Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Pole koła (klasa 8 SP)
Co robi: podaje pole koła o promieniu $r$.
Elementy: $r$ to promień, $\pi\approx3{,}14$.
Przykład: dla $r=3$ pole wynosi $\pi\cdot3^2=9\pi$.
Pole i obwód prostokąta oraz kwadratu
Co robi: oblicza powierzchnię (ile zajmuje miejsca) i obwód (długość brzegu) prostokąta i kwadratu.
Elementy: $a$, $b$ — długości sąsiednich boków prostokąta; w kwadracie wszystkie boki są równe, więc $b=a$. Pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych ($\text{cm}^2$), obwód w zwykłych ($\text{cm}$).
Przykład: prostokąt $5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}$: $P = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2$, $Ob = 2(5+3) = 16\,\text{cm}$.
Pułapka: przed liczeniem sprowadź boki do tych samych jednostek. Dla boków $2\,\text{m}$ i $50\,\text{cm}$ najpierw zamień: $50\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{m}$, więc $P = 2 \cdot 0{,}5 = 1\,\text{m}^2$.
Pola wielokątów — zestawienie wzorów
Co robi: zbiera w jednym miejscu wszystkie wzory na pola czworokątów i trójkąta.
Elementy: $a$, $b$ to podstawy, $h$ — wysokość opuszczona na podstawę, $e$, $f$ — przekątne rombu.
Skąd dzielenie przez dwa: przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty, więc trójkąt ma połowę jego pola. Podobnie romb zajmuje połowę prostokąta zbudowanego na jego przekątnych.
Przykłady: trójkąt $10\times6$ ma pole $30$; trapez o podstawach $8$ i $12$ oraz wysokości $5$ ma pole $50$; romb o przekątnych $6$ i $8$ ma pole $24$.
Zadania odwrotne: $h=\frac{2P}{a}$ dla trójkąta, $a+b=\frac{2P}{h}$ dla trapezu, $f=\frac{2P}{e}$ dla rombu. Dwójka w liczniku to najczęściej gubiony element.
Pułapka: we wzorach występuje wysokość, nie drugi bok. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od boku (poza prostokątem). Drugi błąd to pominięcie dzielenia przez $2$ — wtedy wynik wychodzi dwukrotnie za duży.
Porównywanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Co robi: porównujemy kolejno cyfry na tych samych pozycjach po przecinku.
Wskazówka: brakujące miejsca można uzupełnić zerami: $0{,}5=0{,}50$.
Iloczyn potęg o tej samej podstawie (klasa 5 SP)
Co robi: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy.
Przykład: $2^2\cdot2^3=2^5=32$.
Obliczenia procentowe w praktyce (klasa 8 SP)
Co robi: oblicza $p\%$ danej wielkości $A$ (rabaty, podatki, odsetki).
Elementy: $A$ to wielkość podstawowa, $p$ to procent, $x$ to wynik.
Przykład: $20\%$ z $150$ zł to $\frac{20}{100}\cdot150=30$ zł.
Proporcjonalność prosta
Co robi: opisuje zależność, w której obie wielkości rosną w tym samym tempie — ich iloraz jest stały.
Elementy: $a$ — współczynnik proporcjonalności. Wykresem jest półprosta wychodząca z początku układu współrzędnych.
Przykład: $1$ kg jabłek kosztuje $4$ zł, więc $y=4x$. Za $3$ kg zapłacimy $12$ zł. Podwojenie masy podwaja cenę.
Pułapka: nie każda zależność rosnąca jest proporcjonalnością prostą. Przy opłacie stałej plus cena za sztukę ($y=4x+10$) iloraz $\frac{y}{x}$ nie jest stały — to funkcja liniowa, ale nie proporcjonalność.
Proporcjonalność prosta i odwrotna
Co robi: rozróżnia dwa typy zależności między wielkościami — to podstawowy wybór przed rozwiązaniem zadania.
