Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Objętość bryły obrotowej z całki
Bryła powstała przez obrót wykresu $y=f(x)\ge0$ wokół osi $OX$ na przedziale $[a,b]$. Obrót wokół $OY$: $V=2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx$ (wzór powłoki cylindrycznej, tw. Pappusa). Wyjątki: walec $\pi r^2 h$, stożek $\frac{1}{3}\pi r^2 h$, kula $\frac{4}{3}\pi r^3$ — wynikają z tej całki.
Objętość graniastosłupa i ostrosłupa
Do czego służy: Obliczanie objętości wszystkich graniastosłupów (prostopadłościan, sześcian, pryzmat) i ostrosłupów (piramidy).
Zmienne
- $P_p$ — pole podstawy (oblicz odpowiednim wzorem)
- $h$ — wysokość bryły (prostopadle od podstawy do wierzchołka/górnej podstawy)
Zasada
Graniastosłup (dwie podstawy) → $P\cdot h$. Ostrosłup (jedna podstawa i wierzchołek) → $\frac{1}{3}P\cdot h$. Stożek to ostrosłup o kołowej podstawie, walec to graniastosłup kołowy.
Specjalne
- Sześcian: $V=a^3$, $S=6a^2$
- Prostopadłościan: $V=abc$, $S=2(ab+bc+ca)$
Przykład
Ostrosłup o kwadratowej podstawie $4\times4$ cm i wysokości 6 cm.
- $P_p=16$ cm²
- $V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot6=32$ cm³
⚠️ Częsty błąd: Ostrosłup zawsze ma $\frac{1}{3}$! Trzy takie ostrosłupy tworzą jeden graniastosłup.
Objętość i pole kuli — zastosowania
Półkula (czaszka): $V=\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{1}{2}V_{\text{kuli}}$. Segment kulowy (odcięty płaszczyzną): $V=\pi h^2(r-h/3)$, gdzie $h$ — wysokość segmentu, $r$ — promień kuli. Pole powierzchni segmentu (czapa): $P=2\pi r h$. Pierścień (torus): $V=2\pi^2 Rr^2$.
Objętość i pole powierzchni kuli
Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni kuli.
Zmienne
- $r$ — promień kuli
Zapamiętaj
- Pole kuli = 4 × pole koła o tym samym promieniu
- Objętość: $r^3$ z czynnikiem $\frac{4}{3}$; Pole: $r^2$ z czynnikiem $4$
Przykład
Kula o średnicy $d=6$ cm. ($r=3$ cm)
- $V=\frac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$ cm³
- $S=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$ cm²
Ciekawostka: Dla tej kuli $V=S$ liczbowo — to wyjątkowy przypadek!
⚠️ Częsty błąd: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ — nie zapomnij $\frac{4}{3}$! Pomylenie z $S=4\pi r^2$ (bez $\frac{4}{3}$) to klasyczny błąd maturalny.
Objętość i pole powierzchni stożka
Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni stożka prostego.
Zmienne
- $r$ — promień podstawy
- $h$ — wysokość (prostopadła od wierzchołka do środka podstawy)
- $l$ — tworząca (bok ukośny): $l=\sqrt{r^2+h^2}$ (Pitagoras!)
Jak stosować
- Jeśli brak $l$: oblicz $l=\sqrt{r^2+h^2}$
- $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$
- $S=\pi r(r+l)$
Przykład
Stożek: $r=4$ cm, $h=3$ cm.
- $l=\sqrt{16+9}=5$ cm
- $V=\frac{1}{3}\pi\cdot16\cdot3=16\pi\approx50{,}3$ cm³
- $S=\pi\cdot4\cdot9=36\pi\approx113{,}1$ cm²
⚠️ Częsty błąd: Mylenie $h$ (wysokość pionowa) z $l$ (tworząca ukośna). Tworząca = Pitagoras z $r$ i $h$!
Objętość i pole powierzchni walca
Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni walca (cylindra).
Zmienne
- $r$ — promień podstawy (gdy podana średnica $d$: $r=d/2$)
- $h$ — wysokość walca
Rozkład pola powierzchni
- Dwie podstawy: $2\pi r^2$
- Płaszcz boczny (prostokąt $2\pi r \times h$): $2\pi rh$
- Całkowita: $S=2\pi r(r+h)$
Przykład
Walec: $r=3$ cm, $h=10$ cm.
