Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Pole rombu i deltoidu
Wzór obowiązuje zarówno dla rombu, jak i deltoidu — pole równa się połowie iloczynu przekątnych (które w obu figurach są prostopadłe). Dla rombu o boku $a$ i kącie $\alpha$: $P=a^2\sin\alpha$. Obwód rombu: $L=4a$.
Pole trapezu
$a$, $b$ — długości równoległych podstaw, $h$ — odległość między nimi. Trapez prostokątny: jedno ramię prostopadle do podstaw. Trapez równoramienny: symetryczny, przekątne równe. Środkowa trapezu (łącząca środki ramion): $m=\frac{a+b}{2}$, równoległa do podstaw.
Pole trójkąta
Do czego służy: Obliczenie pola trójkąta — wzór dobierasz do tego, co masz dane.
Wzory — który kiedy
- $P = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$ → gdy masz podstawę i wysokość (prostopadle do niej)
- $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ → gdy masz dwa boki i kąt między nimi
- Wzór Herona: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, $s=\frac{a+b+c}{2}$ → gdy masz tylko trzy boki
Wysokość trójkąta — jak wyznaczyć
Wysokość jest prostopadła do wybranej podstawy. W trójkącie prostokątnym: obie przyprostokątne są nawzajem swoimi wysokościami. W ogólnym: $h_a = b\sin\gamma$.
Przykład — wzór Herona
Trójkąt o bokach 5, 6, 7. Oblicz pole.
- $s=\frac{5+6+7}{2}=9$
- $P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\approx14{,}7$ cm²
⚠️ Częsty błąd: Wysokość ≠ bok ukośny! Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy — może leżeć poza trójkątem przy kącie rozwartym.
Pole trójkąta przez funkcje trygonometryczne
Trzy ważne postaci pola: przez dwa boki i zawarty kąt; przez jeden bok i dwa kąty (tw. sinusów); przez promień okręgu wpisanego $r$ i półobwód $s$. Pole prostokąta ze wzoru Herona: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. Przydatne gdy nie znamy wysokości wprost.
Pole wielokąta foremnego
Wielokąt foremny $n$-kątny o boku $a$. Promień okręgu opisanego: $R=\frac{a}{2\sin(\pi/n)}$. Apotema (promień okręgu wpisanego): $r=\frac{a}{2\tan(\pi/n)}$. Wzór ogólny: $P=\frac{1}{2}\cdot n\cdot a\cdot r$. Dla $n\to\infty$ wielokąt foremny dąży do koła.
Pole wielokąta przez współrzędne wierzchołków — wzór sznurkowy
Wzór Gaussa (Shoelace Formula): wierzchołki $(x_0,y_0),\ldots,(x_{n-1},y_{n-1})$ podane kolejno. Dla trójkąta: $A=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$. Wynik ze znakiem: + dla kolejności p.p.w.z. (CCW), − dla CW. Zastosowanie: obliczenia GIS, geometria obliczeniowa, sprawdzenie czy punkt jest wewnątrz wielokąta.
Potęgi funkcji trygonometrycznych — wzory do całkowania
Wzory połówkowe obniżają stopień przed całkowaniem. Ogólnie: wielokrotne zastosowanie wzorów na kąt podwojony. Iloczyny $\sin^m x\cos^n x$: przy parzystym $m$ lub $n$ zamieniamy przez wzory połówkowe; dla nieparzystych — podstawienie $u=\cos x$ lub $u=\sin x$. Całka: $\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.
Prawa działań na logarytmach
Do czego służy: Upraszczanie skomplikowanych wyrażeń logarytmicznych i rozwiązywanie równań logarytmicznych.
Prawa
- $\log_a(b\cdot c) = \log_a b + \log_a c$ — iloczyn → suma (i odwrotnie)
- $\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ — iloraz → różnica
- $\log_a b^n = n\cdot\log_a b$ — wykładnik wysuwa się przed logarytm
- $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\lg b}{\lg a}$ — zmiana podstawy (użyj kalkulatora!)