Proporcjonalność prosta: obie wielkości rosną razem, a ich iloraz jest stały. Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, liczba porcji i ilość składników.
Proporcjonalność odwrotna: jedna rośnie, druga maleje, a stały jest iloczyn. Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zapytaj „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni; sześciu będzie pracować krócej. Stała jest łączna praca: $4\cdot9=36$ dniówek, więc $36:6=6$ dni.
Podział proporcjonalny — schemat: zsumuj liczby ze stosunku, podziel całość przez tę sumę, pomnóż przez poszczególne liczby. Kwota $120$ zł w stosunku $2:3$ to $5$ części po $24$ zł, czyli $48$ zł i $72$ zł.
Pułapka: zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna — wtedy wynik przeczy zdrowemu rozsądkowi (więcej pracowników, a dłużej). Druga pomyłka to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału.
Proste prostopadłe i równoległe (klasa 4 SP)
Co robi: zapisuje wzajemne położenie prostych.
Elementy: $\parallel$ — równoległe (nie przecinają się), $\perp$ — prostopadłe (kąt $90^\circ$).
Przesunięcie hiperboli y=a/x (klasa 2 LO)
Co robi: opisuje przesunięcie hiperboli $y=\frac{a}{x}$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: asymptota pionowa to $x=p$, a pozioma $y=q$.
Przykład: $y=\frac{2}{x-1}+3$ ma asymptoty $x=1$ i $y=3$.
Przesunięcie paraboli y=ax^2 (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje przesunięcie wykresu $y=ax^2$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: wierzchołek paraboli to $(p,q)$; $p$ przesuwa poziomo, $q$ pionowo.
Przykład: $y=(x-2)^2+3$ ma wierzchołek $(2,3)$.
Punkty szczególne trójkąta
Co robi: porządkuje cztery klasyczne punkty szczególne i wskazuje, przecięcie których odcinków je wyznacza.
Elementy: środkowe (wierzchołek → środek boku) przecinają się w środku ciężkości, dzieląc się w stosunku $2{:}1$ licząc od wierzchołka; symetralne boków dają środek okręgu opisanego; dwusieczne kątów — środek okręgu wpisanego; wysokości — ortocentrum.
Przykład: w trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\frac{c}{2}$.
Pułapka: środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem — dzieje się tak w trójkącie rozwartokątnym. Środek wpisanego zawsze leży wewnątrz.
Redukcja wyrazów podobnych (klasa 7 SP)
Co robi: upraszcza wyrażenie, łącząc wyrazy o tej samej części literowej.
Elementy: dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, część literowa pozostaje bez zmian.
Przykład: $3x+5x=8x$, a $2a+3a-a=4a$.
Pułapka: nie łączymy wyrazów o różnej części literowej, np. $2x$ i $2x^2$.
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego (klasa 4 LO)
Co robi: podaje rozwiązania równania kwadratowego.
Elementy: $\Delta>0$ dwa pierwiastki, $\Delta=0$ jeden, $\Delta<0$ brak rzeczywistych.
Rozwiązywanie równania liniowego (klasa 7 SP)
Co robi: podaje rozwiązanie równania liniowego z jedną niewiadomą.
Elementy: przenosimy wyraz wolny na drugą stronę i dzielimy przez współczynnik przy $x$.
Przykład: $2x-6=0$ daje $x=\frac{6}{2}=3$.
Układ równań — metoda podstawiania (klasa 1 LO)
Co robi: rozwiązuje układ, wyznaczając jedną zmienną i wstawiając ją do drugiego równania.
Elementy: z jednego równania wyznaczamy np. $y$, podstawiamy do drugiego i obliczamy $x$.
Przykład: $y=2x$ w $x+y=6$ daje $3x=6$, $x=2$, $y=4$.
Pole powierzchni z siatki (klasa 5 SP)
Co robi: pole powierzchni graniastosłupa to suma pól z jego siatki.
Elementy: $P_p$ pole podstawy (dwie podstawy), $P_b$ pole powierzchni bocznej.
Sposoby określania ciągu (klasa 3 LO)
Co robi: ciąg zadajemy wzorem ogólnym lub rekurencyjnie.
Przykład: $a_n=2n$ (ogólny) lub $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2$ (rekurencja).
Średnia arytmetyczna — suma a liczebność
Co robi: pokazuje wzór na średnią w obie strony — z danych liczymy średnią, a ze średniej odtwarzamy sumę.
Elementy: $\sum x_i$ — suma wszystkich danych, $n$ — ich liczba, $\bar{x}$ — średnia. Druga postać jest kluczem do większości zadań tekstowych.
Przykład: średnia trzech liczb wynosi $10$, więc ich suma to $30$. Jeśli dwie z nich to $8$ i $9$, trzecia wynosi $30-17=13$.
Jak zmienia się średnia: dołożenie liczby większej od średniej podnosi ją, mniejszej — obniża, a równej — nie zmienia.
Pułapka: każde wystąpienie liczy się osobno. Dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$ — a nie średnia z dwóch różnych wartości.
Symetralna odcinka w układzie współrzędnych
Co robi: wyznacza równanie prostej prostopadłej do odcinka i przechodzącej przez jego środek — czyli zbioru punktów równo oddalonych od obu końców.
Elementy: $S$ to środek odcinka $AB$, $a_{AB}$ współczynnik kierunkowy odcinka, a $a_s$ współczynnik szukanej symetralnej.
Kolejność kroków: policz środek, policz współczynnik odcinka, odwróć go i zmień znak, na koniec wyznacz wyraz wolny podstawiając środek.
Przykład: dla $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$ środek to $S=(3,\,4)$, a $a_{AB}=\frac{6-2}{5-1}=1$, więc $a_s=-1$. Z warunku $4=-3+b$ wychodzi $b=7$, czyli symetralna ma równanie $y=-x+7$.
Zastosowanie: punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Pułapka: gdy odcinek jest poziomy, jego symetralna jest pionowa i ma równanie postaci $x=c$ — nie da się jej zapisać jako $y=ax+b$.
Trójkąt — suma kątów i pole (klasa 7 SP)
Co robi: podaje sumę kątów oraz pole trójkąta.
Elementy: $\alpha,\beta,\gamma$ to kąty wewnętrzne, $a$ to podstawa, a $h$ — opuszczona na nią wysokość.
Przykład: mając kąty $50^\circ$ i $60^\circ$, trzeci ma $180^\circ-110^\circ=70^\circ$.
Pułapka: wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.
Współrzędne punktu i wykres funkcji
Co robi: wiąże parę liczb z położeniem punktu na płaszczyźnie i pozwala przedstawić funkcję graficznie.
Elementy: $x$ — odcięta (oś pozioma $OX$), $y$ — rzędna (oś pionowa $OY$). Punkt należy do wykresu funkcji dokładnie wtedy, gdy jego współrzędne spełniają wzór.
Przykład: czy $(2,4)$ leży na wykresie $f(x)=-x+6$? Sprawdzamy: $f(2)=-2+6=4$ ✔ — tak.
Pułapka: kolejność współrzędnych ma znaczenie — $(2,4)$ i $(4,2)$ to różne punkty. Zawsze najpierw odcięta, potem rzędna.
Liczba mieszana (klasa 4 SP)
Co robi: zamienia liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Przykład: $2\tfrac{1}{3}=\frac{7}{3}$; ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika.
Wartość liczbowa wyrażenia (klasa 6 SP)
Co robi: wartość wyrażenia obliczamy, wstawiając daną liczbę w miejsce zmiennej.
Przykład: dla $x=2$ wyrażenie $3x+1$ ma wartość $3\cdot2+1=7$.
Strona 11 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.