Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Równanie hiperboli
Hiperbola o ogniskach $(\pm c,0)$. Własność ogniskowa: $||PF_1|-|PF_2||=2a$. Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$. Mimośród $e=\frac{c}{a}>1$. Hiperbola równoosiowa ($a=b$): asymptoty prostopadłe, mimośród $e=\sqrt{2}$.
Równanie ogólne a·sin x + b·cos x = c
Przekształcamy: $a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$, gdzie $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi=a/R$, $\sin\varphi=b/R$. Równanie $R\sin(x+\varphi)=c$ ma rozwiązania $\Leftrightarrow|c|\le R$. Ogólne rozwiązanie: $x=\arcsin(c/R)-\varphi+2k\pi$ lub $x=\pi-\arcsin(c/R)-\varphi+2k\pi$. Alternatywnie: postać $R\cos(x-\psi)$.
Równanie ogólne i kierunkowe prostej
Do czego służy: Opis każdej prostej na płaszczyźnie. Podstawa geometrii analitycznej.
Dwie formy
- Kierunkowa $y=kx+b$: widać nachylenie $k$ i punkt przecięcia z OY ($b$). Nie opisuje prostych pionowych!
- Ogólna $Ax+By+C=0$: opisuje KAŻDĄ prostą (też pionowe gdy $B=0$)
Kluczowe zależności
- Proste równoległe: $k_1=k_2$ (te same nachylenia, różne $b$)
- Proste prostopadłe: $k_1\cdot k_2=-1$, tzn. $k_2=-\frac{1}{k_1}$
- Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
Jak wyznaczyć prostą przez 2 punkty
- $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- $b=y_1-k\cdot x_1$
⚠️ Częsty błąd: Prosta prostopadła ma $k_2=-1/k_1$, nie $-k_1$! Np. do prostej o $k=2$ prostopadła ma $k=-1/2$.
Równanie okręgu
Do czego służy: Opisuje okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$. Pozwala sprawdzić czy punkt leży na okręgu, wewnątrz lub zewnątrz.
Jak odczytać środek i promień
- Z $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: środek $(a,b)$, promień $r=\sqrt{\text{prawej strony}}$
- Uwaga: $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ → środek $(-2,3)$, $r=5$
Sprawdzenie przynależności punktu
- Podstaw $(x_0,y_0)$ do wzoru: $=r^2$ → na okręgu; $<r^2$ → wewnątrz; $>r^2$ → zewnątrz
Przykład
Napisz równanie okręgu o środku $S(3,-2)$ i promieniu $r=5$.
- $(x-3)^2+(y+2)^2=25$
⚠️ Częsty błąd: Środek $S(-2,3)$ → równanie $(x\mathbf{+}2)^2+(y\mathbf{-}3)^2=r^2$. Znaki w nawiasach są ODWROTNE do współrzędnych środka!
Równanie płaszczyzny w przestrzeni
Wektor normalny $\vec{n}=[A,B,C]$ jest prostopadły do płaszczyzny. Wyznaczanie: znając punkt $P_0$ i normalną $\vec{n}$: $\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0$. Trzy punkty: wyznaczamy $\vec{n}=\vec{P_0P_1}\times\vec{P_0P_2}$. Dwie płaszczyzny równoległe: normalne proporcjonalne; prostopadłe: $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.
Równanie stycznej i normalnej do krzywej
Styczna do wykresu $y=f(x)$ w punkcie $(x_0, f(x_0))$: nachylenie $= f'(x_0)$. Normalna: prostopadła do stycznej w tym samym punkcie, nachylenie $= -1/f'(x_0)$. Gdy $f'(x_0)=0$: styczna pozioma, normalna pionowa ($x=x_0$).
Równanie trygonometryczne sin x = a
Dla $|a|\le 1$ równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Specjalne przypadki: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$. Dla cosinusa: $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2k\pi$.
Równanie trygonometryczne tan x = a
Równanie $\tan x=a$ ma rozwiązania dla każdego $a\in\mathbb{R}$ z wykluczeniem $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Dla cotangensa: $\cot x=a\Rightarrow x=\text{arccot}\,a+k\pi$. Okres tangensa wynosi $\pi$ (nie $2\pi$).
Rozkład dwumianowy — prawdopodobieństwo i parametry
Model $n$ niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu $p$. Wartość oczekiwana $np$, wariancja $npq$ ($q=1-p$). Aproksymacja: normalną $N(np,npq)$ gdy $np>5$ i $nq>5$; Poissonem $\lambda=np$ gdy $n$ duże i $p$ małe. Suma dwóch niezależnych $B(n_1,p)$ i $B(n_2,p)$: $B(n_1+n_2,p)$.
Rozkład normalny Gaussa
Krzywa dzwonowa z wartością oczekiwaną $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma$. Reguła $3\sigma$: ~68% danych mieści się w $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$, ~95% w $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$, ~99,7% w $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$. Standaryzacja: $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$.
Rozkład t-Studenta — zastosowanie do małych prób
Gdy $\sigma$ nieznane i $n$ małe ($n<30$): statystyka $t$ ma rozkład t-Studenta z $\nu=n-1$ stopniami swobody. Przedział ufności: $\bar x\pm t_{\nu,\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}$. Dla $\nu\to\infty$: $t\to N(0,1)$. Tabela: $t_{9,0.025}=2{,}262$ (95\%, $n=10$). Stosowany w teście t, regresji, porównaniu dwóch średnich.
Rzut punktu na prostą i symetria osiowa
Rzut prostopadły $P'$ punktu $P_0$ na prostą $\ell$: odejmujemy składową normalną o wartości $(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$. Symetria względem $\ell$ (odbicie): $P^*=2P'-P_0$. Odległość $P_0$ od $\ell$: $d=|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$. Zastosowanie: grafika komputerowa, geometria obliczeniowa, refleksja optyczna.
Schemat Bernoulliego
Model $n$ niezależnych prób z prawdopodobieństwem sukcesu $p$. $X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy. Wartość oczekiwana: $E(X)=np$. Wariancja: $D^2(X)=np(1-p)$. Przykłady: rzuty monetą, losowanie ze zwracaniem, testy wyboru.
Średnia arytmetyczna i ważona
Do czego służy: Wyznaczenie „typowej" wartości reprezentującej cały zbiór danych.
Dwa rodzaje
- Zwykła: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$ — gdy wszystkie wartości mają tę samą wagę
- Ważona: $\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}$ — gdy wartości mają różne znaczenie (wagi)
Kiedy ważona?
Oceny szkolne z wagami, ceny kupowanych towarów w różnych ilościach, wyniki testów z różną liczbą punktów za pytanie.
Przykład
Oceny: 5 (waga 3), 4 (waga 1), 3 (waga 2).
- $\bar{x}_w=\frac{5\cdot3+4\cdot1+3\cdot2}{3+1+2}=\frac{25}{6}\approx4{,}17$
⚠️ Częsty błąd: Dzielisz przez sumę wag (tu 6), nie przez liczbę ocen (tu 3)!
Środek odcinka
Do czego służy: Znalezienie punktu w połowie odcinka $AB$. Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Kiedy używać?
- Środek przekątnej prostokąta/równoległoboku
- Gdy masz środek $S$ i jeden koniec $A$ — wyznacz drugi koniec $B$: $x_B=2x_S-x_A$
- Punkt ciężkości trójkąta (środek każdego boku)
Przykład
Przekątna prostokąta: $A(1,2)$ i $C(7,6)$. Gdzie przecinają się przekątne?
- $S=\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)$
Obie przekątne muszą przechodzić przez $(4,4)$ — sprawdzenie symetrii prostokąta.
⚠️ Częsty błąd: Gdy szukasz brakującego końca $B$ ze środka $S$ i końca $A$: $x_B=2x_S-x_A$ (nie $x_S-x_A$)!
Styczna do okręgu — własności
Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styku. Z zewnętrznego punktu $P$ można poprowadzić dwie styczne równej długości: $|PT_1|=|PT_2|$. Potęga punktu: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$ dla dowolnych cięciw przechodzących przez $P$.
Substytucja Weierstrassa — t = tan(x/2)
Zamienia każdą funkcję wymierną $R(\sin x,\cos x)$ na funkcję wymierną $t$ — zawsze całkowalną przez ułamki proste. Przykład: $\int\frac{dx}{1+\sin x}=\int\frac{2\,dt/(1+t^2)}{1+2t/(1+t^2)}=\int\frac{2\,dt}{(1+t)^2}=-\frac{2}{1+t}+C$. Wada: obliczenia skomplikowane; przy prostszych całkach szukaj lepszego podstawienia.
Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego
Do czego służy: Szybkie zsumowanie pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego — bez dodawania jednego po drugim.
Zmienne
- $S_n$ — suma $n$ wyrazów
- $n$ — liczba wyrazów do zsumowania
- $a_1$ — pierwszy wyraz; $a_n$ — ostatni (n-ty) wyraz
- $r$ — różnica ciągu
Który wzór wybrać?
- Wzór 1: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ → gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz
- Wzór 2: $S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)r)}{2}$ → gdy znasz $a_1$ i różnicę $r$
Intuicja geometryczna
Suma = liczba wyrazów × średnia arytmetyczna (pierwszego i ostatniego). To jak liczenie pola trapezu!
Przykład
Oblicz $1+2+3+\ldots+100$.
- $a_1=1$, $a_{100}=100$, $n=100$
- $S_{100} = \frac{100\cdot(1+100)}{2} = \frac{100\cdot101}{2} = 5050$
⚠️ Częsty błąd: Sprawdź czy $a_n$ w zadaniu to rzeczywiście ostatni sumowany wyraz! Jeśli sumujesz np. od $a_3$ do $a_n$, wzór wymaga modyfikacji.
Suma n wyrazów ciągu geometrycznego
Do czego służy: Suma skończonej lub (przy $|q|<1$) nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego.
Przypadki
- $q\neq1$: $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
- $q=1$: $S_n = n\cdot a_1$ (wszystkie wyrazy równe)
- $|q|<1$ (suma nieskończona): $S = \frac{a_1}{1-q}$
Kiedy używać?
Procent składany, sumowanie szeregów geometrycznych, zadania o wielokrotnym stosowaniu tego samego mnożnika.
Przykład — suma nieskończona
Oblicz $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$
- $a_1=1$, $q=\frac{1}{3}$ (bo $|q|<1$ → istnieje suma nieskończona)
- $S = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$
⚠️ Częsty błąd: Suma nieskończona istnieje tylko gdy $|q|<1$! Dla $q\geq1$ ciąg nie zmierza do 0 i suma nieskończona nie istnieje.
Suma nieskończonego szeregu geometrycznego
Nieskończony szereg geometryczny $a_1+a_1 q+a_1 q^2+\cdots$ jest zbieżny dla $|q|<1$ i ma sumę $S=\frac{a_1}{1-q}$. Dla $|q|\ge 1$ szereg jest rozbieżny. Przykład: $1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
Szereg Maclaurina — rozwinięcia podstawowe
Rozwinięcia w szereg potęgowy (zbieżne dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$): $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\cdots$. Stosowane do przybliżeń, obliczania granic i całek trudnych funkcji.
Szereg potęgowy — promień zbieżności
Szereg zbiega bezwzględnie dla $|x-a|
Szereg Taylora — rozwinięcie funkcji w punkcie
Uogólnienie Maclaurina (który jest Taylorem dla $a=0$). Reszta Lagrange'a: $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ dla pewnego $\xi$ między $a$ a $x$. Stosowane do przybliżeń numerycznych i upraszczania granic z postacią nieoznaczoną.
Test chi-kwadrat — test zgodności i niezależności
$O_i$ — obserwowane, $E_i$ — oczekiwane liczebności. Test zgodności: czy dane pasują do rozkładu teoretycznego. Test niezależności cech w tabeli $r\times c$: $E_{ij}=R_i C_j/n$. Odrzucamy $H_0$ gdy $\chi^2>\chi^2_{\nu,\alpha}$. Założenie: $E_i\ge5$ dla każdej klasy. Przy małych $E_i$: łączymy klasy lub test dokładny Fishera.
Strona 5 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.