Kiedy używać?
- Upraszczanie sumy/różnicy logarytmów → sprowadzenie do jednego logarytmu
- Przeniesienie potęgi przed logarytm, by łatwiej rozwiązać równanie
- Obliczanie logarytmów o dowolnej podstawie kalkulatorem (zmiana podstawy)
Przykład
Oblicz $\log_2 32 - \log_2 4$.
- Prawo ilorazu: $\log_2\frac{32}{4} = \log_2 8$
- $2^? = 8$, więc $\log_2 8 = 3$
Odpowiedź: 3
⚠️ Częsty błąd: $\log(a+b) \neq \log a + \log b$! Prawo sumy dotyczy iloczynu argumentów, nie sumy.
Prawa działań na potęgach
Do czego służy: Upraszczanie i obliczanie wyrażeń zawierających potęgi, pierwiastki i ułamkowe wykładniki.
Pełna lista praw
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — ta sama podstawa, mnożenie → dodaj wykładniki
- $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — ta sama podstawa, dzielenie → odejmij wykładniki
- $(a^m)^n = a^{mn}$ — potęga potęgi → pomnóż wykładniki
- $(ab)^n = a^n b^n$ — potęga iloczynu → rozdziel na czynniki
- $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ — potęga ilorazu
- $a^0 = 1$ dla $a\neq 0$
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ — wykładnik ujemny = odwrotność
- $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — wykładnik ułamkowy = pierwiastek
- $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$
Kiedy używać?
Przy upraszczaniu wyrażeń potęgowych, rozwiązywaniu równań wykładniczych (np. $2^x = 16$), przeliczaniu liczb w notacji naukowej.
Przykład
Uprość: $\frac{2^5 \cdot 4^2}{8^2}$
- Zamień na wspólną podstawę 2: $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$, $8^2=(2^3)^2=2^6$
- $\frac{2^5 \cdot 2^4}{2^6} = \frac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$
⚠️ Częsty błąd: $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, ale $a^m \cdot a^n \neq a^{mn}$! Przy mnożeniu o tej samej podstawie — dodajesz wykładniki, nie mnożysz.
Prawdopodobieństwo klasyczne
Do czego służy: Obliczanie prawdopodobieństwa gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe (symetryczna kostka, tasowane karty, losowanie).
Zmienne
- $|A|$ — liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$
- $|\Omega|$ — liczba wszystkich możliwych wyników
- $P(A)\in[0,1]$: 0 = niemożliwe, 1 = pewne
Kluczowe wzory
- Zdarzenie przeciwne: $P(\bar{A})=1-P(A)$
- Suma (zdarzenia rozłączne): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
- Suma (ogólna): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
- Iloczyn (niezależne): $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
Jak stosować
- Wypisz lub policz $|\Omega|$ (wszystkie możliwe wyniki)
- Wypisz lub policz $|A|$ (wyniki sprzyjające)
- Oblicz stosunek
Przykład
Dwie kostki. Prawdopodobieństwo że suma = 7.
- $|\Omega|=36$
- Pary: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → $|A|=6$
- $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\%$
⚠️ Częsty błąd: Wzór klasyczny działa TYLKO gdy wyniki są jednakowo prawdopodobne — nie stosuj go dla obciążonej kostki czy niesymetrycznych zdarzeń.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia $B$. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: $P(A)=\sum_i P(A|B_i)P(B_i)$, gdzie $\{B_i\}$ to pełny układ zdarzeń. Zdarzenia niezależne: $P(A|B)=P(A)$, wtedy $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Procent składany
Do czego służy: Obliczanie wartości kapitału, populacji lub dowolnej wielkości rosnącej/malejącej procentowo w każdym okresie (odsetki, inflacja, wzrost populacji).
