∑ Matematyka
Obliczanie liczby z danego procentu
Liczba, gdy znamy jej procent
\[b=\frac{a\cdot 100}{p}\]
∑ Matematyka · Obliczanie liczby z danego procentu
Liczba, gdy znamy jej procent
\[b=\frac{a\cdot 100}{p}\]
Gdy wiemy, że $a$ stanowi $p\%$ całości, obliczamy całość.
Przykład: $30\%$ liczby to 42, więc liczba to $\frac{42\cdot100}{30}=140$.
Liczba
gdy znamy jej procent
Procenty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ostrosłupy
Objętość ostrosłupa
\[V=\frac{1}{3}P_p\cdot H\]
∑ Matematyka · Ostrosłupy
Objętość ostrosłupa
\[V=\frac{1}{3}P_p\cdot H\]
Jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Przykład: Podstawa kwadrat $6\times6$, $H=5$: $V=\frac13\cdot36\cdot5=60$.
Objętość ostrosłupa
Ostrosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Potęga potęgi
Potęga potęgi
\[\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\]
∑ Matematyka · Potęga potęgi
Potęga potęgi
\[\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\]
Wykładniki mnożymy.
Przykład: $(2^3)^2=2^6=64$.
Potęga potęgi
Potęgi
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Rachunek różniczkowy
Wykresy z wartością bezwzględną
\[y=|f(x)|,\qquad y=f(|x|)\]
∑ Matematyka · Rachunek różniczkowy
Wykresy z wartością bezwzględną
\[y=|f(x)|,\qquad y=f(|x|)\]
$|f(x)|$ — części poniżej osi $Ox$ odbijamy do góry; $f(|x|)$ — prawą część odbijamy na lewo.
Przykład: $y=|x^2-4|$ ma „dołek” odbity nad oś między $-2$ a $2$.
Wykresy z wartością bezwzględną
Przekształcenia wykresów funkcji
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równania
Równanie liniowe
\[ax+b=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{b}{a}\quad(a\neq0)\]
∑ Matematyka · Równania
Równanie liniowe
\[ax+b=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{b}{a}\quad(a\neq0)\]
Gdy $a=0$: brak rozwiązań ($b\neq0$) albo nieskończenie wiele ($b=0$).
Przykład: $3x-12=0\Rightarrow x=4$.
Równanie liniowe
Równania i nierówności
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Równania
Trójkąt równoboczny
\[h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]
∑ Matematyka · Równania
Trójkąt równoboczny
\[h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]
Wysokość i pole trójkąta równobocznego o boku $a$.
Przykład: $a=6$: $h=3\sqrt3$, $P=9\sqrt3$.
Trójkąt równoboczny
Trójkąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ułamek liczby
Ułamek z liczby
\[\frac{a}{b}\ \text{z liczby}\ x=\frac{a}{b}\cdot x\]
∑ Matematyka · Ułamek liczby
Ułamek z liczby
\[\frac{a}{b}\ \text{z liczby}\ x=\frac{a}{b}\cdot x\]
Aby obliczyć część liczby, mnożymy tę liczbę przez ułamek.
Przykład: $\frac{3}{4}$ z 60 to $\frac{3}{4}\cdot 60=45$.
Ułamek z liczby
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wariacje z powtórzeniami
Wariacje z powtórzeniami
\[W_n^k=n^k\]
∑ Matematyka · Wariacje z powtórzeniami
Wariacje z powtórzeniami
\[W_n^k=n^k\]
Ciągi długości $k$ z $n$ elementów, które mogą się powtarzać.
Przykład: Kody PIN (4 cyfry): $10^4=10\,000$.
Wariacje z powtórzeniami
Kombinatoryka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Zastosowania twierdzenia Pitagorasa
Obliczanie przyprostokątnej
\[a=\sqrt{c^2-b^2}\]
∑ Matematyka · Zastosowania twierdzenia Pitagorasa
Obliczanie przyprostokątnej
\[a=\sqrt{c^2-b^2}\]
Gdy znamy przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną.
Przykład: $c=13$, $b=5$: $a=\sqrt{169-25}=12$.
Obliczanie przyprostokątnej
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Czworokąty i ich własności
Suma kątów wielokąta
\[S=(n-2)\cdot180^\circ\]
∑ Matematyka · Czworokąty i ich własności
Suma kątów wielokąta
\[S=(n-2)\cdot180^\circ\]
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta wypukłego.
Przykład: Sześciokąt: $S=4\cdot180^\circ=720^\circ$.
Suma kątów wielokąta
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Jakim procentem jednej liczby jest druga
Jakim procentem jednej liczby jest druga
\[p=\frac{a}{b}\cdot 100\%\]
∑ Matematyka · Jakim procentem jednej liczby jest druga
Jakim procentem jednej liczby jest druga
\[p=\frac{a}{b}\cdot 100\%\]
Dzielimy część przez całość i mnożymy przez 100%.
Przykład: 18 uczniów z 24 to $\frac{18}{24}\cdot100\%=75\%$.
Jakim procentem jednej liczby jest druga
Procenty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Największy wspólny dzielnik (NWD)
NWD i NWW z rozkładu na czynniki
\[\mathrm{NWD}:\ \text{wspólne czynniki w najmniejszych potęgach};\ \mathrm{NWW}:\ \text{wszystkie czynniki w największych potęgach}\]
∑ Matematyka · Największy wspólny dzielnik (NWD)
NWD i NWW z rozkładu na czynniki
\[\mathrm{NWD}:\ \text{wspólne czynniki w najmniejszych potęgach};\ \mathrm{NWW}:\ \text{wszystkie czynniki w największych potęgach}\]
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i wybieramy odpowiednie potęgi.
Przykład: $60=2^2\cdot3\cdot5,\ 90=2\cdot3^2\cdot5$: $\mathrm{NWD}=2\cdot3\cdot5=30$, $\mathrm{NWW}=2^2\cdot3^2\cdot5=180$.
NWD i NWW z rozkładu na czynniki
Podzielność
NWD i NWW
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Notacja wykładnicza
Notacja wykładnicza
\[x=a\cdot10^{k},\quad 1\le a<10,\ k\in\mathbb{Z}\]
∑ Matematyka · Notacja wykładnicza
Notacja wykładnicza
\[x=a\cdot10^{k},\quad 1\le a<10,\ k\in\mathbb{Z}\]
Zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.
Przykład: $45\,000\,000=4{,}5\cdot10^{7}$, $0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}$.
Notacja wykładnicza
Potęgi
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Okrąg w układzie współrzędnych
Równanie ogólne okręgu
\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\quad r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
∑ Matematyka · Okrąg w układzie współrzędnych
Równanie ogólne okręgu
\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\quad r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
Środek $(a,b)$ odczytujemy ze współczynników przy $x$ i $y$.
Przykład: $x^2+y^2-4x+6y-3=0$: $S(2,-3)$, $r=\sqrt{4+9+3}=4$.
Równanie ogólne okręgu
Geometria analityczna
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Współczynnik kierunkowy prostej
Współczynnik kierunkowy przez dwa punkty
\[a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\operatorname{tg}\alpha\]
∑ Matematyka · Współczynnik kierunkowy prostej
Współczynnik kierunkowy przez dwa punkty
\[a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\operatorname{tg}\alpha\]
Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.
Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.
Współczynnik kierunkowy przez dwa punkty
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wstęp do funkcji kwadratowej — zagadnienia uzupełniające
Postać ogólna
\[f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq0\]
∑ Matematyka · Wstęp do funkcji kwadratowej — zagadnienia uzupełniające
Postać ogólna
\[f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq0\]
Dla $a>0$ ramiona paraboli skierowane są do góry, dla $a<0$ — w dół.
Przykład: $f(x)=2x^2-4x+1$: $a=2$, ramiona w górę.
Postać ogólna
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Tangens jako iloraz
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cos\alpha\neq0\]
∑ Matematyka · Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Tangens jako iloraz
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cos\alpha\neq0\]
Związek tangensa z sinusem i cosinusem.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\cos\alpha=\frac{5}{13}$: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}$.
Tangens jako iloraz
Trygonometria
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Graniastosłupy i ostrosłupy
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
\[\operatorname{tg}\beta=\frac{H}{r}\]
∑ Matematyka · Graniastosłupy i ostrosłupy
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
\[\operatorname{tg}\beta=\frac{H}{r}\]
$r$ — promień okręgu wpisanego w podstawę (w ostrosłupie prawidłowym).
Przykład: Czworokątny, $a=6$, $H=3$: $r=3$, $\operatorname{tg}\beta=1$, $\beta=45^\circ$.
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
Ostrosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Podwyżki i obniżki
Podwyżka i obniżka o p%
\[a\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right),\qquad a\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)\]
∑ Matematyka · Podwyżki i obniżki
Podwyżka i obniżka o p%
\[a\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right),\qquad a\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)\]
Nową wartość po zmianie o $p\%$ liczymy jednym mnożeniem.
Przykład: Cena 80 zł po podwyżce o 25%: $80\cdot1{,}25=100$ zł; po obniżce o 25%: $80\cdot0{,}75=60$ zł.
Podwyżka i obniżka o p%
Procenty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pola figur
Zamiana jednostek prędkości
\[1\ \frac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\]
∑ Matematyka · Pola figur
Zamiana jednostek prędkości
\[1\ \frac{\text{m}}{\text{s}}=3{,}6\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\]
Aby zamienić m/s na km/h, mnożymy przez 3,6.
Przykład: $20$ m/s $=72$ km/h; $90$ km/h $=25$ m/s.
Zamiana jednostek prędkości
Droga
prędkość i czas
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole powierzchni ostrosłupa
Pole powierzchni ostrosłupa
\[P_c=P_p+P_b\]
∑ Matematyka · Pole powierzchni ostrosłupa
Pole powierzchni ostrosłupa
\[P_c=P_p+P_b\]
Pole podstawy plus suma pól ścian bocznych (trójkątów).
Przykład: Kwadrat $6\times6$, cztery ściany po 15: $P_c=36+60=96$.
Pole powierzchni ostrosłupa
Ostrosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Potęgowanie liczb naturalnych
Potęga o wykładniku naturalnym
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n},\quad a^1=a,\quad a^0=1\ (a\neq0)\]
∑ Matematyka · Potęgowanie liczb naturalnych
Potęga o wykładniku naturalnym
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n},\quad a^1=a,\quad a^0=1\ (a\neq0)\]
Potęga to iloczyn $n$ jednakowych czynników.
Przykład: $2^5=32$, $(-3)^2=9$, $(-3)^3=-27$, $7^0=1$.
Potęga o wykładniku naturalnym
Potęgi
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Rozwiązywanie nierówności
Nierówność liniowa
\[ax+b>0:\ x>-\frac{b}{a}\ (a>0),\quad x<-\frac{b}{a}\ (a<0)\]
∑ Matematyka · Rozwiązywanie nierówności
Nierówność liniowa
\[ax+b>0:\ x>-\frac{b}{a}\ (a>0),\quad x<-\frac{b}{a}\ (a<0)\]
Dzieląc przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności.
Przykład: $-2x+6>0\Rightarrow x<3$.
Nierówność liniowa
Równania i nierówności
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Statystyka — zagadnienia uzupełniające
Wariancja
\[\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}\]
∑ Matematyka · Statystyka — zagadnienia uzupełniające
Wariancja
\[\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}\]
Średnia kwadratów odchyleń od średniej.
Przykład: Dane 2, 4, 6: $\bar{x}=4$, $\sigma^2=\frac{4+0+4}{3}=\frac83$.
Wariancja
Statystyka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →