∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — suma n wyrazów
\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\]
∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — suma n wyrazów
\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\]
Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.
Przykład: Suma liczb od 1 do 100: $S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.
Ciąg arytmetyczny — suma n wyrazów
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — trzy kolejne wyrazy
\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]
∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — trzy kolejne wyrazy
\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]
Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Przykład: $x$, $7$, $12$ tworzą ciąg arytmetyczny: $7=\frac{x+12}{2}$, więc $x=2$.
Ciąg arytmetyczny — trzy kolejne wyrazy
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — wyraz ogólny
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\]
∑ Matematyka
Ciąg arytmetyczny — wyraz ogólny
\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\]
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.
Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.
Ciąg arytmetyczny — wyraz ogólny
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — suma n wyrazów
\[S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\ \ (q\neq1),\qquad S_n=n\cdot a_1\ \ (q=1)\]
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — suma n wyrazów
\[S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\ \ (q\neq1),\qquad S_n=n\cdot a_1\ \ (q=1)\]
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Ciąg geometryczny — suma n wyrazów
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — trzy kolejne wyrazy
\[a_n^{\,2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\]
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — trzy kolejne wyrazy
\[a_n^{\,2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\]
Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.
Przykład: $4$, $x$, $9$ — ciąg geometryczny: $x^2=36$, $x=\pm6$.
Ciąg geometryczny — trzy kolejne wyrazy
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — wyraz ogólny
\[a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\]
∑ Matematyka
Ciąg geometryczny — wyraz ogólny
\[a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\]
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.
Ciąg geometryczny — wyraz ogólny
Ciągi liczbowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Czworościan foremny
\[V=\frac{a^3\sqrt2}{12},\qquad P_c=a^2\sqrt3,\qquad H=\frac{a\sqrt6}{3}\]
∑ Matematyka
Czworościan foremny
\[V=\frac{a^3\sqrt2}{12},\qquad P_c=a^2\sqrt3,\qquad H=\frac{a\sqrt6}{3}\]
Wszystkie cztery ściany to trójkąty równoboczne o boku $a$.
Przykład: $a=6$: $V=18\sqrt2$, $P_c=36\sqrt3$.
Czworościan foremny
Ostrosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Definicja logarytmu
\[\log_a b=c\iff a^c=b,\quad a>0,\ a\neq1,\ b>0\]
∑ Matematyka
Definicja logarytmu
\[\log_a b=c\iff a^c=b,\quad a>0,\ a\neq1,\ b>0\]
Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.
Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.
Definicja logarytmu
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Deltoid
\[P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\]
∑ Matematyka
Deltoid
\[P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}\]
Pole deltoidu z przekątnych (są prostopadłe).
Przykład: Przekątne 4 i 9: $P=18$.
Deltoid
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Dominanta
\[Mo=\text{wartość występująca najczęściej}\]
∑ Matematyka
Dominanta
\[Mo=\text{wartość występująca najczęściej}\]
Zestaw danych może mieć jedną, kilka albo żadnej dominanty.
Przykład: Dane 1, 3, 3, 5, 3, 6: $Mo=3$.
Dominanta
Statystyka
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ekstremum funkcji
\[f^{\prime}(x_0)=0\ \text{i zmiana znaku}\ f^{\prime}\ \Rightarrow\ \text{ekstremum w}\ x_0\]
∑ Matematyka
Ekstremum funkcji
\[f^{\prime}(x_0)=0\ \text{i zmiana znaku}\ f^{\prime}\ \Rightarrow\ \text{ekstremum w}\ x_0\]
Z $+$ na $-$: maksimum; z $-$ na $+$: minimum.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime}=3x^2-3=0$ dla $x=\pm1$; max w $-1$, min w $1$.
Ekstremum funkcji
Granice i pochodna funkcji
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcja logarytmiczna
\[f(x)=\log_a x,\quad x>0,\ a>0,\ a\neq1\]
∑ Matematyka
Funkcja logarytmiczna
\[f(x)=\log_a x,\quad x>0,\ a>0,\ a\neq1\]
Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.