Zmienne
- $K_0$ — wartość początkowa (np. zainwestowany kapitał)
- $K_n$ — wartość po $n$ okresach
- $r$ — stopa procentowa w procentach (np. 5 dla 5%)
- $n$ — liczba okresów (lat, miesięcy)
Warianty
- Wzrost: $K_n = K_0 \cdot (1 + r/100)^n$; np. $r = 5\%$ → czynnik $1{,}05$
- Spadek: $K_n = K_0 \cdot (1 - r/100)^n$; np. deprecjacja $r = 10\%$ → czynnik $0{,}90$
Jak stosować
- Wypisz $K_0$, $r$, $n$
- Oblicz czynnik: $(1 \pm r/100)$
- Podnieś do potęgi $n$ i pomnóż przez $K_0$
Przykład
Lokata 10 000 zł, oprocentowanie 6% rocznie. Kwota po 3 latach?
- $K_3 = 10\,000 \cdot (1{,}06)^3 = 10\,000 \cdot 1{,}191 = 11\,910$ zł
⚠️ Częsty błąd: Procent prosty: $K = K_0 \cdot (1 + n \cdot r/100)$ — uwaga, to inny wzór! Procent składany używa potęgowania, nie mnożenia przez $n$.
Procenty i proporcje
Do czego służy: Obliczanie wartości procentowych i rozwiązywanie proporcji — podstawa zadań z życia codziennego (rabaty, podatki, wzrost cen).
Wzory procentowe
- $p\%$ z liczby $W$: $\quad x = \frac{p}{100} \cdot W$
- Jaki procent $x$ stanowi z $W$: $\quad p = \frac{x}{W} \cdot 100\%$
- Całość gdy znamy część i procent: $\quad W = \frac{x}{p} \cdot 100$
- Zmiana procentowa: $\quad \Delta\% = \frac{W_{\text{nowe}} - W_{\text{stare}}}{W_{\text{stare}}} \cdot 100\%$
Proporcja
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ → iloraz krzyżowy: $a \cdot d = b \cdot c$
Jak stosować — krok po kroku
- Zidentyfikuj: co jest „całością" $W$, jaki procent $p$, czego szukasz
- Podnieś procentową zmianę: cena wzrosła o 20% → nowa = $W \cdot 1{,}20$; zniżka 15% → $W \cdot 0{,}85$
- Proporcja: przyrównaj dwa ułamki i skrzyżuj
Przykład
Buty kosztują 250 zł. Jest 30% rabat. Cena po rabacie?
- Rabat: $\frac{30}{100} \cdot 250 = 75$ zł
- Cena po rabacie: $250 - 75 = 175$ zł (lub $250 \cdot 0{,}70 = 175$ zł)
⚠️ Częsty błąd: Wzrost o 20%, a potem spadek o 20% nie wraca do punktu wyjścia! $100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96$, nie 100. Procenty działają na aktualną wartość.
Promień okręgu opisanego na trójkącie
Twierdzenie sinusów: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$. Środek okręgu opisanego (circumcenter) leży na przecięciu symetralnych boków. Dla trójkąta prostokątnego: $R=\frac{c}{2}$ (połowa przeciwprostokątnej).
Promień okręgu wpisanego w trójkąt
$P$ — pole trójkąta, $s$ — połowa obwodu (semiperimeter). Okrąg wpisany dotyka każdego boku od wewnątrz. Środek (incentrum) leży na przecięciu dwusiecznych kątów. Wzór Herona na pole: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
Prosta w przestrzeni — postać parametryczna
Prosta przechodzi przez $P_0(x_0,y_0,z_0)$ z kierunkiem $\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)$. Postać symetryczna: $\frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y}=\frac{z-z_0}{d_z}$. Dwie proste: równoległe gdy $\vec{d_1}\parallel\vec{d_2}$, prostopadłe gdy $\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=0$, skośne gdy się nie przecinają i nie są równoległe.
Przedział ufności dla średniej — znane odchylenie standardowe
Z prawdopodobieństwem $1-\alpha$ wartość oczekiwana $\mu$ leży w $[\bar x-E,\bar x+E]$. Wymaga: $n$ duże lub populacja normalna; $\sigma$ znane. Błąd $E$ maleje jak $1/\sqrt{n}$ — 4× większa próba → 2× mniejszy błąd. Przy nieznanym $\sigma$: zamieniamy $\sigma\to s$ i $z\to t_{n-1,\alpha/2}$ (rozkład t-Studenta).
Przekątna prostopadłościanu i sześcianu
Przekątna prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ wyznaczana z uogólnionego twierdzenia Pitagorasa (3D). Dla sześcianu ($a=b=c$): $d=a\sqrt{3}$. Przekątna ściany $a\times b$: $\sqrt{a^2+b^2}$. Kąt przekątnej z podstawą: $\arctan\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Przekształcenia afiniczne — macierze jednorodne 3×3
Współrzędne jednorodne pozwalają opisać przesunięcie, obrót, skalowanie i ścinanie jako jedno mnożenie macierzy. Kompozycja: iloczyn macierzy. Obrót + przesunięcie: $\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&t_x\\sin\alpha&\cos\alpha&t_y\0&0&1\end{pmatrix}$. Odwrotność: macierz odwrotna. Zastosowanie: grafika 2D/3D, robotyka, wizja maszynowa.
Przesunięcie wykresu funkcji
Wykres $y=f(x-p)+q$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty o $p$ w prawo i $q$ w górę (dla $p,q>0$). Inne transformacje: $y=f(-x)$ — oś $OY$, $y=-f(x)$ — oś $OX$, $y=|f(x)|$ — odbicie części ujemnej, $y=f(|x|)$ — część prawa kopiowana w lewo.
Regresja liniowa — metoda najmniejszych kwadratów
Prosta regresji minimalizuje sumę kwadratów odchyleń pionowych $\sum(y_i-\hat{y}_i)^2$. Prosta zawsze przechodzi przez punkt $(\bar{x},\bar{y})$. Błąd standardowy regresji: $s=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\hat{y}_i)^2}{n-2}}$. Stosowana do prognozowania i modelowania zależności.
Reguła de l'Hôpitala
Stosowana do granic nieoznaczonych $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$. Można stosować wielokrotnie. Inne formy ($0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) należy najpierw przekształcić do postaci ułamkowej. Warunek: $f$ i $g$ różniczkowalne w otoczeniu $a$.
Reguły różniczkowania
Do czego służy: Obliczanie pochodnych złożonych wyrażeń — gdy prosta tablica nie wystarczy.
Cztery reguły
- Suma/różnica: $(f\pm g)'=f'\pm g'$
- Iloczyn (Leibniz): $(fg)'=f'g+fg'$ — „pochodna pierwszej razy druga plus pierwsza razy pochodna drugiej"
- Iloraz: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ — licznik: MINUS (nie plus!)
- Złożona (łańcuchowa): $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — „zewnętrzna' × wewnętrzna'"
Przykłady
- Złożona: $(\sin(3x^2))'=\cos(3x^2)\cdot6x$
- Iloczyn: $(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$
- Iloraz: $\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$
⚠️ Częsty błąd: W ilorazie jest MINUS w liczniku! $f'g\mathbf{-}fg'$, a nie plus. I pamiętaj o mianowniku $g^2$.
Równanie elipsy
Elipsa o półosiach $a$ (większa) i $b$ (mniejsza). Ogniska: $F_1(-c,0)$ i $F_2(c,0)$. Własność ogniskowa: $|PF_1|+|PF_2|=2a$ dla każdego punktu $P$ elipsy. Mimośród: $e=\frac{c}{a}\in(0,1)$. Okrąg to elipsa z $a=b$, $e=0$.
Strona 4 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.