∑ Matematyka
Wyrażenia algebraiczne
Różnica kwadratów
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
∑ Matematyka · Wyrażenia algebraiczne
Różnica kwadratów
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
Bardzo często używana do rozkładu na czynniki i szybkich obliczeń.
Przykład: $x^2-16=(x-4)(x+4)$; $51\cdot49=50^2-1=2499$.
Różnica kwadratów
Wzory skróconego mnożenia
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Czworokąty i ich własności
Liczba przekątnych wielokąta
\[p=\frac{n(n-3)}{2}\]
∑ Matematyka · Czworokąty i ich własności
Liczba przekątnych wielokąta
\[p=\frac{n(n-3)}{2}\]
Liczba przekątnych $n$-kąta wypukłego.
Przykład: Ośmiokąt: $p=\frac{8\cdot5}{2}=20$.
Liczba przekątnych wielokąta
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Dzielenie ułamków zwykłych
Dzielenie ułamków
\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]
∑ Matematyka · Dzielenie ułamków zwykłych
Dzielenie ułamków
\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]
Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika.
Przykład: $\frac{4}{7}:\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$.
Dzielenie ułamków
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcja homograficzna
Funkcja homograficzna
\[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad c\neq0,\ ad-bc\neq0\]
∑ Matematyka · Funkcja homograficzna
Funkcja homograficzna
\[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad c\neq0,\ ad-bc\neq0\]
Asymptota pionowa $x=-\frac{d}{c}$, pozioma $y=\frac{a}{c}$.
Przykład: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$: asymptoty $x=3$, $y=2$.
Funkcja homograficzna
Proporcjonalność odwrotna i funkcje wymierne
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach
Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}\]
∑ Matematyka · Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach
Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}\]
Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu — odejmujemy.
Przykład: $3^4\cdot3^2=3^6=729$, $5^7:5^5=5^2=25$.
Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie
Potęgi
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Obliczanie prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]
∑ Matematyka · Obliczanie prawdopodobieństwa
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]
Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Obliczanie procentu danej liczby
Procent z liczby
\[p\%\ \text{z}\ a=\frac{p}{100}\cdot a\]
∑ Matematyka · Obliczanie procentu danej liczby
Procent z liczby
\[p\%\ \text{z}\ a=\frac{p}{100}\cdot a\]
Procent zamieniamy na ułamek i mnożymy przez liczbę.
Przykład: $15\%$ z 240 zł to $0{,}15\cdot240=36$ zł.
Procent z liczby
Procenty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
\[h_b^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2,\qquad b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2\]
∑ Matematyka · Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
\[h_b^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2,\qquad b^2=H^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2\]
$h_b$ — wysokość ściany bocznej, $b$ — krawędź boczna, $a$ — krawędź podstawy.
Przykład: $a=6$, $H=4$: $h_b=5$, $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60$.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Ostrosłupy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Pole powierzchni graniastosłupa
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego
\[P_b=Ob_p\cdot H\]
∑ Matematyka · Pole powierzchni graniastosłupa
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego
\[P_b=Ob_p\cdot H\]
Obwód podstawy razy wysokość (ściany boczne to prostokąty).
Przykład: Podstawa kwadrat o boku 3 ($Ob=12$), $H=5$: $P_b=60$.
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)
Postać kanoniczna
\[f(x)=a(x-p)^2+q\]
∑ Matematyka · Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)
Postać kanoniczna
\[f(x)=a(x-p)^2+q\]
Od razu widać wierzchołek $(p,q)$ i przesunięcie wykresu $y=ax^2$.
Przykład: $f(x)=(x-2)^2+3$ — wierzchołek $(2,3)$.
Postać kanoniczna
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Punkty procentowe
Punkty procentowe
\[\Delta=p_2-p_1\ \text{(p.p.)},\qquad \text{zmiana względna}=\frac{p_2-p_1}{p_1}\cdot100\%\]
∑ Matematyka · Punkty procentowe
Punkty procentowe
\[\Delta=p_2-p_1\ \text{(p.p.)},\qquad \text{zmiana względna}=\frac{p_2-p_1}{p_1}\cdot100\%\]
Różnicę dwóch wartości procentowych podajemy w punktach procentowych; zmiana względna to inny procent.
Przykład: Oprocentowanie wzrosło z 4% do 5%: o 1 punkt procentowy, czyli o 25%.
Punkty procentowe
Procenty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Metoda przeciwnych współczynników
\[\text{mnożymy równania tak, by } a_1=-a_2 \text{ lub } b_1=-b_2 \text{ i dodajemy}\]
∑ Matematyka · Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników
Metoda przeciwnych współczynników
\[\text{mnożymy równania tak, by } a_1=-a_2 \text{ lub } b_1=-b_2 \text{ i dodajemy}\]
Po dodaniu równań jedna niewiadoma się redukuje.
Przykład: $2x+3y=8$, $2x-3y=4$: dodajemy: $4x=12$, $x=3$, $y=\frac{2}{3}$.
Metoda przeciwnych współczynników
Układy równań
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Skracanie i rozszerzanie ułamków
Rozszerzanie i skracanie ułamka
\[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\quad k\neq 0\]
∑ Matematyka · Skracanie i rozszerzanie ułamków
Rozszerzanie i skracanie ułamka
\[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\quad k\neq 0\]
Licznik i mianownik mnożymy (lub dzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera — wartość ułamka się nie zmienia.
Przykład: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}$, a $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ (dzielimy przez 6).
Rozszerzanie i skracanie ułamka
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna
\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\]
∑ Matematyka · Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna
\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\]
Suma wartości podzielona przez ich liczbę.
Przykład: Oceny 4, 5, 3, 4: $\bar{x}=\frac{16}{4}=4$.
Średnia arytmetyczna
Statystyka
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Własności funkcji liniowej
Miejsce zerowe funkcji liniowej
\[x_0=-\frac{b}{a}\quad(a\neq0)\]
∑ Matematyka · Własności funkcji liniowej
Miejsce zerowe funkcji liniowej
\[x_0=-\frac{b}{a}\quad(a\neq0)\]
Punkt przecięcia wykresu z osią $Ox$.
Przykład: $f(x)=4x-8$: $x_0=2$.
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Funkcja liniowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Własności prawdopodobieństwa
Zdarzenie przeciwne
\[P(A^{\prime})=1-P(A)\]
∑ Matematyka · Własności prawdopodobieństwa
Zdarzenie przeciwne
\[P(A^{\prime})=1-P(A)\]
Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie zajdzie.
Przykład: Szansa, że w dwóch rzutach monetą nie wypadnie orzeł: $1-\frac34=\frac14$.
Zdarzenie przeciwne
Rachunek prawdopodobieństwa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Dzielenie z resztą
Dzielenie z resztą
\[a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b\]
∑ Matematyka · Dzielenie z resztą
Dzielenie z resztą
\[a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b\]
Każdą liczbę całkowitą $a$ można przedstawić jako wielokrotność $b$ powiększoną o resztę mniejszą od $b$.
Przykład: $47=6\cdot 7+5$, więc przy dzieleniu 47 przez 6 iloraz to 7, a reszta 5.
Dzielenie z resztą
Podzielność
NWD i NWW
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Funkcje
Liczba parzysta i nieparzysta
\[n=2k\ \ (\text{parzysta}),\qquad n=2k+1\ \ (\text{nieparzysta}),\ k\in\mathbb{Z}\]
∑ Matematyka · Funkcje
Liczba parzysta i nieparzysta
\[n=2k\ \ (\text{parzysta}),\qquad n=2k+1\ \ (\text{nieparzysta}),\ k\in\mathbb{Z}\]
Zapis przydatny w dowodach podzielności.
Przykład: Suma dwóch nieparzystych: $(2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1)$ — parzysta.
Liczba parzysta i nieparzysta
Podzielność
NWD i NWW
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Koło i okrąg — długość okręgu
Długość okręgu
\[L=2\pi r=\pi d\]
∑ Matematyka · Koło i okrąg — długość okręgu
Długość okręgu
\[L=2\pi r=\pi d\]
Obwód koła o promieniu $r$ (średnicy $d$).
Przykład: $r=5$ cm: $L=10\pi\approx31{,}4$ cm.
Długość okręgu
Koło i okrąg
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Lokaty bankowe i podatki
Cena brutto i netto (VAT)
\[\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\frac{v}{100}\right)\]
∑ Matematyka · Lokaty bankowe i podatki
Cena brutto i netto (VAT)
\[\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\frac{v}{100}\right)\]
Cena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT ($v\%$).
Przykład: Netto 200 zł, VAT 23%: brutto $200\cdot1{,}23=246$ zł.
Cena brutto i netto (VAT)
Procenty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Lokaty bankowe i podatki
Procent składany — kapitalizacja kilka razy w roku
\[K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100\,m}\right)^{m\cdot n}\]
∑ Matematyka · Lokaty bankowe i podatki
Procent składany — kapitalizacja kilka razy w roku
\[K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100\,m}\right)^{m\cdot n}\]
$m$ — liczba kapitalizacji w roku, $n$ — liczba lat.
Przykład: 2000 zł, 6% rocznie, kapitalizacja kwartalna, 2 lata: $2000\cdot1{,}015^{8}\approx2252{,}99$ zł.
Procent składany — kapitalizacja kilka razy w roku
Procenty
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Miara łukowa kąta
Długość łuku
\[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\]
∑ Matematyka · Miara łukowa kąta
Długość łuku
\[l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\]
Część obwodu odpowiadająca kątowi środkowemu $\alpha$.
Przykład: $r=6$, $\alpha=60^\circ$: $l=\frac16\cdot12\pi=2\pi$.
Długość łuku
Koło i okrąg
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Miara łukowa kąta
Miara łukowa kąta
\[180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\]
∑ Matematyka · Miara łukowa kąta
Miara łukowa kąta
\[180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\]
Zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Przykład: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
Miara łukowa kąta
Trygonometria
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Objętość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
\[P_c=2P_p+P_b\]
∑ Matematyka · Objętość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
\[P_c=2P_p+P_b\]
Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.
Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
Graniastosłupy
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →