3 osób w rzędzie to $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, a nie $3^3$.
Reguła mnożenia w kombinatoryce
Co robi: zlicza możliwości wyboru składającego się z kilku etapów, bez wypisywania wszystkich przypadków.
Elementy: $n_i$ to liczba możliwości na $i$-tym etapie, $N$ — łączna liczba wyników.
Kiedy mnożyć, a kiedy dodawać: mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie); dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie.
Przykłady: $3$ koszulki i $4$ pary spodni dają $12$ zestawów. Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9^3=729$. Liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach: $9\cdot9\cdot8=648$.
Wskazówka: zaczynaj od pozycji z najostrzejszym warunkiem. Liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach jest $5\cdot8\cdot8=320$ — najpierw ostatnia cyfra, dopiero potem pierwsza.
Pułapka: pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej nie może być zerem, ale na dalszych pozycjach zero jest dozwolone.
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Co robi: rozwiązuje dowolne równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ przy $a\ne 0$.
Elementy: $\Delta$ — wyróżnik. $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki; $\Delta=0$ — jeden podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$; $\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.
Przykład: $2x^2-7x+3=0$: $\Delta=49-24=25$, $\sqrt{\Delta}=5$, więc $x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{7+5}{4}=3$.
Pułapka: równania niezupełne rozwiązuj szybciej bez delty: $x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3$; $x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — traci się rozwiązanie $x=0$.
Przekształcenia równoważne równania
Co robi: określa, jakie operacje wolno wykonać na równaniu, nie zmieniając zbioru jego rozwiązań.
Elementy: wolno dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron oraz pomnożyć lub podzielić obie strony przez liczbę różną od zera.
Przykład: $3x-5=16 \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7$. Sprawdzenie przez podstawienie: $3\cdot7-5=16$. ✔
Trzy możliwe wyniki: jedno rozwiązanie; równanie sprzeczne (np. $3=5$ — brak rozwiązań); równanie tożsamościowe (np. $3=3$ — spełnia je każda liczba).
Pułapka: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą może zgubić rozwiązanie. Z $x^2=x$ nie wolno skracać przez $x$ — traci się $x=0$. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i rozłóż na czynniki.
Średnia arytmetyczna — wzór (klasa 3 LO)
Co robi: sumuje dane i dzieli przez ich liczbę.
Przykład: średnia liczb $2,4,9$ to $\frac{15}{3}=5$.
Stopień wielomianu (klasa 2 LO)
Co robi: stopień to najwyższa potęga zmiennej o niezerowym współczynniku.
Elementy: $a_n\neq0$ to współczynnik wiodący, $a_0$ wyraz wolny.
Twierdzenie Pitagorasa (klasa 2 LO)
Co robi: wiąże przyprostokątne $a,b$ z przeciwprostokątną $c$.
Przykład: dla $a=3$, $b=4$: $c=\sqrt{9+16}=5$.
Związek NWD i NWW
Co robi: pozwala obliczyć jedną z tych wielkości, gdy znamy drugą — bez wypisywania dzielników czy wielokrotności.
Elementy: NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $a$ i $b$.
Przykład: dla $12$ i $18$ mamy NWD$=6$, więc NWW$=\frac{12\cdot18}{6}=36$. Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔
Gdzie się przydaje: NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej, NWW sprowadza je do wspólnego mianownika. NWW rozwiązuje też zadania o cyklach — autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Pułapka: wzór działa tylko dla dwóch liczb. Dla trzech i więcej iloczyn NWD i NWW nie jest równy iloczynowi liczb.
Kąty wierzchołkowe, przyległe i przy prostych równoległych
Co robi: pozwala wyznaczyć nieznane kąty na rysunku bez mierzenia — na podstawie ich wzajemnego położenia.
Elementy: kąty przyległe mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$; kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu prostych i są równe; przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.
Przykład: jeśli jeden z kątów przyległych ma $53^\circ$, to drugi ma $180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$, a kąt wierzchołkowy do pierwszego znów $53^\circ$.
Pułapka: równość kątów odpowiadających wymaga, żeby proste naprawdę były równoległe — samo podobieństwo rysunku nie wystarcza, musi to wynikać z treści zadania.
Proporcjonalność odwrotna y=a/x (klasa 2 LO)
Co robi: opisuje hiperbolę — wykres proporcjonalności odwrotnej.
Elementy: asymptoty to osie układu; dziedzina $x\neq0$.
Parabola y=ax^2 (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje najprostszą funkcję kwadratową z wierzchołkiem w $(0,0)$.
Elementy: $a>0$ ramiona w górę, $a<0$ w dół; im większe $|a|$, tym węższa parabola.
Wykres funkcji liniowej — postać (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje prostą — wykres funkcji liniowej.
Elementy: $a$ współczynnik kierunkowy, $b$ punkt przecięcia z osią $OY$.
Zapis dziesiątkowy liczby (klasa 4 SP)
Co robi: pokazuje wartość cyfry zależną od jej pozycji.
