Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Kąty przyległe i wierzchołkowe (klasa 7 SP)
Co robi: opisuje zależności między kątami przyległymi i wierzchołkowymi.
Elementy: kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a kąty wierzchołkowe są równe.
Przykład: kąt przyległy do $50^\circ$ ma $130^\circ$.
Pułapka: przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.
Wartość bezwzględna na osi liczbowej (klasa 8 SP)
Co robi: określa wartość bezwzględną jako odległość od zera.
Elementy: $|a|$ to odległość liczby $a$ od punktu $0$ na osi.
Przykład: $|-4|=4$ oraz $|4|=4$.
Liczby naturalne — NWD i NWW (klasa 1 LO)
Co robi: wiąże największy wspólny dzielnik z najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Przykład: dla $a=12$, $b=18$: $6\cdot36=216=12\cdot18$.
Logarytm iloczynu (klasa 4 LO)
Co robi: zamienia logarytm iloczynu na sumę logarytmów.
Powiązane: $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
Wartość bezwzględna liczby
Co robi: podaje odległość liczby od zera na osi liczbowej. Wynik jest zawsze nieujemny.
Elementy: $a$ to dowolna liczba rzeczywista. Zapis $-a$ dla liczby ujemnej daje liczbę dodatnią — minus przed minusem.
Przykłady: $|-6|=6$, $|6|=6$, $|0|=0$.
Konsekwencja: dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w równej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Zastosowanie: warunek $|x|<4$ oznacza $-4 Pułapka: większa wartość bezwzględna nie oznacza większej liczby. Zachodzi $|-7|>|-3|$, ale $-7<-3$ — wśród liczb ujemnych porządek jest odwrotny.
Liczba wymierna — postać ułamkowa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje ogólną postać liczby wymiernej.
Elementy: $p,q$ to liczby całkowite, a mianownik $q$ nie może być zerem.
Przykład: $\frac{3}{4}$, $-2=\frac{-2}{1}$, $0{,}5=\frac{1}{2}$.
Mnożenie liczb wymiernych — reguła znaków (klasa 7 SP)
Co robi: ustala znak iloczynu i ilorazu liczb wymiernych.
Elementy: zgodne znaki dają wynik dodatni, różne — ujemny.
Przykład: $(-3)\cdot(-4)=12$, a $(-3)\cdot4=-12$.
Suma kątów w trójkącie (klasa 1 LO)
Co robi: podaje sumę miar kątów wewnętrznych trójkąta.
Elementy: kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Mnożenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Co robi: mnożymy bez przecinków, a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
Przykład: $0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06$.
Stężenie procentowe roztworu
Co robi: mówi, jaką część roztworu stanowi rozpuszczona substancja.
Elementy: $m_s$ to masa substancji (np. soli, cukru), $m_r$ — masa całego roztworu, czyli substancji razem z rozpuszczalnikiem.
Przykład: $60$ g soli w $400$ g roztworu daje $\frac{60}{400} = 0{,}15 = 15\%$.
Rozcieńczanie: dolewanie wody nie zmienia masy substancji — rośnie tylko mianownik. Do $300$ g roztworu $10\%$ (czyli $30$ g soli) dolewamy $200$ g wody: nowe stężenie to $\frac{30}{500} = 6\%$.
Zatężanie przez odparowanie: działa odwrotnie — masa substancji zostaje, masa roztworu maleje, więc stężenie rośnie.
Pułapka: wstawienie do mianownika masy samej wody zamiast masy roztworu. Przy $60$ g soli i $400$ g wody roztwór waży $460$ g, a stężenie wynosi około $13\%$, nie $15\%$ — trzeba uważnie przeczytać, którą masę podano.
Jednostki czasu i obliczenia zegarowe
Co robi: pozwala przeliczać czas i dodawać go do godziny zegarowej.
Elementy: czas dzieli się sześćdziesiątkowo, a nie dziesiętnie — to kluczowa różnica wobec pozostałych jednostek.
Przykład — dodawanie: $16{:}30$ plus $105$ min. Zamieniamy: $105$ min $=1$ h $45$ min, więc $16{:}30 \to 17{:}30 \to 18{:}15$.
Przykład — czas trwania: od $14{:}50$ do $15{:}20$ liczymy „przez pełną godzinę”: $10$ min do $15{:}00$ plus $20$ min, razem $30$ min.
Ułamki godziny: $0{,}5$ h $=30$ min, $0{,}25$ h $=15$ min, $\frac13$ h $=20$ min. Część ułamkową mnożymy przez $60$.
Pułapka: $2{,}5$ godziny to $2$ h $30$ min, a nie $2$ h $50$ min. Zapis $10{:}75$ nie istnieje — po przekroczeniu $59$ minut zamieniamy je na godzinę.
Obwód i pole prostokąta oraz kwadratu
Co robi: pozwala policzyć długość linii dookoła figury (obwód) oraz wielkość powierzchni w środku (pole).
Elementy: $a$ i $b$ to długości sąsiednich boków prostokąta. W kwadracie oba boki są równe, więc wzory się upraszczają.
Jednostki: obwód w cm, m, km — pole w cm$^2$, m$^2$. Dobre skojarzenie: obwód to długość płotu, pole to ilość trawy w środku.
Przykład: prostokąt $9$ cm na $4$ cm ma obwód $2(9+4)=26$ cm i pole $9\cdot4=36$ cm$^2$.
Zadania odwrotne: $a = O:4$ dla kwadratu, $b = P:a$ dla prostokąta.
Pułapka: podanie pola tam, gdzie pytano o obwód. Dla kwadratu o boku $7$ obwód wynosi $28$, a pole $49$ — obie liczby brzmią „naturalnie”, więc trzeba czytać treść. Warto też pamiętać, że spośród prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat.
Odczytywanie danych statystycznych (klasa 7 SP)
Co robi: odczytujemy wartości z tabel i diagramów, zwracając uwagę na skalę i jednostki.
Dalej: na podstawie danych liczymy średnią, medianę i dominantę.
Odległość punktów i środek odcinka
Co robi: oblicza długość odcinka i współrzędne jego środka w układzie współrzędnych.
Elementy: $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$. Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta o przyprostokątnych równoległych do osi; środek to średnia arytmetyczna współrzędnych.
Przykład: $A=(1,2)$, $B=(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$, $S=\left(\frac{5}{2},4\right)$.
Pułapka: kolejność odejmowania nie ma znaczenia (kwadrat usuwa znak), ale nie wolno odjąć $x$ od $y$. Pilnuj, by odejmować współrzędne tego samego typu.
Długość okręgu i pole koła (klasa 2 LO)
Co robi: podaje obwód okręgu i pole koła.
Elementy: $r$ to promień; obwód rośnie liniowo, a pole jak kwadrat promienia.
Przykład: dla $r=3$: $L=6\pi$, $P=9\pi$.
Ciąg jako funkcja (klasa 3 LO)
Co robi: ciąg to funkcja przyporządkowująca liczbie naturalnej wyraz $a_n$.
Elementy: $a_n$ to $n$-ty wyraz ciągu; dziedziną są liczby naturalne dodatnie.
Pojęcie funkcji (klasa 1 LO)
Co robi: definiuje funkcję jako przyporządkowanie.
Elementy: każdemu argumentowi $x$ z dziedziny $X$ odpowiada dokładnie jedna wartość $y$ ze zbioru $Y$.
Przykład: $f(x)=x^2$ przyporządkowuje $3\mapsto9$.
Pojęcie procentu (klasa 6 SP)
Co robi: procent to setna część całości.
Przykład: $50\%$ liczby $80$ to $\frac{50}{100}\cdot80=40$.
Pojęcie ułamka zwykłego (klasa 4 SP)
Co robi: ułamek $\frac{a}{b}$ oznacza podział całości na $b$ części i wzięcie $a$ z nich.
Elementy: $a$ licznik, $b$ mianownik; kreska ułamkowa to znak dzielenia.
Pole trójkąta i trapezu (klasa 6 SP)
Co robi: przypomina wzory na pola podstawowych wielokątów.
Elementy: $a,b$ podstawy, $h$ wysokość; prostokąt $P=a\cdot b$.
Pole równoległoboku i rombu
Co robi: oblicza pole równoległoboku i rombu — dwoma sposobami, zależnie od danych.
Elementy: $a$ — długość boku (podstawy), $h$ — wysokość prostopadła do tego boku, $e$, $f$ — przekątne rombu. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w połowie.
Przykład: równoległobok o podstawie $7$ i wysokości $4$: $P=28$. Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{6\cdot8}{2}=24$.
Pułapka: $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W równoległoboku o bokach $7$ i $5$ pole nie wynosi $35$, dopóki nie wiemy, że kąt jest prosty.
Działania na potęgach (klasa 2 LO)
Co robi: zbiera prawa działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym.
Elementy: podstawa $a>0$; wykładnik może być ułamkowy: $a^{1/2}=\sqrt{a}$.
Przykład: $2^3\cdot2^{-1}=2^2=4$.
Prędkość, droga, czas
Co robi: wiąże trzy wielkości ruchu jednostajnego — znając dwie, zawsze wyznaczymy trzecią.
Elementy: $s$ — droga, $v$ — prędkość, $t$ — czas. Jednostki muszą do siebie pasować: km i h dają km/h, m i s dają m/s.
Przykład: $60$ km/h przez $2$ h daje $s=120$ km. Odwrotnie: $180$ km przy $90$ km/h zajmie $t=2$ h.
Zamiana jednostek: z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$. Zatem $36$ km/h to $10$ m/s.
Pułapka: minuty trzeba zamienić na ułamek godziny — $2$ h $30$ min to $2{,}5$ h, a nie $2{,}30$ h. Prędkość średnia to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach.
Proporcja — własność iloczynów krzyżowych
Co robi: pozwala rozwiązać równanie z ułamkami przez „mnożenie na krzyż”.
Elementy: $a, d$ — wyrazy skrajne, $b, c$ — wyrazy środkowe. Zasada: iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych.
Przykład: $\frac{x}{6} = \frac{10}{4}$ daje $4x = 60$, czyli $x = 15$.
Pułapka: mnożenie na krzyż stosujemy tylko wtedy, gdy po obu stronach stoi pojedynczy ułamek. W równaniu $\frac{x}{2} + 1 = \frac{5}{3}$ najpierw przenieś $1$ na prawą stronę.
Strona 8 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.