- $V=\pi\cdot9\cdot10=90\pi\approx282{,}7$ cm³
- $S=2\pi\cdot3\cdot(3+10)=78\pi\approx245{,}0$ cm²
⚠️ Częsty błąd: Sprawdź czy zadanie podaje promień $r$ czy średnicę $d$ — to najczęstszy błąd przy walcach i kulach.
Obrót układu współrzędnych — macierz obrotu 2D
Obrót układu o kąt $\alpha$ daje nowe współrzędne tego samego punktu w obróconym układzie. Obrót punktu (nie układu): macierz z odwróconym znakiem sinus. Zastosowanie: eliminacja wyrazu $xy$ z równania stożkowej przez obrót o kąt $\cot(2\alpha)=(A-C)/B$ (dla $Ax^2+Bxy+Cy^2+\ldots=0$). Macierz obrotu ortogonalna: $R^{-1}=R^T$.
Obwody figur płaskich
Do czego służy: Obliczanie długości granic figur płaskich — niezbędne przy ogrodzeniach, ramkach, trasach i zadaniach SP/egzamin ósmoklasisty.
Zestawienie wzorów
- Kwadrat: $L = 4a$
- Prostokąt: $L = 2(a+b)$
- Trójkąt: $L = a + b + c$ (suma trzech boków)
- Równoległobok: $L = 2(a+b)$ (jak prostokąt — dwie pary równoległych boków)
- Romb: $L = 4a$
- Trapez: $L = a + b + c + d$ (suma czterech boków)
- Koło: $L = 2\pi r = \pi d$
- Łuk okręgu: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$ (gdzie $\alpha$ — kąt środkowy)
Przykład
Działka prostokątna 30 m × 20 m. Ile metrów siatki?
- $L = 2 \cdot (30 + 20) = 100$ m
⚠️ Częsty błąd: Obwód to suma boków, nie pól! I nie mylić: koło ma obwód $2\pi r$, a pole $\pi r^2$. Pamiętaj $r^2$ to pole, $2r$ to obwód (razy $\pi$).
Odległość dwóch punktów
Do czego służy: Obliczanie odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych.
Zmienne
- $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ — dwa punkty
- $|AB|$ — ich odległość (zawsze $\geq0$)
Skąd pochodzi?
Twierdzenie Pitagorasa: trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $|x_2-x_1|$ i $|y_2-y_1|$.
Kiedy używać?
- Obliczanie długości odcinka z jego końców
- Sprawdzanie czy trójkąt jest równoboczny/równoramienny
- Wyznaczanie promienia okręgu gdy znasz środek i punkt leżący na nim
Przykład
Oblicz $|AB|$ dla $A(2,-1)$, $B(5,3)$.
- $|AB|=\sqrt{(5-2)^2+(3+1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
⚠️ Częsty błąd: Nie zapomnij kwadratu! $\sqrt{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)}\neq|AB|$ — każda różnica musi być podniesiona do potęgi 2.
Odległość punktu od płaszczyzny
Analogia do wzoru 2D (odległość od prostej). Odległość między równoległymi płaszczyznami $Ax+By+Cz+D_1=0$ i $\cdots+D_2=0$: $d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Stosowane w geometrii przestrzennej, grafice 3D i fizyce.
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu $P(x_0,y_0)$ od prostej o równaniu ogólnym $Ax+By+C=0$. Szczególny przypadek: odległość od osi $OX$ wynosi $|y_0|$, od osi $OY$ wynosi $|x_0|$. Używana też do sprawdzenia, czy punkt leży na prostej ($d=0$).
Ostrosłup prawidłowy — pole powierzchni bocznej
$L$ — obwód podstawy ($n$ — liczba boków, $a$ — bok), $h_a$ — apotema boczna (wysokość trójkąta bocznego), $H$ — wysokość ostrosłupa, $r$ — apotema podstawy. Dla piramidy kwadratowej: $P_b=2a\cdot h_a$, gdzie $h_a=\sqrt{H^2+(a/2)^2}$.
