Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Sinus i cosinus sumy oraz różnicy kątów (klasa 3 LO)
Co robi: rozkłada funkcje sumy lub różnicy kątów.
Elementy: analogicznie $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$.
Przykład: $\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
Wzory na sumę i różnicę kątów
Co robi: rozkłada funkcję sumy kątów na funkcje składników; wzory na kąt podwojony są ich szczególnym przypadkiem ($\beta=\alpha$).
Elementy: zwróć uwagę na przeciwne znaki w cosinusie ($\mp$) niż w sinusie ($\pm$). To najczęstsze źródło pomyłek.
Przykład: $\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
Pułapka: $\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta$. Sprawdź: $\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin 90^\circ=1$, ale $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\approx 1{,}37$.
Funkcja homograficzna (klasa 2 LO)
Co robi: opisuje przesuniętą hiperbolę.
Elementy: asymptoty $x=p$ i $y=q$; dziedzina $x\neq p$.
Odległość punktu od prostej (klasa 3 LO — uzup.)
Co robi: liczy odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Powiązane: długość odcinka i środek odcinka.
Krzywa znaków — nierówności wielomianowe i wymierne
Co robi: sprowadza nierówność wymierną do wielomianowej, którą rozwiązuje się jedną metodą — krzywą znaków na osi liczbowej.
Elementy: $L(x)$ to licznik, $M(x)$ — mianownik. Ułamek ma zawsze taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, bo dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków.
Jak rysować krzywą: zaznaczamy pierwiastki na osi i prowadzimy krzywą od prawej strony z góry (gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni). W pierwiastku jednokrotnym krzywa przecina oś, w dwukrotnym tylko jej dotyka.
Przykład: $\frac{x-2}{x+1} > 0$ sprowadzamy do $(x-2)(x+1) > 0$, skąd $x \in (-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$.
Nawiasy: pierwiastki licznika domykamy przy nierówności nieostrej, ale pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze. Dlatego $\frac{x}{x-3} \ge 0$ daje $x \in (-\infty,\,0\rangle \cup (3,+\infty)$.
Pułapka: mnożenie nierówności przez mianownik z niewiadomą. Nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Nierówności wielomianowe — metoda siatki znaków
Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności wielomianowej metodą graficzną („wężyka”).
Elementy: rozkładamy wielomian na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy $a>0$). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Przykład: $(x-1)(x+2)^2(x-4)>0$: pierwiastki $-2$ (krotność 2, odbicie), $1$ i $4$ (przejścia). Rozwiązanie: $x\in(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(4,+\infty)$.
Pułapka: pierwiastek podwójny nie zmienia znaku, ale nadal jest miejscem zerowym — przy nierówności ostrej trzeba go wykluczyć ze zbioru rozwiązań.
Wartość najmniejsza i największa na przedziale domkniętym
Co robi: podaje pełną procedurę wyznaczania ekstremów globalnych funkcji ciągłej na przedziale domkniętym.
Elementy: $a$, $b$ — końce przedziału, $x_i$ — punkty stacjonarne leżące wewnątrz przedziału. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich tych punktach i wybieramy skrajne.
Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$ na $\langle0,3\rangle$: punkt stacjonarny $x=2$, wartości $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=-2$. Najmniejsza $-3$, największa $1$.
Dlaczego działa: funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga oba ekstrema globalne — albo w punkcie stacjonarnym, albo na krańcu.
Pułapka: pominięcie końców przedziału to najczęstszy błąd — w powyższym przykładzie wartość największa leży właśnie na krańcu, a nie w ekstremum lokalnym. Punkty stacjonarne spoza przedziału odrzucamy.
Granica ciągu odwrotności (klasa 3 LO)
Co robi: podstawowa granica używana przy liczeniu granic wyrażeń wymiernych.
Przykład: $\lim\frac{2n+1}{n}=\lim\left(2+\frac{1}{n}\right)=2$.
Twierdzenie sinusów (klasa 2 LO)
Co robi: wiąże boki trójkąta z sinusami przeciwległych kątów.
Elementy: $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.
Wielomian jako model (klasa 2 LO)
Co robi: wielomianem opisujemy pole lub objętość zależne od zmiennej.
Przykład: objętość prostopadłościanu $x\cdot x\cdot(x+2)$.
Zadanie optymalizacyjne — schemat postępowania
Co robi: porządkuje rozwiązywanie zadań o największym polu, najmniejszym koszcie czy najkrótszej drodze.
Kolejność kroków: oznacz zmienną, zapisz warunek z treści zadania, wyeliminuj drugą zmienną, ustal dziedzinę, policz pochodną, znajdź ekstremum, wróć do pytania zadania.
Przykład: prostokąt o obwodzie $40$ ma pole $P(a)=a(20-a)$ dla $a\in(0,\,20)$. Pochodna $-2a+20$ zeruje się dla $a=10$, więc największe pole $100$ ma kwadrat o boku $10$.
Wnioski warte zapamiętania: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat; walec o danej objętości ma najmniejsze pole powierzchni, gdy $h=2r$.
Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą — dlatego oprócz punktów krytycznych sprawdzamy końce przedziału.
Pułapka: pominięcie dziedziny prowadzi do wyników bez sensu fizycznego, np. ujemnego boku. Drugi częsty błąd to zatrzymanie się na wartości zmiennej — zadanie zwykle pyta o pole lub koszt, więc trzeba wykonać jeszcze jedno obliczenie.
Granica ilorazu wielomianów (klasa 3 LO)
Co robi: dla równych stopni granica to iloraz współczynników wiodących.
Elementy: dla $k
Podstawowe równania trygonometryczne
Co robi: podaje ogólne rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych, od których zaczyna się każde trudniejsze zadanie.
Elementy: $k\in\mathbb{Z}$ oznacza dowolną liczbę całkowitą — rozwiązań jest nieskończenie wiele, po jednym w każdym okresie.
Okresy: sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dlatego $\operatorname{tg}x=1$ ma rozwiązania odległe o $\pi$.
Zakres wartości: $\sin x$ i $\cos x$ przyjmują wartości tylko z $\langle-1,\ 1\rangle$ — równania $\sin x=2$ czy $\cos x=-3$ nie mają rozwiązań.
Przykład: $2\sin x-1=0$ daje $\sin x=\tfrac12$, czyli $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\tfrac{5\pi}{6}$ w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$.
Pułapka: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus i cosinus dają dwa rozwiązania na okres — nie pomijaj drugiej ćwiartki.
Równania trygonometryczne — postać rozwiązań
Co robi: podaje wszystkie rozwiązania równania trygonometrycznego, wykorzystując okresowość funkcji.
Elementy: $\alpha$ — rozwiązanie podstawowe, $k\in\mathbb{Z}$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$ (stąd $2k\pi$), tangens — okres $\pi$ (stąd $k\pi$).
Przykład: $\sin x=\frac{1}{2}$ daje $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$. W przedziale $\langle 0,2\pi)$ to dokładnie $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$.
Pułapka: równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania, nie jedno — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. Gdy $|a|>1$, rozwiązań brak.
Szkicowanie wykresu — schemat (klasa 3 LO)
Co robi: ustala kolejność analizy: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.
Dalej: monotoniczność, ekstrema, asymptoty i punkty charakterystyczne.
Twierdzenie Bézouta (klasa 2 LO)
Co robi: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.
Wniosek: $a$ jest pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy $(x-a)$ dzieli $W(x)$.
Równanie stycznej (klasa 3 LO)
Co robi: podaje równanie stycznej do wykresu w punkcie $(x_0,y_0)$.
Elementy: $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej.
Szereg geometryczny zbieżny
Co robi: sumuje nieskończenie wiele wyrazów ciągu geometrycznego — suma jest skończona, o ile wyrazy dostatecznie szybko maleją.
Elementy: $a_1$ — pierwszy wyraz, $q$ — iloraz. Warunek $|q|<1$ jest konieczny; dla $|q|\ge 1$ szereg jest rozbieżny i sumy nie ma.
Przykład: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$. Zastosowanie: ułamek okresowy $0{,}(3)=\frac{0{,}3}{1-0{,}1}=\frac{1}{3}$.
Pułapka: w zadaniach z parametrem najpierw rozwiąż nierówność $|q|<1$, a dopiero potem korzystaj ze wzoru — inaczej otrzymasz „sumę” szeregu rozbieżnego.
Sumy i różnice sinusów oraz cosinusów
Co robi: zamienia sumę lub różnicę funkcji trygonometrycznych na iloczyn — przydatne przy rozwiązywaniu równań i upraszczaniu.
Pełny zestaw:
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\tfrac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\tfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\tfrac{\alpha-\beta}{2}$$
Przykład: $\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin45^\circ\cos30^\circ=\frac{\sqrt6}{2}$.
Zastosowanie w równaniach: $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x$, więc równanie $\sin3x+\sin x=0$ rozkłada się na czynniki.
Pułapka: różnica cosinusów ma znak minus z przodu — to jedyny z czterech wzorów z minusem. Uważaj, który kąt idzie do półsumy, a który do półróżnicy.
Zakres funkcji sinus i cosinus (klasa 3 LO)
Co robi: podaje ograniczenia wartości sinusa i cosinusa.
Elementy: przydatne przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych.
Przykład: nierówność $\sin x=2$ nie ma rozwiązań.
Sinus kąta podwójnego (klasa 3 LO)
Co robi: wyraża sinus podwojonego kąta.
Powiązane: $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
Strona 24 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.