Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Wzory na kąt podwójony
Wersje dla cosinusa: $\cos 2\alpha=2\cos^2\!\alpha-1=1-2\sin^2\!\alpha$. Dla tangensa: $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\!\alpha}$. Wzory stosowane do upraszczania wyrażeń i całkowania.
Wzory na kąt połowiony
Wynikają z wzorów na kąt podwójony przez podstawienie $\alpha\to\frac{\alpha}{2}$. Dla tangensa: $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Używane do obliczania wartości np. $\sin 15°$, $\cos 22{,}5°$.
Wzory na potrójny kąt — sin(3x) i cos(3x)
Wynikają z wzorów na kąt podwojony: $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$. Uogólnienie: wielomiany Czebyszewa $T_n(x)$, gdzie $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. Zastosowanie: całkowanie $\int\sin^3 x\,dx$ — zastąpienie $(3\sin x-\sin3x)/4$; rozwiązywanie równań trygonometrycznych stopnia 3.
Wzory na sinus i cosinus sumy kątów
Do czego służy: Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla sum i różnic kątów, w tym kątów 15°, 75° itp.
Pełny zestaw wzorów
- $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
- $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
Wzory na kąt podwójny ($\alpha=\beta$)
- $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
- $\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$
Przykład — wartość sin 75°
- $\sin75° = \sin(45°+30°) = \sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
- $= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
⚠️ Częsty błąd: W $\cos(\alpha+\beta)$ jest MINUS między iloczynami, a w $\sin(\alpha+\beta)$ — PLUS. Dla cosinusa: różnica iloczynów!
Wzory na tangens i cotangens sumy kątów
Analog wzorów addycyjnych dla tangensa i cotangensa. Cotangens: $\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$. Wzory na podwójenie: $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Zastosowanie: upraszczanie wyrażeń, obliczanie tangensa sum kątów np. $\tan 75°=\tan(45°+30°)$.
Wzory prostacyjne — iloczyny do sumy
Wzory zamieniające iloczyn funkcji trygonometrycznych na sumę. Analogicznie: $2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)$, $2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$. Stosowane do upraszczania iloczynów przy całkowaniu.
Wzory prostacyjne — sumy do iloczynu
Wzory zamieniające sumę (lub różnicę) funkcji trygonometrycznych na iloczyn. Analogicznie: $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Przydatne przy całkowaniu.
Wzory redukcyjne
Do czego służy: Sprowadzanie trygonometrii dowolnych kątów do kątów ostrych — niezbędne przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i pracy z kątami >90°.
Kluczowe wzory
- Kąt dopełniający ($90°-\alpha$): sinus ↔ cosinus zamieniają się: $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90°-\alpha)=\sin\alpha$
- II ćwiartka ($180°-\alpha$): $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha$
- III ćwiartka ($180°+\alpha$): $\sin(180°+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(180°+\alpha)=-\cos\alpha$
- Kąt ujemny: $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
- Obrót o $360°$: $\sin(\alpha+360°)=\sin\alpha$ (funkcje są okresowe)
Jak stosować
- Zapisz kąt jako $90°\pm\alpha$, $180°\pm\alpha$ lub $360°\pm\alpha$
- Przy $\pm 90°$: sinus ↔ cosinus (zamiana)
- Przy $\pm 180°$ lub $\pm 360°$: funkcja zostaje ta sama
- Ustal znak z ćwiartki układu
Przykład
Oblicz $\cos 120°$.
- $\cos 120° = \cos(180°-60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$
⚠️ Częsty błąd: Przy $90°\pm\alpha$ funkcja się zamienia (sin→cos), przy $180°\pm\alpha$ zostaje ta sama. Nie mylić tych dwóch reguł!
Wzory skróconego mnożenia
Do czego służy: Błyskawiczne mnożenie i rozkładanie wyrażeń algebraicznych — bez żmudnego mnożenia nawiasów.
Wszystkie wzory
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — kwadrat sumy
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — kwadrat różnicy
- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — różnica kwadratów (rozkład!)
- $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ — sześcian sumy
- $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ — sześcian różnicy
- $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ — suma sześcianów
- $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ — różnica sześcianów
Kiedy używać?
Gdy widzisz: kwadrat/sześcian nawiasu → rozwiń. Różnicę kwadratów → rozłóż na czynniki. Upraszczanie ułamków algebraicznych — rozkład na czynniki jest kluczowy.
Jak stosować
- Zidentyfikuj wzorzec: czy masz $(...)^2$, $(...)^3$, czy różnicę kwadratów?
- Podstaw $a$ = pierwsza część, $b$ = druga część
- Rozwiń lub rozłóż według wybranego wzoru
Przykład
Uprość: $\frac{x^2-9}{x-3}$
- Rozpoznajemy: $x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$ (różnica kwadratów, $a=x$, $b=3$)
- $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ (dla $x\neq 3$)
⚠️ Częsty błąd: $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$! Środkowy wyraz $2ab$ jest niezbędny. Sprawdź liczbą: $(3+4)^2=49$, ale $9+16=25$.
Wzory Viète'a
Do czego służy: Pozwala sprawdzić obliczone pierwiastki albo znaleźć wymagane wyrażenia (np. $x_1^2+x_2^2$) bez liczenia pierwiastków wprost.
Zmienne
- $x_1, x_2$ — pierwiastki równania $ax^2+bx+c=0$
- $a,b,c$ — współczynniki (tak samo jak w delcie)
Kiedy używać?
- Sprawdzenie: po obliczeniu $x_1, x_2$ sprawdź czy $x_1+x_2=-b/a$ i $x_1\cdot x_2=c/a$
- Obliczanie wyrażeń symetrycznych: $x_1^2+x_2^2$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ itp.
- Układanie równania o znanych pierwiastkach: $(x-x_1)(x-x_2)=0$
Przydatne przekształcenia
- $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2$
- $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2$
- $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$
Przykład
Dla $x^2-5x+6=0$: suma $= 5$, iloczyn $= 6$. Oblicz $x_1^2+x_2^2$.
- $x_1+x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 6$
- $x_1^2+x_2^2 = 5^2 - 2\cdot 6 = 25 - 12 = 13$
⚠️ Częsty błąd: Suma pierwiastków to $-b/a$, nie $b/a$ — uwaga na znak minus!
Złoty podział — złota proporcja
Odcinek $a+b$ jest podzielony w złotym podziale gdy $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\Phi$. Własności: $\Phi^2=\Phi+1$, $\frac{1}{\Phi}=\Phi-1\approx0{,}618$. Ciąg Fibonacciego: $\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\Phi$. Pięciokąt foremny i złoty prostokąt.
Złożenie funkcji
Złożenie $g\circ f$ oznacza: najpierw stosujemy $f$, potem $g$. Złożenie NIE jest przemienne: $g\circ f\neq f\circ g$ ogólnie. Dziedzina złożenia to te $x$ z $D_f$, dla których $f(x)\in D_g$. $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)$ — reguła łańcuchowa.
Zmiana podstawy logarytmu
Wzór pozwala przeliczyć logarytm o dowolnej podstawie na logarytm naturalny (ln) lub dziesiętny (log). Wniosek: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$. Przykład: $\log_2 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2}=\frac{3\ln 2}{\ln 2}=3$.
Budowanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Co robi: zapisuje treść słowną za pomocą symboli.
Przykład: „liczba o $3$ większa od $x$" to $x+3$; „dwa razy $x$" to $2x$.
Kąt wycinka diagramu kołowego (klasa 8 SP)
Co robi: zamienia udział procentowy na kąt wycinka diagramu kołowego.
Elementy: $p$ to procent, $\alpha$ to kąt środkowy wycinka.
Przykład: $25\%$ to $\frac{25}{100}\cdot360^\circ=90^\circ$.
Dodawanie i odejmowanie pisemne (klasa 4 SP)
Co robi: liczby zapisujemy w słupku, wyrównując rzędy jedności.
Zasada: dodajemy (odejmujemy) kolumnami od prawej, z przeniesieniem (pożyczką).
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach (klasa 5 SP)
Co robi: sprowadza ułamki do wspólnego mianownika, potem dodaje liczniki.
Przykład: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$.
Działania na ułamkach — zestawienie (klasa 6 SP)
Co robi: przypomina cztery działania na ułamkach zwykłych.
Wskazówka: przy dodawaniu — wspólny mianownik; przy dzieleniu — mnożenie przez odwrotność.
Działania pisemne — zestawienie (klasa 5 SP)
Co robi: przypomina cztery działania pisemne na liczbach naturalnych.
Wskazówka: dodawanie i odejmowanie wyrównujemy do rzędu jedności, przy dzieleniu pisemnym schodzimy cyfra po cyfrze.
Przystawanie trójkątów (klasa 8 SP)
Co robi: opisuje przystawanie (identyczność) trójkątów.
Elementy: trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty; cechy przystawania to bbb, bkb, kbk.
Przykład: trójkąty o bokach $3,4,5$ i $3,4,5$ są przystające (cecha bok-bok-bok).
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (klasa 3 LO)
Co robi: definiuje sin, cos, tg w trójkącie prostokątnym.
Elementy: $a$ przyprostokątna przeciwległa, $b$ przyległa, $c$ przeciwprostokątna.
Przykład: dla $a=3,b=4,c=5$: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
Pole powierzchni graniastosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Elementy: $P_p$ to pole jednej podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Przykład: pole powierzchni sześcianu o krawędzi $a$ to $6a^2$.
Granica funkcji w punkcie (klasa 3 LO)
Co robi: opisuje wartość, do której dąży funkcja przy $x\to x_0$.
Przykład: $\lim_{x\to2}(x+3)=5$.
Redukcja wyrazów podobnych
Co robi: upraszcza sumę algebraiczną przez połączenie wyrazów tego samego typu.
Elementy: wyrazy podobne to takie, które mają identyczną część literową (te same zmienne w tych samych potęgach). Dodajemy wtedy jedynie współczynniki liczbowe.
Przykład: $5a^2-3a+2a^2+7a-4 = 7a^2+4a-4$.
Pułapka: $a^2$ i $a$ nie są wyrazami podobnymi — nie wolno ich łączyć. Podobnie $3xy$ i $3x$ to różne typy. Sprawdzianem jest identyczność całej części literowej.
Strona 7 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.