Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Twierdzenie cosinusów
Do czego służy: Obliczanie trzeciego boku z dwóch boków i kąta między nimi (BBK), lub wyznaczanie kątów gdy znamy trzy boki (BBB).
Zmienne
- $c$ — szukany bok (naprzeciwko kąta $\gamma$)
- $a,b$ — znane boki tworzące kąt $\gamma$
- $\gamma$ — kąt zawarty między bokami $a$ i $b$
Warianty
- Szukasz boku: $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
- Szukasz kąta (masz 3 boki): $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
- Szczególny przypadek $\gamma=90°$: $c^2=a^2+b^2$ (Pitagoras!)
Przykład
Trójkąt: $a=5$, $b=7$, $\gamma=60°$. Oblicz $c$.
- $c^2 = 25+49-2\cdot5\cdot7\cdot0{,}5 = 74-35 = 39$
- $c=\sqrt{39}\approx6{,}24$
⚠️ Częsty błąd: Kąt $\gamma$ musi leżeć między bokami $a$ i $b$! Pomylenie ułożenia boków i kąta daje błędny wynik.
Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej
Dla $f$ ciągłej na $[a,b]$ i różniczkowalnej na $(a,b)$ istnieje punkt $\xi$, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej $(a,f(a))$ i $(b,f(b))$. Zastosowania: szacowanie błędów, dowody monotoniczności ($f'> 0\Rightarrow f$ rosnąca), twierdzenie de l'Hôpitala.
Twierdzenie Menelaosa i Cevy
Twierdzenie Cevy: odcinki $AX$, $BY$, $CZ$ trójkąta $ABC$ (gdzie $X\in BC$ itd.) są współbieżne (lub równoległe) $\Leftrightarrow$ iloczyn ilorazów $=1$ (ze znakami). Specjalne: środkowe ($G$), bisektryce ($I$), wysokości ($H$). Twierdzenie Menelaosa: punkty na bokach (lub ich przedłużeniach) są współliniowe $\Leftrightarrow$ iloczyn ilorazów $=-1$ (ze znakami). Dualność Menelaos-Ceva.
Twierdzenie Pitagorasa
Do czego służy: Obliczanie brakującego boku trójkąta prostokątnego. Jeden z najczęściej używanych wzorów w geometrii i fizyce.
Zmienne
- $a, b$ — przyprostokątne (dwa krótsze boki tworzące kąt prosty)
- $c$ — przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta 90°)
Trzy postacie — wybierz zależnie co szukasz
- Szukasz $c$: $c = \sqrt{a^2+b^2}$
- Szukasz $a$: $a = \sqrt{c^2-b^2}$
- Sprawdzasz czy trójkąt jest prostokątny: jeśli $a^2+b^2=c^2$ → tak
Trójki pitagorejskie (warto zapamiętać)
$(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ i ich wielokrotności: $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ itp.
Zastosowania
Przekątna prostokąta, wysokość trójkąta równobocznego, tworząca stożka, odległość punktów, diagnozy brył.
Przykład
Prostokąt o bokach 6 i 8 cm. Oblicz przekątną.
- $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm
⚠️ Częsty błąd: Wzoru używasz tylko w trójkącie prostokątnym! Jeśli kąt prosty nie jest zaznaczony lub podany — sprawdź to najpierw.
Twierdzenie Ptolemeusza
W czworokącie wpisanym w okrąg: iloczyn przekątnych = suma iloczynów par boków przeciwległych. Odwrotność: jeśli równość zachodzi, czworokąt jest cykliczny. Przypadek szczególny: prostokąt — przekątne równe, wzór daje twierdzenie Pitagorasa. Zastosowanie: dowody tożsamości trygonometrycznych, konstruowanie długości niewymiernych.
Twierdzenie sinusów
Do czego służy: Obliczanie brakujących boków lub kątów w dowolnym trójkącie, gdy znasz bok i naprzeciwległy kąt.
Zmienne
- $a,b,c$ — boki trójkąta; $\alpha,\beta,\gamma$ — kąty naprzeciwległe do nich
- $R$ — promień okręgu opisanego na trójkącie
Kiedy używać?
- KBK: znasz dwa kąty i bok między nimi → oblicz pozostałe boki
- BKB: znasz bok i kąt naprzeciwległy → oblicz inne boki/kąty
Jak stosować
- Dopełnij brakujący kąt: $\gamma = 180°-\alpha-\beta$
- Ustaw proporcję z dwóch znanych wielkości: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$
- Wyraź szukane: $b = a\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$
Przykład
Trójkąt: $a=8$, $\alpha=45°$, $\beta=60°$. Znajdź $b$.
- $b = \frac{8\cdot\sin60°}{\sin45°} = \frac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}\approx9{,}8$
⚠️ Częsty błąd: Bok i kąt muszą być naprzeciwległe! $a$ leży naprzeciwko $\alpha$, nie obok niego.
Twierdzenie Talesa
Jeżeli prosta przecina dwa boki trójkąta (lub ich przedłużenia) równolegle do podstawy, dzieli je w tym samym stosunku. Odwrotnie: jeśli dzieli je w tym samym stosunku, jest równoległa do podstawy. Stosowane do wykazywania równoległości i obliczania długości odcinków.
Układ równań liniowych 2×2
Do czego służy: Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi — klasa 8, matura, zadania tekstowe z dwiema nieznanymi.
Metoda podstawiania
- Z jednego równania wyraź $y$ przez $x$ (lub odwrotnie)
- Podstaw do drugiego równania — otrzymasz równanie z jedną niewiadomą
- Oblicz pierwszą niewiadomą, potem drugą
Metoda przeciwnych współczynników (eliminacji)
- Pomnóż równania przez takie liczby, żeby współczynniki przy $x$ (lub $y$) były przeciwne
- Dodaj równania stronami — jedna niewiadoma znika
- Oblicz pozostałą niewiadomą
Metoda wyznacznikowa (Cramera)
$$W = \begin{vmatrix}a_1 & b_1\a_2 & b_2\end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$$
$$x = \frac{W_x}{W} = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W} = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{W}$$
Przykład (podstawianie)
$\begin{cases}2x + y = 7\x - y = 2\end{cases}$
- Z II równania: $y = x - 2$
- Podstaw do I: $2x + (x-2) = 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
- $y = 3 - 2 = 1$
⚠️ Częsty błąd: Sprawdź wynik — podstaw $x$ i $y$ do obu równań. Jeden błąd rachunkowy psuje wszystko.
Wariancja i odchylenie standardowe
Do czego służy: Mierzenie jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Im większe $s$, tym dane bardziej zróżnicowane.
Krok po kroku
- Oblicz średnią $\bar{x}$
- Dla każdej wartości: $(x_i-\bar{x})^2$
- Uśrednij kwadraty: $s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$
- Pierwiastek: $s=\sqrt{s^2}$
Przykład
Dane: 2, 4, 4, 6. $\bar{x}=4$.
- Kwadraty: $4,0,0,4$; suma=8
- $s^2=8/4=2$; $s=\sqrt{2}\approx1{,}41$
⚠️ Częsty błąd: Mniejsze $s$ = dane skupione bliżej średniej (bardziej jednorodne), nie że coś jest „małe".
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Wartość oczekiwana to średnia ważona wartości zmiennej. Wariancja mierzy rozproszenie. Odchylenie standardowe: $\sigma=\sqrt{D^2(X)}$. Własności liniowe: $E(aX+b)=aE(X)+b$, $D^2(aX+b)=a^2 D^2(X)$.
Wartości trygonometryczne kątów szczególnych
Do czego służy: Dokładne wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — do obliczeń bez kalkulatora.
Tabela wartości
| Kąt | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| cos | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| tg | 0 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | — |
Jak zapamiętać sinusy?
Kolejność: $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ odpowiada sinusom $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ — to $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$. Cosinusy to sinusy w odwrotnej kolejności.
Przykład
Pole trójkąta równobocznego o boku $a = 4$:
- $P = \frac{1}{2} a^2 \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$
⚠️ Częsty błąd: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, a $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (nie odwrotnie!). Sinus jest mniejszy dla małych kątów.
Warunki podobieństwa trójkątów
Trójkąty są podobne gdy: (kkk) wszystkie trzy stosunki boków są równe; (kk) dwa kąty są równe (trzeci też — suma kątów); (bkb) dwa boki proporcjonalne i zawarty kąt równy. Podobieństwo daje równe kąty i proporcjonalne boki, pola w stosunku $k^2$, objętości brył $k^3$.
Wielokąt foremny n-kątny — wzory na promień i pole
Wielokąt foremny $n$-kątny o boku $a$: $R$ — promień okręgu opisanego, $r$ — wpisanego, $r=R\cos(\pi/n)$. Pole: $P=\frac{1}{2}nR^2\sin(2\pi/n)$. Dla $n\to\infty$: $r\to R$, $P\to\pi R^2$ (okrąg). Przykłady: trójkąt $R=a\sqrt{3}/3$; kwadrat $R=a\sqrt{2}/2$; sześciokąt $R=a$, $r=a\sqrt{3}/2$.
Wielościany foremne (platońskie) — zestawienie wzorów
Pięć wielościanów platońskich: czworościan (4), sześcian (6), ośmiościan (8), dwunastościan (12), dwudziestościan (20 ścian). Wzór Eulera: $V-E+F=2$. Dualność: sześcian↔ośmiościan, dwunastościan↔dwudziestościan, czworościan↔sam sobie. Sfery opisane i wpisane: dla sześcianu $R=a\sqrt{3}/2$, $r=a/2$.
Wklęsłość funkcji i punkty przegięcia
Punkt przegięcia: $x_0$ gdzie $f''$ zmienia znak (niekoniecznie $f''(x_0)=0$, choć często). Funkcja wypukła ($f'' > 0$) leży powyżej stycznych — kształt $\cup$. Wklęsła ($f''<0$) — poniżej stycznych, kształt $\cap$. Nierówność Jensena: dla funkcji wypukłej $f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.
Współczynnik korelacji Pearsona
Mierzy siłę i kierunek liniowego związku między zmiennymi. $r=1$: doskonała korelacja dodatnia; $r=-1$: ujemna; $r=0$: brak korelacji liniowej. Uwaga: korelacja $\ne$ przyczynowość. Determinacja: $r^2$ = odsetek wariancji $y$ wyjaśnionej przez $x$.
Współrzędne biegunowe — związek z kartezjańskimi
Punkt $(r,\varphi)$: odległość od bieguna i kąt od osi $OX$. Przykłady krzywych: okrąg $r=a$, kardioda $r=a(1+\cos\varphi)$, spirala Archimedesa $r=a\varphi$, lemniskata Bernoulliego $r^2=a^2\cos2\varphi$. Pole obszaru biegunowego: $A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2\,d\varphi$. Długość łuku: $L=\int\sqrt{r^2+r'^2}\,d\varphi$.
Wyrażenie a·sin + b·cos w postaci harmonicznej
Każdą sumę $a\sin x+b\cos x$ możemy zapisać jako jedną funkcję sinusoidalną o amplitudzie $R=\sqrt{a^2+b^2}$ i przesunięciu fazowym $\varphi$. Alternatywnie: $R\cos(x-\psi)$ gdzie $\tan\psi=a/b$. Zastosowanie: wyznaczanie extremów, rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
Wyróżnik równania kwadratowego (delta)
Do czego służy: Wyróżnik delta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe — oblicz go jako pierwszy krok, zanim zaczniesz szukać pierwiastków.
Zmienne
- $a$ — współczynnik przy $x^2$ (musi być $\neq 0$)
- $b$ — współczynnik przy $x$
- $c$ — wyraz wolny (liczba bez $x$)
Kiedy używać?
Zawsze gdy masz równanie postaci $ax^2 + bx + c = 0$. Obliczenie delty to krok 1 — wynik decyduje, co robisz dalej.
Jak stosować
- Doprowadź równanie do postaci $ax^2 + bx + c = 0$ (wszystko na lewą stronę)
- Odczytaj $a$, $b$, $c$ ze współczynników
- Podstaw i oblicz: $\Delta = b^2 - 4ac$
- Odczytaj wynik: $\Delta > 0$ → 2 pierwiastki | $\Delta = 0$ → 1 pierwiastek podwójny | $\Delta < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych
Przykład
Ile rozwiązań ma $2x^2 - 5x + 3 = 0$?
- Odczytujemy: $a=2$, $b=-5$, $c=3$
- Liczymy: $\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 25 - 24 = 1$
- $\Delta = 1 > 0$ → dwa różne pierwiastki rzeczywiste
⚠️ Częsty błąd: $(-5)^2 = 25$, nie $-25$! Kwadrat liczby ujemnej jest zawsze dodatni. Zawsze stawiaj nawias: $(b)^2$.
Wzór Bayesa
Wzór Bayesa odwraca warunkowanie: mając $P(A|B_i)$ wyznacza $P(B_i|A)$. $P(B_i)$ — prawdopodobieństwo a priori, $P(B_i|A)$ — a posteriori. Zastosowania: diagnostyka medyczna, filtrowanie spamu, wnioskowanie bayesowskie.
Wzór Eulera — e^{i phi} i tożsamość Eulera
Wynika z rozwinięć Maclaurina: podstawiamy $i\varphi$ do $e^x=\sum(i\varphi)^n/n!$ i grupujemy człony rzeczywiste i urojone. Tożsamość Eulera $e^{i\pi}+1=0$ łączy $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$. Zastosowanie: postać trygonometryczna l. zespolonych, wzór de Moivre'a, transformata Fouriera, phasory w elektrotechnice.
Wzór Eulera dla wielościanów i charakterystyka topologiczna
Charakterystyka Eulera $\chi$: niezmiennik topologiczny — ta sama dla wszystkich wielościanów homeomorficznych z daną powierzchnią. Sfera: $\chi=2$; torus: $\chi=0$; powierzchnia rodzaju $g$: $\chi=2-2g$. Dla sześcianu: $8-12+6=2$; ostrosłup $n$-kątny: $(n+1)-2n+(n+1)=2$. Zastosowanie: topologia, krystalografia, analiza sieci.
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego
Do czego służy: Podaje dokładne wartości obu rozwiązań każdego równania kwadratowego po obliczeniu delty.
Zmienne
- $a$ — współczynnik przy $x^2$; $b$ — przy $x$; $c$ — wyraz wolny
- $\Delta$ — wyróżnik: $\Delta = b^2 - 4ac$
- $x_1, x_2$ — dwa pierwiastki (rozwiązania)
Kiedy używać?
Po obliczeniu delty, gdy $\Delta \geq 0$. Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają ten sam wynik: $x = \frac{-b}{2a}$.
Jak stosować
- Oblicz $\Delta = b^2 - 4ac$ (upewnij się że $\Delta \geq 0$)
- Oblicz $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ (minus przed pierwiastkiem)
- Oblicz $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ (plus przed pierwiastkiem)
- Sprawdź: podstaw $x_1$ i $x_2$ do oryginalnego równania — powinno wyjść 0
Przykład
Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 = 0$.
- $a=1$, $b=-5$, $c=6$
- $\Delta = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{\Delta}=1$
- $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, \quad $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$
- Sprawdzenie: $4-10+6=0\checkmark$, \quad $9-15+6=0\checkmark$
⚠️ Częsty błąd: Dzielnik to $2a$, nie $2$! Gdy $a=3$ dzielisz przez 6, nie przez 2. Mianownik obejmuje całe wyrażenie $-b \pm \sqrt{\Delta}$.
Wzór Wallisa — całki z potęg funkcji trygonometrycznych
Silnia podwójna: $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots$. Wzór rekurencyjny: $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$. Przykłady: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx=\frac{3\cdot1}{4\cdot2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}$; $\int_0^{\pi/2}\sin^5 x\,dx=\frac{4\cdot2}{5\cdot3\cdot1}=\frac{8}{15}$. Iloczyn Wallisa: $\frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty\frac{4k^2}{4k^2-1}$.
Strona 6 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.