∑ Matematyka
Trójkąty podobne
Podobieństwo — skala i pola
\[\frac{a_1}{a}=k,\qquad \frac{P_1}{P}=k^2\]
∑ Matematyka · Trójkąty podobne
Podobieństwo — skala i pola
\[\frac{a_1}{a}=k,\qquad \frac{P_1}{P}=k^2\]
Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali.
Przykład: Skala $k=3$: pole wzrośnie 9 razy.
Podobieństwo — skala i pola
Trójkąty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Prawdopodobieństwo całkowite
\[P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+\ldots+P(A|B_n)P(B_n)\]
∑ Matematyka · Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Prawdopodobieństwo całkowite
\[P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+\ldots+P(A|B_n)P(B_n)\]
$B_1,\ldots,B_n$ — rozbicie przestrzeni zdarzeń; przydatne w doświadczeniach dwuetapowych.
Przykład: Urna 1 lub 2 (po $\frac12$), białe kule: $\frac12\cdot\frac{3}{5}+\frac12\cdot\frac{1}{5}=\frac25$.
Prawdopodobieństwo całkowite
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Warunek prostopadłości prostych
Proste równoległe i prostopadłe
\[a_1=a_2\ \ (\parallel),\qquad a_1\cdot a_2=-1\ \ (\perp)\]
∑ Matematyka · Warunek prostopadłości prostych
Proste równoległe i prostopadłe
\[a_1=a_2\ \ (\parallel),\qquad a_1\cdot a_2=-1\ \ (\perp)\]
Warunki dla prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$.
Przykład: Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma $a=-\frac{1}{2}$.
Proste równoległe i prostopadłe
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Geometria analityczna — powtórzenie
Długość odcinka
\[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
∑ Matematyka · Geometria analityczna — powtórzenie
Długość odcinka
\[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie.
Przykład: $A(-1,1)$, $B(5,9)$: $|AB|=\sqrt{36+64}=10$.
Długość odcinka
Geometria analityczna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych
Liczba rozwiązań układu
\[\text{jedno: proste przecinają się; brak: równoległe; nieskończenie wiele: pokrywają się}\]
∑ Matematyka · Interpretacja geometryczna układu równań liniowych
Liczba rozwiązań układu
\[\text{jedno: proste przecinają się; brak: równoległe; nieskończenie wiele: pokrywają się}\]
Interpretacja geometryczna — każde równanie to prosta.
Przykład: $y=2x+1$ i $y=2x+5$ są równoległe — układ sprzeczny.
Liczba rozwiązań układu
Układy równań
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Okrąg wpisany w trójkąt
Promień okręgu wpisanego i opisanego
\[r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}\]
∑ Matematyka · Okrąg wpisany w trójkąt
Promień okręgu wpisanego i opisanego
\[r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}\]
$p$ — połowa obwodu, $P$ — pole trójkąta.
Przykład: Trójkąt 3–4–5: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$; $R=\frac{60}{24}=2{,}5$.
Promień okręgu wpisanego i opisanego
Trójkąty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pierwiastek kwadratowy
Iloczyn i iloraz pierwiastków
\[\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\quad(a,b\ge0,\ b\neq0)\]
∑ Matematyka · Pierwiastek kwadratowy
Iloczyn i iloraz pierwiastków
\[\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\quad(a,b\ge0,\ b\neq0)\]
Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy i dzielimy pod jednym pierwiastkiem.
Przykład: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$.
Iloczyn i iloraz pierwiastków
Pierwiastki
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pierwiastek kwadratowy
Usuwanie niewymierności z mianownika
\[\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b},\qquad \frac{a}{\sqrt{b}+c}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{b-c^2}\]
∑ Matematyka · Pierwiastek kwadratowy
Usuwanie niewymierności z mianownika
\[\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b},\qquad \frac{a}{\sqrt{b}+c}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{b-c^2}\]
Rozszerzamy ułamek przez pierwiastek lub przez wyrażenie sprzężone.
Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$, $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Pierwiastki
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pierwiastek sześcienny
Pierwiastek sześcienny
\[\sqrt[3]{a}=b\iff b^3=a\]
∑ Matematyka · Pierwiastek sześcienny
Pierwiastek sześcienny
\[\sqrt[3]{a}=b\iff b^3=a\]
Pierwiastek sześcienny istnieje także z liczb ujemnych.
Przykład: $\sqrt[3]{125}=5$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.
Pierwiastek sześcienny
Pierwiastki
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Równanie z wartością bezwzględną
\[|x|=a\ (a>0)\iff x=a\ \lor\ x=-a\]
∑ Matematyka · Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Równanie z wartością bezwzględną
\[|x|=a\ (a>0)\iff x=a\ \lor\ x=-a\]
Dla $a<0$ równanie nie ma rozwiązań, dla $a=0$ jedno: $x=0$.
Przykład: $|2x-1|=5$: $2x-1=5$ lub $2x-1=-5$, czyli $x=3$ lub $x=-2$.
Równanie z wartością bezwzględną
Wartość bezwzględna
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Własności logarytmów
Logarytm potęgi
\[\log_a x^{k}=k\cdot\log_a x\]
∑ Matematyka · Własności logarytmów
Logarytm potęgi
\[\log_a x^{k}=k\cdot\log_a x\]
Wykładnik potęgi wyciągamy przed logarytm.