Elementy: jedności, dziesiątki, setki, tysiące itd.
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i procent
Co robi: pozwala swobodnie przechodzić między trzema zapisami tej samej wartości — ułamkiem zwykłym, dziesiętnym i procentem.
Elementy: kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Aby otrzymać procent, mnożymy ułamek dziesiętny przez $100\%$; w drugą stronę dzielimy przez $100$.
Przykład: $\frac34=3:4=0{,}75=75\%$. Oraz $\frac{3}{10}=0{,}3=30\%$.
Warto zapamiętać: $\frac12=0{,}5=50\%$, $\frac14=0{,}25=25\%$, $\frac15=0{,}2=20\%$, $\frac18=0{,}125=12{,}5\%$.
Pułapka: nie każdy ułamek ma skończone rozwinięcie dziesiętne. $\frac13=0{,}(3)$ — rozwinięcie jest okresowe. Dzieje się tak, gdy mianownik po skróceniu ma czynnik pierwszy inny niż $2$ i $5$.
Działania na zbiorach (klasa 1 LO)
Co robi: definiuje sumę, iloczyn (część wspólną) i różnicę zbiorów.
Elementy: $A\cup B$ elementy w $A$ lub $B$; $A\cap B$ wspólne; $A\setminus B$ w $A$ i nie w $B$.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Co robi: formalizuje doświadczenie losowe — opisuje zbiór wszystkich możliwych wyników, na którym opiera się każde obliczenie prawdopodobieństwa.
Elementy: $\Omega$ — przestrzeń zdarzeń elementarnych, $\omega_i$ — pojedynczy wynik, $A$ — zdarzenie, czyli dowolny podzbiór $\Omega$. Zdarzenie pewne to $\Omega$, niemożliwe to zbiór pusty.
Przykład: rzut dwiema kostkami: $|\Omega|=36$ (uporządkowane pary). Zdarzenie „suma oczek równa $7$” ma $6$ elementów, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Pułapka: przestrzeń trzeba dobrać tak, by wyniki były jednakowo prawdopodobne. Przyjęcie $\Omega$ jako zbioru możliwych sum ($2$ do $12$, czyli $11$ elementów) jest błędne — suma $7$ wypada częściej niż $2$.
NWD i NWW (klasa 1 LO)
Co robi: wiąże największy wspólny dzielnik z najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Elementy: $a,b$ to liczby naturalne; obie wielkości wyznaczamy z rozkładu na czynniki pierwsze.
Przykład: dla $a=12$, $b=18$: $\operatorname{NWD}=6$, $\operatorname{NWW}=36$, a $6\cdot36=12\cdot18$.
Cechy podzielności liczb
Co robi: pozwala szybko sprawdzić podzielność bez wykonywania dzielenia.
Elementy: dla 2, 5, 10 patrzymy na ostatnią cyfrę; dla 3 i 9 sumujemy wszystkie cyfry; dla 4 wystarczy liczba z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: czy $1{\,}476$ dzieli się przez 9? Suma cyfr: $1+4+7+6 = 18$, a $18$ dzieli się przez $9$ — tak. Czy przez 4? Dwie ostatnie cyfry to $76$, a $76 : 4 = 19$ — tak.
Pułapka: podzielność przez 6 to podzielność przez 2 i przez 3 jednocześnie — nie wystarczy jedna z nich.
Cechy przystawania trójkątów
Co robi: podaje warunki wystarczające, by stwierdzić, że dwa trójkąty są przystające, bez sprawdzania wszystkich sześciu elementów.
Elementy: bbb — trzy pary równych boków; bkb — dwa boki i kąt między nimi; kbk — dwa kąty i bok między nimi.
Przykład: trójkąty o bokach $3,4,5$ i $3,4,5$ są przystające na mocy bbb. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli go na dwa trójkąty przystające (bkb).
Skutek: w trójkątach przystających wszystkie odpowiadające sobie boki i kąty są równe — to główne narzędzie w dowodach geometrycznych.
Pułapka: układ kkk (trzy równe kąty) nie daje przystawania, a jedynie podobieństwo — trójkąty mogą mieć różne rozmiary. W cechach bkb i kbk kąt lub bok musi leżeć między danymi elementami.
Kąt wycinka diagramu kołowego (klasa 7 SP)
Co robi: zamienia udział procentowy na kąt środkowy wycinka w diagramie kołowym.
Elementy: $p$ to procent danej kategorii, a $\alpha$ to miara kąta jej wycinka.
Przykład: $25\%$ odpowiada kątowi $\frac{25}{100}\cdot360^\circ=90^\circ$.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów (klasa 2 LO)
Co robi: dodajemy (odejmujemy) współczynniki przy tych samych potęgach.
Przykład: $(x^2+3x)+(2x^2-x)=3x^2+2x$.
Mnożenie liczb całkowitych — znaki (klasa 6 SP)
Co robi: iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny.
Przykład: $(-3)\cdot(-4)=12$; $(-3)\cdot4=-12$.
Strona 9 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.