Parabola — równanie kanoniczne i ognisko
Parabola: zbiór punktów jednakowo odległych od ogniska i kierownicy. Postać $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-b/2a,\,-\Delta/4a)$, oś symetrii $x=-b/2a$. Ognisko paraboli $y=ax^2$: $F=(0,\,\frac{1}{4a})$, kierownica $y=-\frac{1}{4a}$. Stosowana w antenach satelitarnych (promienie skupiane w ognisku).
Permutacje i wariacje
Do czego służy: Liczenie ile sposobów można ustawić/wybrać elementy, gdy kolejność MA znaczenie.
Trzy sytuacje w kombinatoryce
- Permutacje $P_n = n!$ — ustawiamy wszystkie $n$ elementów w różnej kolejności
Przykład: ile anagramów ma słowo? W ilu kolejnościach stanie 5 uczniów? - Wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$, kolejność ważna
Przykład: ile 3-cyfrowych kodów PIN z 9 różnych cyfr? - Wariacje z powtórzeniami $n^k$ — $k$ wyborów, każdy z $n$ opcji (możliwe powtórzenia)
Przykład: ile 4-cyfrowych kodów PIN (cyfry 0–9, mogą się powtarzać)? → $10^4 = 10\,000$
Jak stosować
- Czy kolejność ma znaczenie? Nie → kombinacje $\binom{n}{k}$. Tak → wariacje lub permutacje
- Czy używamy wszystkich elementów? Tak → permutacje $n!$. Nie → wariacje $V_n^k$
- Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → $n^k$. Nie → $\frac{n!}{(n-k)!}$
Przykład
Ile różnych podium (1., 2., 3.) może zająć 8 zawodników?
- Kolejność ważna, wybieramy 3 z 8, bez powtórzeń: $V_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$
⚠️ Częsty błąd: „Wybieram komitet 3-osobowy" → kombinacje (kolejność nieważna). „Wybieram przewodniczącego, zastępcę i skarbnika" → wariacje (kolejność ważna, różne role).
Pochodna funkcji — definicja
Do czego służy: Definiuje pochodną jako chwilową prędkość zmiany funkcji. Geometrycznie: nachylenie stycznej do wykresu.
Interpretacje
- Geometryczna: $f'(x_0)$ = współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w $(x_0,f(x_0))$
- Fizyczna: droga $s(t)$ → prędkość $v=s'(t)$; prędkość $v(t)$ → przyspieszenie $a=v'(t)$
Równanie stycznej w punkcie $(x_0,f(x_0))$
$y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Kiedy pochodna nie istnieje?
W punktach nieciągłości, w ostrych wierzchołkach (np. $|x|$ w $x=0$) i gdy styczna jest pionowa.
⚠️ Częsty błąd: Pochodna to granica ilorazu różnicowego, nie sam iloraz $f(x)/x$!
Pochodna funkcji odwrotnej
Jeśli $f$ jest różnowartościowa i różniczkowalna, a $f'(x)\ne0$, to $f^{-1}$ jest różniczkowalna i jej pochodna = odwrotność pochodnej $f$ w odpowiednim punkcie. Przykłady: $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (bo $(\sin x)'=\cos x$, $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$).
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Pochodna cząstkowa po $x$: traktujemy $y$ jako stałą i różniczkujemy po $x$. Pochodne mieszane: $f_{xy}=\partial^2f/\partial y\partial x$. Twierdzenie Schwarza: jeśli $f_{xy}$ i $f_{yx}$ ciągłe, to $f_{xy}=f_{yx}$. Reguły (suma, iloczyn, łańcuchowa) obowiązują tak samo jak dla pochodnych zwykłych — przy pozostałych zmiennych traktowanych jako stałe.
Pochodne podstawowych funkcji
Do czego służy: Gotowa tablica pochodnych — zapamiętaj te wzory, żeby szybko różniczkować.
Tablica pochodnych
- $(c)'=0$ (stała)
- $(x^n)'=nx^{n-1}$ np. $(x^4)'=4x^3$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- $(\sin x)'=\cos x$; \quad $(\cos x)'=-\sin x$ (minus!)
- $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$
- $(e^x)'=e^x$ (jedyna funkcja równa swojej pochodnej!)
- $(a^x)'=a^x\ln a$
- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ (dla $x>0$)
- $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
⚠️ Częsty błąd: $(\cos x)'=-\sin x$ — jest MINUS! I $(e^x)'=e^x$ nie $xe^{x-1}$ (to reguła dla potęgowania, nie wykładniczej).
Podstawowe funkcje trygonometryczne (definicja)
Do czego służy: Wyznaczanie boków i kątów trójkąta prostokątnego — fundament całej trygonometrii.
Zmienne (trójkąt prostokątny, kąt $\alpha$)
- $c$ — przeciwprostokątna: bok naprzeciwko kąta prostego, zawsze najdłuższy
- $a$ — przyprostokątna naprzeciwległa do $\alpha$ (po drugiej stronie trójkąta)
- $b$ — przyprostokątna przyległa do $\alpha$ (tworzy kąt $\alpha$ z przeciwprostokątną)
Mnemotechnika SOH–CAH–TOA
- Sin = Opp / Hyp → $\sin\alpha = a/c$
- Cos = Adj / Hyp → $\cos\alpha = b/c$
- Tan = Opp / Adj → $\tan\alpha = a/b = \sin\alpha/\cos\alpha$
Kiedy używać?
Gdy znasz kąt i jeden bok → oblicz drugi. Gdy znasz dwa boki → oblicz kąt używając arcsin/arccos/arctan.
Jak stosować
- Zidentyfikuj kąt $\alpha$, przy którym pracujesz
- Nazwij boki względem tego kąta
- Wybierz wzór zależnie od co znasz i czego szukasz
- Jeśli szukasz kąta: $\alpha = \arcsin(a/c)$, $\arccos(b/c)$ lub $\arctan(a/b)$
Przykład
Trójkąt prostokątny: $\alpha=30°$, przeciwprostokątna $c=10$. Znajdź boki $a$ i $b$.
- $a = c\cdot\sin30° = 10\cdot0{,}5 = 5$
- $b = c\cdot\cos30° = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx8{,}66$
⚠️ Częsty błąd: Mylenie boków — przyległa to ta, która tworzy kąt $\alpha$ razem z przeciwprostokątną. Narysuj trójkąt i zaznacz $\alpha$!
Podstawowe wzory całkowania
Kluczowe wzory: $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$, $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$, $\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$.
Pola figur płaskich
Do czego służy: Obliczanie pól wszystkich podstawowych figur płaskich.
Kompletne zestawienie
- Prostokąt: $P=a\cdot b$
- Kwadrat: $P=a^2$
- Równoległobok: $P=a\cdot h$ (h = wysokość, nie bok ukośny)
- Romb: $P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ lub $P=a^2\sin\alpha$
- Trapez: $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ (a, b = podstawy równoległe)
- Trójkąt równoboczny: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
- Koło: $P=\pi r^2$; obwód: $C=2\pi r$
- Wycinek koła: $P=\frac{\alpha}{360°}\pi r^2$; łuk: $l=\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi r$
Jak liczyć pola złożonych figur
- Podziel figurę na znane kształty
- Oblicz pola części
- Zsumuj lub odejmij (gdy jest wycięcie)
⚠️ Częsty błąd: W równoległoboku i trapezie $h$ to prostopadła odległość między podstawami, nie długość boku ukośnego!
Pole boczne walca i stożka
Pole boczne walca: prostokąt o wymiarach $2\pi r\times h$. Pole boczne stożka: wycinek koła o promieniu $l$ (tworząca) i łuku $2\pi r$. Pola całkowite: walec $2\pi r(r+h)$, stożek $\pi r(r+l)$. Objętości: walec $\pi r^2 h$, stożek $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Pole obszaru z całki oznaczonej
Rzeczywiste pole (nieujemne) obliczamy z wartości bezwzględnej. Gdy $f$ zmienia znak na $[a,b]$, dzielimy przedział w miejscach zerowych i sumujemy wartości bezwzględne całek cząstkowych. Pole między wykresami $f$ i $g$: całkujemy $|f-g|$.
Pole powierzchni bryły obrotowej
Pole boczne bryły powstałej przez obrót $y=f(x)\ge0$ wokół $OX$ na $[a,b]$: element łuku $ds=\sqrt{1+(f')^2}\,dx$, obwód okręgu $2\pi f(x)$. Dla parametrycznej $(x(t),y(t))$: $S=2\pi\int y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$. Przykład: kula — obrót półokręgu $y=\sqrt{r^2-x^2}$: $S=4\pi r^2$.
Strona 3 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.