Przykład: $\log_2 8^{5}=5\cdot\log_2 8=15$.
Logarytm potęgi
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcja liniowa — zastosowania
Monotoniczność funkcji liniowej
\[a>0\ \text{rosnąca},\quad a<0\ \text{malejąca},\quad a=0\ \text{stała}\]
∑ Matematyka · Funkcja liniowa — zastosowania
Monotoniczność funkcji liniowej
\[a>0\ \text{rosnąca},\quad a<0\ \text{malejąca},\quad a=0\ \text{stała}\]
O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego.
Przykład: $f(x)=-3x+1$ jest malejąca.
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole trójkąta
Wzór Herona
\[P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}\]
∑ Matematyka · Pole trójkąta
Wzór Herona
\[P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}\]
Pole z długości trzech boków.
Przykład: Boki 5, 6, 7: $p=9$, $P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6$.
Wzór Herona
Trójkąty
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY
Symetria względem osi Ox
\[y=-f(x)\]
∑ Matematyka · Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OY
Symetria względem osi Ox
\[y=-f(x)\]
Wykres odbijamy względem osi poziomej.
Przykład: $y=-x^2$ — parabola ramionami w dół.
Symetria względem osi Ox
Przekształcenia wykresów funkcji
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równania wymierne
Równanie wymierne
\[\frac{W(x)}{V(x)}=0\iff W(x)=0\ \land\ V(x)\neq0\]
∑ Matematyka · Równania wymierne
Równanie wymierne
\[\frac{W(x)}{V(x)}=0\iff W(x)=0\ \land\ V(x)\neq0\]
Najpierw dziedzina (mianownik ≠ 0), potem przyrównujemy licznik do zera.
Przykład: $\frac{x^2-9}{x-3}=0$: $x=\pm3$, ale $x\neq3$, więc $x=-3$.
Równanie wymierne
Równania i nierówności
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Potęga o wykładniku całkowitym
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]
∑ Matematyka · Potęga o wykładniku całkowitym
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi.
Przykład: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}=\frac{25}{4}$.
Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
Potęgi
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Przesunięcie o wektor [p, q]
\[y=f(x-p)+q\]
∑ Matematyka · Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Przesunięcie o wektor [p, q]
\[y=f(x-p)+q\]
Wykres przesuwamy o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.
Przykład: $y=(x-3)^2+1$ to $y=x^2$ przesunięty o $[3,1]$.
Przesunięcie o wektor [p
q]
Przekształcenia wykresów funkcji
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat różnicy
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
∑ Matematyka · Wzory skróconego mnożenia
Kwadrat różnicy
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Jak kwadrat sumy, ale środkowy wyraz ze znakiem minus.
Przykład: $(2x-5)^2=4x^2-20x+25$.
Kwadrat różnicy
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wzory skróconego mnożenia
Sześcian sumy
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
∑ Matematyka · Wzory skróconego mnożenia
Sześcian sumy
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
Wzór na trzecią potęgę dwumianu.
Przykład: $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$.
Sześcian sumy
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcja kwadratowa — zastosowania (1)
Wierzchołek paraboli
\[W=(p,q),\quad p=\frac{-b}{2a},\quad q=\frac{-\Delta}{4a}\]
∑ Matematyka · Funkcja kwadratowa — zastosowania (1)
Wierzchołek paraboli
\[W=(p,q),\quad p=\frac{-b}{2a},\quad q=\frac{-\Delta}{4a}\]
W wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą ($a>0$) lub największą ($a<0$).
Przykład: $f(x)=x^2-4x+7$: $p=2$, $q=f(2)=3$, więc $W=(2,3)$.
Wierzchołek paraboli
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Działania na wektorach
Wektor i jego długość
\[\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A],\qquad |\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\]
∑ Matematyka · Działania na wektorach
Wektor i jego długość
\[\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A],\qquad |\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\]
Współrzędne wektora to różnica współrzędnych końca i początku.
Przykład: $A(1,1)$, $B(4,5)$: $\overrightarrow{AB}=[3,4]$, długość $5$.
Wektor i jego długość
Geometria analityczna
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Logarytm i jego własności
Logarytm ilorazu
\[\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\]
∑ Matematyka · Logarytm i jego własności
Logarytm ilorazu
\[\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\]
Logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów.
Przykład: $\log_3 54-\log_3 2=\log_3 27=3$.
Logarytm ilorazu
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie Bézouta
Reszta z dzielenia przez (x − a)
\[W(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,\qquad r=W(a)\]
∑ Matematyka · Twierdzenie Bézouta
Reszta z dzielenia przez (x − a)
\[W(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,\qquad r=W(a)\]
Reszta z dzielenia przez dwumian $x-a$ to wartość wielomianu w punkcie $a$.
Przykład: Reszta z dzielenia $x^3+2x-1$ przez $x-1$ to $W(1)=2$.
Reszta z dzielenia przez (x − a)
Wielomiany
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta
\[W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)\]
∑ Matematyka · Twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta
\[W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)\]
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez $(x-a)$.
Przykład: $W(x)=x^3-8$, $W(2)=0$, więc $W(x)=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Twierdzenie Bézouta
Wielomiany
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →