Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Działania na zbiorach
Co robi: opisuje podstawowe operacje na zbiorach, używane potem do zapisu dziedzin funkcji i zbiorów rozwiązań.
Elementy: $A\cup B$ — suma (elementy należące do $A$ lub $B$); $A\cap B$ — część wspólna (do obu naraz); $A\setminus B$ — różnica (do $A$, ale nie do $B$); $A\subseteq B$ — zawieranie.
Przykład: dla $A=\{1,2,3\}$ i $B=\{2,3,4\}$: $A\cup B=\{1,2,3,4\}$, $A\cap B=\{2,3\}$, $A\setminus B=\{1\}$.
Pułapka: przy układzie warunków bierzemy część wspólną, a przy alternatywie — sumę. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd przy zapisywaniu zbiorów rozwiązań.
Dzielenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Co robi: przesuwamy przecinek w dzielnej i dzielniku o tyle samo miejsc, aby dzielnik był liczbą całkowitą.
Przykład: $1{,}2:0{,}4=12:4=3$.
Funkcja wykładnicza — własności
Co robi: opisuje wzrost lub zanik proporcjonalny do aktualnej wartości — model odsetek, rozpadu promieniotwórczego, wzrostu populacji.
Elementy: dla $a>1$ funkcja jest rosnąca, dla $0
Przykład: $2^x$ rośnie: $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^0=1$, $2^3=8$. Natomiast $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ maleje i jest odbiciem $2^x$ względem osi $OY$.
Pułapka: funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych — równanie $2^x=-4$ nie ma rozwiązań, a $2^x=0$ też nie. Warto to sprawdzić przed rozwiązywaniem.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — własności wykresu
Co robi: zestawia własności obu funkcji i ich wzajemną zależność.
Monotoniczność: dla $a>1$ obie rosną, dla $0 Punkty i asymptoty: $a^x$ przechodzi przez $(0,1)$, asymptota $y=0$; $\log_a x$ przez $(1,0)$, asymptota $x=0$. Funkcje odwrotne: $\log_a x$ jest odwrotna do $a^x$, ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$. Przesunięcia: $a^x+q$ przesuwa asymptotę poziomą na $y=q$; $\log_a(x-p)$ przesuwa asymptotę pionową na $x=p$ i zmienia dziedzinę. Pułapka: funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa; logarytm określony tylko dla argumentów dodatnich.
Wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych
Co robi: zbiera wartości, które trzeba znać na pamięć — pojawiają się w większości zadań z trygonometrii.
Pełne zestawienie: $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac12$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$, $\tg 60^\circ=\sqrt3$.
Jak zapamiętać: sinus rośnie w kolejności $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$ dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, a cosinus przebiega tę samą listę w odwrotnej kolejności.
Zależność: $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — dlatego $\sin 30^\circ$ i $\cos 60^\circ$ są równe.
Kąty osiowe: $\sin 0^\circ=0$, $\sin 90^\circ=1$, $\cos 0^\circ=1$, $\cos 90^\circ=0$, $\cos 180^\circ=-1$.
Miara łukowa: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $180^\circ=\pi$.
Pułapka: równanie takie jak $\sin x=\frac12$ ma na pełnym okręgu dwa rozwiązania ($30^\circ$ i $150^\circ$) — podanie tylko kąta podstawowego to najczęstszy błąd.
Znaki funkcji trygonometrycznych i wzory redukcyjne
Co robi: sprowadza funkcję dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego z pierwszej ćwiartki.
Elementy: znaki wg ćwiartek (reguła „W pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens, w czwartej cosinus”). Przy kącie $90^\circ\pm\alpha$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ\pm\alpha$ — zostaje ta sama.
Przykład: $\sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$; $\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}$.
Pułapka: zamiana na kofunkcję zachodzi tylko przy $90^\circ$ i $270^\circ$. Przy $180^\circ$ i $360^\circ$ funkcja pozostaje ta sama — zmienia się co najwyżej znak.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Co robi: definiuje funkcje trygonometryczne jako stosunki boków w trójkącie prostokątnym.
Elementy: $a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna. Skrót: sinus = naprzeciw/przeciwprostokątna, cosinus = przy/przeciwprostokątna.
Przykład: w trójkącie o bokach $3,4,5$ dla kąta naprzeciw boku $3$: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\cos\alpha=\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Pułapka: „naprzeciw” i „przy” zależą od wybranego kąta — przy drugim kącie ostrym role przyprostokątnych się zamieniają. Stąd $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$.
Graniastosłup — pole i objętość (klasa 4 LO)
Co robi: podaje objętość i pole powierzchni graniastosłupa.
Elementy: $P_p$ pole podstawy, $H$ wysokość, $P_b$ pole boczne.
Kąty przyległe (klasa 8 SP)
Co robi: opisuje zależność między kątami przyległymi.
Elementy: kąty przyległe mają wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny.
Przykład: kąt przyległy do $50^\circ$ ma miarę $130^\circ$.
Suma kątów w trójkącie i wielokącie
Co robi: podaje sumę miar kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta, co pozwala wyznaczyć brakujący kąt.
Elementy: $n$ — liczba boków. Wzór wynika z podziału wielokąta przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.
Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$ i $60^\circ$ trzeci ma $180^\circ-110^\circ=70^\circ$. Suma kątów pięciokąta: $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$.
Przypadki szczególne: w trójkącie równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$; w trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Pułapka: dzielenie sumy przez $n$ daje miarę jednego kąta tylko w wielokącie foremnym. W dowolnym pięciokącie suma też wynosi $540^\circ$, ale poszczególne kąty mogą się różnić.
Prawdopodobieństwo klasyczne (klasa 4 LO)
Co robi: liczy prawdopodobieństwo przy jednakowo prawdopodobnych wynikach.
Elementy: $|A|$ sprzyjające, $|\Omega|$ wszystkie wyniki; $0\le P(A)\le1$.
Równanie okręgu (klasa 2 LO)
Co robi: opisuje okrąg o środku $(a,b)$ i promieniu $r$ w układzie współrzędnych.
Elementy: $(a,b)$ to środek, $r$ promień.
Przykład: $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ to okrąg o środku $(2,-3)$, $r=4$.
Mediana i dominanta
Co robi: wyznacza wartość środkową uporządkowanego zestawu danych — miarę odporną na wartości skrajne.
Elementy: $n$ — liczba danych, $x_i$ — dane uporządkowane rosnąco. Dominanta (moda) to wartość występująca najczęściej; zestaw może mieć kilka dominant albo żadnej.
Przykład: dla $2,4,4,6,9$ mediana to trzeci wyraz, czyli $4$; dominanta też $4$; średnia $5$. Dla $2,4,6,9$ mediana to $\frac{4+6}{2}=5$.
Pułapka: danych trzeba najpierw uporządkować — mediana nieuporządkowanego zestawu nie ma sensu. Przy wartościach odstających mediana lepiej opisuje typową wartość niż średnia.
Mnożenie pisemne (klasa 4 SP)
Co robi: mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i dodajemy wyniki z odpowiednim przesunięciem.
Wskazówka: pilnujemy przeniesień między rzędami.
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych
Co robi: mnoży ułamki „na wprost”, a dzielenie zamienia na mnożenie przez odwrotność.
Elementy: $a, c$ — liczniki, $b, d$ — mianowniki (zawsze $\ne 0$). Odwrotność ułamka $\frac{c}{d}$ to $\frac{d}{c}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.
Przykład: $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ (lub skracamy przed mnożeniem: $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10} = \frac{1}{1}\cdot\frac{3}{5}$). Dzielenie: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.
Pułapka: liczby mieszane najpierw zamień na ułamki niewłaściwe. $1\frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}\cdot 2 = 3$, a nie $1\frac{2}{2}$.
Nierówność kwadratowa — metoda paraboli
Co robi: pozwala odczytać rozwiązanie nierówności kwadratowej ze szkicu paraboli, bez zgadywania.
Elementy: $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe trójmianu, a znak $a$ decyduje o kierunku ramion.
Reguła dla $a>0$: parabola jest pod osią między miejscami zerowymi, a nad osią na zewnątrz. Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami.
Przykład: $x^2-5x+6\ge0$ ma miejsca zerowe $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc rozwiązaniem jest $(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Gdy $\Delta<0$: parabola nie przecina osi — dla $a>0$ cała leży nad nią (np. $x^2+1>0$ zachodzi zawsze), a dla $a<0$ pod nią.
Pułapka: nierówność $x^2\le9$ to nie $x\le3$ — brakuje ograniczenia od dołu, poprawnie $x\in\langle -3,\,3\rangle$. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Nierówności kwadratowe — metoda
Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej na podstawie szkicu paraboli.
Elementy: obliczamy $\Delta$ i miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy, gdzie leży nad/pod osią. Dla $a>0$ i $\Delta>0$: nierówność $>0$ daje $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$, a $<0$ daje $(x_1,x_2)$.
Przykład: $x^2-4<0$: miejsca zerowe $\pm 2$, ramiona w górę, poniżej osi między nimi — rozwiązanie $x\in(-2,2)$.
Pułapka: gdy $\Delta<0$ i $a>0$, parabola jest cała nad osią: nierówność $>0$ spełnia każde $x$, a $<0$ — żadne. Nie „brak delty” oznacza brak rozwiązań, tylko trzeba spojrzeć na wykres.
Objętość graniastosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje objętość dowolnego graniastosłupa.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość bryły.
Przykład: dla pola podstawy $8$ i wysokości $3$ objętość wynosi $8\cdot3=24$.
Granica ilorazu wielomianów w nieskończoności
Co robi: pozwala natychmiast podać granicę ilorazu wielomianów, bez przekształceń — decyduje samo porównanie stopni.
Elementy: $n$ — stopień licznika, $m$ — mianownika, $a_n$ i $b_m$ — współczynniki wiodące. Znak nieskończoności zależy od znaków tych współczynników.
Przykład: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=\frac21=2$; $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$; $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{x}=\infty$.
Dlaczego działa: dzieląc licznik i mianownik przez $x^m$, wszystkie składniki niższego stopnia dążą do zera.
Pułapka: reguła dotyczy granic w nieskończoności. W granicy w punkcie skończonym trzeba podstawić, a przy symbolu $\frac00$ — rozłożyć na czynniki i skrócić.
Obliczenia kalendarzowe (klasa 4 SP)
Co robi: przelicza jednostki czasu.
Elementy: rok $=365$ dni (przestępny $366$), godzina $=60$ min.
Podwyżka i obniżka o procent (klasa 6 SP)
Co robi: liczy cenę po podwyżce (+) lub obniżce (−) o $p\%$.
Przykład: cena $100$ zł po podwyżce o $20\%$: $100\cdot1{,}2=120$ zł.
Oś liczbowa (klasa 4 SP)
Co robi: przedstawia liczby jako punkty na prostej z ustaloną jednostką.
Zasada: im dalej w prawo, tym liczba większa.
Liczba ścian, wierzchołków i krawędzi bryły
Co robi: pozwala policzyć elementy bryły, znając tylko kształt podstawy — i odwrotnie: rozpoznać podstawę po liczbie krawędzi lub wierzchołków.
Elementy: $n$ to liczba boków podstawy.
Skąd te wzory: graniastosłup ma dwie podstawy, więc krawędzie liczymy trzy razy po $n$ (dół, góra, pionowe). Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden dodatkowy wierzchołek na szczycie.
Przykład prosty: graniastosłup sześciokątny ma $8$ ścian, $12$ wierzchołków i $18$ krawędzi.
Przykład odwrotny: ostrosłup o $12$ krawędziach ma $2n=12$, czyli podstawę sześciokątną. Ostrosłup o $9$ wierzchołkach ma $n+1=9$, czyli podstawę ośmiokątną.
Kontrola wzorem Eulera: dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi $W - K + S = 2$. Dla graniastosłupa sześciokątnego: $12 - 18 + 8 = 2$ ✔
Pułapka: mylenie liczby wierzchołków z liczbą ścian. W ostrosłupie obie wynoszą $n+1$, ale w graniastosłupie to zupełnie różne liczby.
Permutacje, wariacje i kombinacje — zestawienie
Co robi: zlicza sposoby wyboru lub ustawienia elementów — w zależności od tego, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.
Elementy: permutacje — ustawienie wszystkich $n$ elementów; wariacje bez powtórzeń — wybór $k$ z $n$ z uwzględnieniem kolejności; wariacje z powtórzeniami — jak wyżej, ale z powtórzeniami; kombinacje — wybór $k$ z $n$ bez uwzględniania kolejności.
Przykład: z 5 osób: ustawienie wszystkich w rzędzie $=5!=120$; wybór 3-osobowego zarządu z podziałem funkcji $=\frac{5!}{2!}=60$; wybór 3-osobowej delegacji $=\binom{5}{3}=10$.
Pułapka: kluczowe pytanie brzmi: czy kolejność ma znaczenie? „Delegacja” — nie (kombinacje); „przewodniczący, zastępca, sekretarz” — tak (wariacje). Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd.
Strona 10 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.