Przykład: $f(x)=\log_3 x$: $f(9)=2$, $f\left(\frac{1}{3}\right)=-1$.
Funkcja logarytmiczna
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcja wykładnicza
\[f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1\]
∑ Matematyka
Funkcja wykładnicza
\[f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1\]
Dla $a>1$ rosnąca, dla $0Przykład: $f(x)=2^x$: $f(3)=8$, $f(-1)=\frac{1}{2}$.
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcje kąta podwojonego
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
∑ Matematyka
Funkcje kąta podwojonego
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
Szczególny przypadek wzorów na sumę kątów.
Przykład: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.
Funkcje kąta podwojonego
Trygonometria
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
\[\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}\]
∑ Matematyka
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
\[\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}\]
$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.
Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Trygonometria
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
\[V=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\cdot H,\qquad P_c=3a^2\sqrt3+6aH\]
∑ Matematyka
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
\[V=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\cdot H,\qquad P_c=3a^2\sqrt3+6aH\]
Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $a$.
Przykład: $a=2$, $H=5$: $V=30\sqrt3$, $P_c=12\sqrt3+60$.
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Graniastosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
\[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H,\qquad P_c=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3aH\]
∑ Matematyka
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
\[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H,\qquad P_c=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3aH\]
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$.
Przykład: $a=4$, $H=10$: $V=40\sqrt3$, $P_c=8\sqrt3+120$.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Jedynka trygonometryczna
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
∑ Matematyka
Jedynka trygonometryczna
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
Jedynka trygonometryczna
Trygonometria
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kąt nachylenia przekątnej do podstawy
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}\]
∑ Matematyka
Kąt nachylenia przekątnej do podstawy
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}\]
$d_p$ — przekątna podstawy, $H$ — wysokość graniastosłupa.
Przykład: Sześcian o krawędzi $a$: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.
Kąt nachylenia przekątnej do podstawy
Graniastosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kąt rozwarcia i rozwinięcie stożka
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l},\qquad \beta=\frac{r}{l}\cdot360^\circ\]
∑ Matematyka
Kąt rozwarcia i rozwinięcie stożka
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l},\qquad \beta=\frac{r}{l}\cdot360^\circ\]
$\alpha$ — kąt rozwarcia, $\beta$ — kąt wycinka koła po rozwinięciu powierzchni bocznej.
Przykład: $r=3$, $l=6$: $\frac{\alpha}{2}=30^\circ$, $\alpha=60^\circ$; $\beta=180^\circ$.
Kąt rozwarcia i rozwinięcie stożka
Bryły obrotowe
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kąt wpisany i środkowy
\[\alpha_{\text{wpisany}}=\frac{1}{2}\,\alpha_{\text{środkowy}}\]
∑ Matematyka
Kąt wpisany i środkowy
\[\alpha_{\text{wpisany}}=\frac{1}{2}\,\alpha_{\text{środkowy}}\]
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy jest prosty.
Przykład: Kąt środkowy $110^\circ$ — kąt wpisany $55^\circ$.
Kąt wpisany i środkowy
Koło i okrąg
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kombinacje (symbol Newtona)
\[C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
∑ Matematyka
Kombinacje (symbol Newtona)
\[C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
Liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego (kolejność nie ma znaczenia).
Przykład: Wybór 2 osób z 6: $\binom{6}{2}=15$.
Kombinacje (symbol Newtona)
Kombinatoryka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kula
\[V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2\]
∑ Matematyka
Kula
\[V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2\]
Objętość kuli i pole sfery o promieniu $r$.
Przykład: $r=3$: $V=36\pi$, $P=36\pi$.
Kula
Bryły obrotowe
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Kwadrat
\[P=a^2,\qquad Ob=4a,\qquad d=a\sqrt2\]
∑ Matematyka
Kwadrat
\[P=a^2,\qquad Ob=4a,\qquad d=a\sqrt2\]
Pole, obwód i przekątna kwadratu o boku $a$.
Przykład: $a=5$: $P=25$, $Ob=20$, $d=5\sqrt2$.
Kwadrat
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →