∑ Matematyka
Trapez
\[P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}\]
∑ Matematyka
Trapez
\[P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}\]
Średnia długość podstaw razy wysokość.
Przykład: Podstawy 8 i 4, wysokość 5: $P=30$.
Trapez
Czworokąty i wielokąty
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°
\[a,\ a\sqrt3,\ 2a\]
∑ Matematyka
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°
\[a,\ a\sqrt3,\ 2a\]
Przyprostokątna naprzeciw kąta 30° jest połową przeciwprostokątnej.
Przykład: Przeciwprostokątna 10: boki 5 i $5\sqrt3$.
Trójkąt o kątach 30°
60°
90°
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Trójki pitagorejskie
\[(3,4,5),\ (5,12,13),\ (8,15,17),\ (7,24,25)\]
∑ Matematyka
Trójki pitagorejskie
\[(3,4,5),\ (5,12,13),\ (8,15,17),\ (7,24,25)\]
Trójki liczb naturalnych spełniające twierdzenie Pitagorasa (także ich wielokrotności).
Przykład: $(6,8,10)$ to podwojona trójka $(3,4,5)$.
Trójki pitagorejskie
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie cosinusów
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]
∑ Matematyka
Twierdzenie cosinusów
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
Twierdzenie cosinusów
Trójkąty
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie odwrotne
\[a^2+b^2=c^2\ \Rightarrow\ \text{trójkąt jest prostokątny}\]
∑ Matematyka
Twierdzenie odwrotne
\[a^2+b^2=c^2\ \Rightarrow\ \text{trójkąt jest prostokątny}\]
Pozwala sprawdzić, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny.
Przykład: Boki 7, 24, 25: $49+576=625$ — trójkąt prostokątny.
Twierdzenie odwrotne
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie Pitagorasa
\[a^2+b^2=c^2\]
∑ Matematyka
Twierdzenie Pitagorasa
\[a^2+b^2=c^2\]
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.
Przykład: $a=6$, $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=10$.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Twierdzenie sinusów
\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R\]
∑ Matematyka
Twierdzenie sinusów
\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R\]
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
Twierdzenie sinusów
Trójkąty
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Tworząca stożka
\[l^2=r^2+H^2\]
∑ Matematyka
Tworząca stożka
\[l^2=r^2+H^2\]
Twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym stożka.
Przykład: $r=5$, $H=12$: $l=13$.
Tworząca stożka
Bryły obrotowe
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Układ dwóch równań liniowych
\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]
∑ Matematyka
Układ dwóch równań liniowych
\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]
Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.
Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.
Układ dwóch równań liniowych
Układy równań
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Walec
\[V=\pi r^2H,\qquad P_c=2\pi r^2+2\pi rH\]
∑ Matematyka
Walec
\[V=\pi r^2H,\qquad P_c=2\pi r^2+2\pi rH\]
Objętość i pole powierzchni walca o promieniu $r$ i wysokości $H$.
Przykład: $r=3$, $H=5$: $V=45\pi$, $P_c=18\pi+30\pi=48\pi$.
Walec
Bryły obrotowe
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wariacje bez powtórzeń
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\]
∑ Matematyka
Wariacje bez powtórzeń
\[V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\]
Ciągi $k$ różnych elementów wybranych z $n$ (kolejność ma znaczenie).
Przykład: Podium (3 miejsca) z 8 zawodników: $8\cdot7\cdot6=336$.
Wariacje bez powtórzeń
Kombinatoryka
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wartości dla 30°, 45°, 60°
\[\sin30^\circ=\tfrac12,\ \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2};\ \ \operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3\]
∑ Matematyka
Wartości dla 30°, 45°, 60°
\[\sin30^\circ=\tfrac12,\ \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2};\ \ \operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3\]
Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.
Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.
Wartości dla 30°
45°
60°
Trygonometria
wzór
szkoła średnia
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Własności wartości bezwzględnej
\[|a\cdot b|=|a|\cdot|b|,\qquad |a+b|\le|a|+|b|\]
∑ Matematyka
Własności wartości bezwzględnej
\[|a\cdot b|=|a|\cdot|b|,\qquad |a+b|\le|a|+|b|\]
Moduł iloczynu to iloczyn modułów; nierówność trójkąta.
Przykład: $|-3\cdot4|=12=|-3|\cdot|4|$.
Własności wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wyróżnik (delta)
\[\Delta=b^2-4ac\]
∑ Matematyka
Wyróżnik (delta)
\[\Delta=b^2-4ac\]
Decyduje o liczbie miejsc zerowych: 2 ($\Delta>0$), 1 ($\Delta=0$), 0 ($\Delta<0$).
Przykład: $x^2-6x+9$: $\Delta=36-36=0$ — jedno miejsce zerowe.
Wyróżnik (delta)
Funkcja kwadratowa
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wzór funkcji liniowej
\[f(x)=ax+b\]
∑ Matematyka
Wzór funkcji liniowej
\[f(x)=ax+b\]
$a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — punkt przecięcia z osią $Oy$: $(0,b)$.
Przykład: $f(x)=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-3)$.
Wzór funkcji liniowej
Funkcja liniowa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wzory redukcyjne (kąt 90°−α i 180°−α)
\[\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]
∑ Matematyka
Wzory redukcyjne (kąt 90°−α i 180°−α)
\[\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]
Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.
Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.
Wzory redukcyjne (kąt 90°−α i 180°−α)
Trygonometria
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Wzory Viète’a
\[x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]
∑ Matematyka
Wzory Viète’a
\[x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]
Związki między pierwiastkami a współczynnikami (dla $\Delta\ge0$).
Przykład: $x^2-7x+10=0$: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=10$, czyli $2$ i $5$.
Wzory Viète’a
Funkcja kwadratowa
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Zmiana podstawy logarytmu
\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]
∑ Matematyka
Zmiana podstawy logarytmu
\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]
Pozwala przejść do dowolnej, wygodnej podstawy (np. 10).
Przykład: $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$.
Zmiana podstawy logarytmu
Logarytmy
wzór
rozszerzenie
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 1 LO
Odwrotność liczby
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a},\quad a,b\neq 0\]
∑ Matematyka · Klasa 1 LO
Odwrotność liczby
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a},\quad a,b\neq 0\]
Odwrotność ułamka otrzymujemy, zamieniając licznik z mianownikiem. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1.
Przykład: Odwrotnością $\frac{3}{8}$ jest $\frac{8}{3}$, bo $\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}=1$.
Odwrotność liczby
Działania na ułamkach
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 1 LO
Pierwiastek z kwadratu liczby
\[\sqrt{a^2}=|a|\]
∑ Matematyka · Klasa 1 LO
Pierwiastek z kwadratu liczby
\[\sqrt{a^2}=|a|\]
Wynik jest zawsze nieujemny — stąd wartość bezwzględna.
Przykład: $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.
Pierwiastek z kwadratu liczby
Pierwiastki
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 1 LO
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
\[\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt{b}\]
∑ Matematyka · Klasa 1 LO
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
\[\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt{b}\]
Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn kwadratu i reszty.
Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Pierwiastki
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 2 LO
Trójkąt prostokątny równoramienny
\[a,\ a,\ a\sqrt2\]
∑ Matematyka · Klasa 2 LO
Trójkąt prostokątny równoramienny
\[a,\ a,\ a\sqrt2\]
Połowa kwadratu przeciętego przekątną.
Przykład: Przyprostokątne 4: przeciwprostokątna $4\sqrt2$.
Trójkąt prostokątny równoramienny
Twierdzenie Pitagorasa
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 4 SP
Logarytm dziesiętny
\[\log x=\log_{10}x\]
∑ Matematyka · Klasa 4 SP
Logarytm dziesiętny
\[\log x=\log_{10}x\]
Logarytm o podstawie 10 zapisujemy bez podstawy.
Przykład: $\log 1000=3$, $\log 0{,}01=-2$.
Logarytm dziesiętny
Logarytmy
wzór
szkoła średnia
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →
∑ Matematyka
Klasa 7 SP
Pierwiastek kwadratowy
\[\sqrt{a}=b\iff b^2=a,\ b\ge0,\ a\ge0\]
∑ Matematyka · Klasa 7 SP
Pierwiastek kwadratowy
\[\sqrt{a}=b\iff b^2=a,\ b\ge0,\ a\ge0\]
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy tej liczbie.
Przykład: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{0{,}09}=0{,}3$.
Pierwiastek kwadratowy
Pierwiastki
wzór
szkoła podstawowa
matematyka
Zobacz zadania z tym wzorem →