Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Gradient funkcji skalarnej i pochodna kierunkowa
Gradient $\nabla f$ wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji; jego moduł to tempo wzrostu. Pochodna kierunkowa $D_{\hat u}f$: przyrost funkcji wzdłuż jednostkowego wektora $\hat u$. Maksymalna, gdy $\hat u\parallel\nabla f$ ($\theta=0$). Gradient prostopadły do linii poziomu $f=c$. Zastosowanie: metoda gradientu prostego (optymalizacja numeryczna).
Graniastosłup pochyły — objętość i przekrój prostopadły
Objętość graniastosłupa pochyłego: $V=P_\perp\cdot l$ (przekrój prostopadły × długość krawędzi bocznej) lub $V=P_\text{podst}\cdot h$ (pole podstawy × wysokość). Dla prostego: $P_\perp=P_\text{podst}$. Analogia: walec pochyły — $V=\pi r^2 h$ (bez względu na pochylenie). Pole boczne: $S_\text{boczna}=P_\text{podst,trapezu}\cdot l$ (obwód podstawy × krawędź boczna nie działa dla pochyłego — tylko $P_\perp\cdot$ obwód $P_\perp$).
Granica ciągu — definicja Cauchy'ego
Ciąg $(a_n)$ ma granicę $g$, gdy od pewnego miejsca $N$ wszystkie wyrazy leżą w dowolnie małym otoczeniu $g$. Twierdzenia: granica sumy/iloczynu = suma/iloczyn granic. Ciąg zbieżny jest ograniczony (ale nie odwrotnie).
Granica funkcji — definicja Heinego
Heine: granica $f$ w punkcie $a$ wynosi $L$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\ne a$) mamy $f(x_n)\to L$. Zastosowanie: wykazywanie braku granicy — wystarczy znaleźć dwa ciągi dające różne limesy.
Granica jednostronna
Granica prawostronna ($x\to a^+$): $x$ zbliża się do $a$ z prawej. Lewostronna ($x\to a^-$): z lewej. Granica (właściwa) istnieje $\Leftrightarrow$ obie granice jednostronne są równe: $L^+=L^-$. Stosowane dla funkcji z definicją na przedziałach (np. $|x|/x$) oraz przy badaniu ciągłości.
Granica ważna: lim sin(x)/x
Podstawowe granice stosowane przy wyznaczaniu granic funkcji trygonometrycznych. Konsekwencje: $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$. Wymagane przy obliczaniu pochodnej sinusa z definicji.
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczyn skalarny (dot product) to liczba rzeczywista. Wektory prostopadłe: $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Kąt między wektorami: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. W 3D: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z$. Rzut $\vec{u}$ na $\vec{v}$: $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}$.
Iloczyn wektorowy w 3D
Wynik jest wektorem prostopadłym do obu czynników (reguła prawej ręki). Moduł = pole równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Własności: antyprzemienność $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$, $\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}$. Stosowany do wyznaczania normalnej do płaszczyzny.
Jedynka trygonometryczna
Do czego służy: Gdy znasz sinus — wyznaczasz cosinus (i odwrotnie). Najważniejsza tożsamość trygonometryczna, fundament obliczeń.
Skąd pochodzi?
Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$, dzielone przez $c^2$ daje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Wzory pochodne
- $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$ i $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$
- Dziel przez $\cos^2\alpha$: $\tan^2\alpha+1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
- Dziel przez $\sin^2\alpha$: $1+\cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Jak stosować — krok po kroku
- Masz $\sin\alpha$ → $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$ → $|\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$
- Ustal znak: I ćwiartka: oba dodatnie; II: sin+, cos−; III: oba−; IV: sin−, cos+
Przykład
Kąt $\alpha$ jest rozwarty ($90°<\alpha<180°$). $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. Oblicz $\cos\alpha$.
- $\cos^2\alpha = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
- Kąt rozwarty → II ćwiartka → cosinus ujemny: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$
⚠️ Częsty błąd: Zawsze wybierz właściwy znak! Sama jedynka daje $\pm$, a ćwiartka kąta decyduje o znaku.
Kąt dwuścienny i kąt między prostą a płaszczyzną
Kąt między płaszczyznami: mierzony między ich wektorami normalnymi $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$ (lub dopełnienie do $90°$). Kąt między prostą (kierunek $\vec{d}$) a płaszczyzną: $\varphi=90°$ minus kąt między prostą a normalną. Wyznaczamy przez rzutowanie prostej na płaszczyznę.
Kąt między prostymi
$m_1$, $m_2$ — współczynniki kierunkowe prostych. Proste prostopadłe: $m_1\cdot m_2=-1$ (lub jedna jest pionowa). Proste równoległe: $m_1=m_2$. Wzór nie działa dla prostych pionowych ($m\to\infty$) — wtedy kąt między nimi wynosi $0°$ lub $90°$.
Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty — twierdzenie Talesa o okręgu.
Kombinacje (n po k)
Do czego służy: Liczenie ile sposobów można wybrać $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE MA znaczenia.
Kiedy kombinacje, kiedy co innego?
- Kombinacje $\binom{n}{k}$: kolejność nieważna → wybierasz grupę (drużyna, zestaw kart)
- Permutacje $P_n=n!$: kolejność ważna → ustawiasz wszystkie elementy
- Wariacje $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$: kolejność ważna → wybierasz $k$ z $n$
Własności
- $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; \quad $\binom{n}{1}=n$
- $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (symetria — wybieranie 3 z 10 = zostawianie 7 z 10)
Przykład
Ile 5-elementowych zestawów można wybrać z 49 liczb (lotto)?
- $\binom{49}{5}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45}{5!}=\frac{228\,614\,040}{120}=1\,906\,884$
⚠️ Częsty błąd: „Wybieramy grupę/komitet/zestaw" → kombinacje. „Ustawiamy w kolejności/kolejka/kod PIN" → wariacje lub permutacje.
Kowariancja i macierz kowariancji
Kowariancja mierzy kierunek liniowego związku. $\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$. Macierz kowariancji $\Sigma$: symetryczna, dodatnio półokreślona; $\Sigma_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)$. Macierz korelacji: $\rho_{ij}=\Sigma_{ij}/(\sigma_i\sigma_j)$. Zastosowanie: analiza głównych składowych (PCA), portfele Markowitza, regresja wieloraka.
Kryterium całkowe zbieżności szeregu
Dla $f$ nieujemnej i nierosnącej: szereg i całka zbiegają lub rozbiegają jednocześnie. Przykłady: $\sum 1/n$ — $\int_1^\infty dx/x=\infty$ — rozbieżny (szereg harmoniczny). $\sum 1/n^2$ — $\int_1^\infty dx/x^2=1$ — zbieżny. Ogólnie: $\sum 1/n^p$ zbiega $\Leftrightarrow p>1$. Kryterium nie daje wartości sumy, tylko informację o zbieżności.
Kryterium ilorazowe d'Alemberta (zbieżność szeregów)
Dla $L=1$ kryterium nie rozstrzyga — trzeba użyć innej metody. Stosowane dla szeregów z silniami i potęgami: $\sum\frac{x^n}{n!}$, $\sum n^k q^n$. Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe): $\lim\sqrt[n]{|a_n|}<1\Rightarrow$ zbieżny.
Kryterium porównawcze szeregów liczbowych
Kryterium graniczne: jeśli $\lim a_n/b_n=L\in(0,\infty)$, to oba szeregi zachowują się tak samo (oba zbieżne lub oba rozbieżne). Strategia: dla $\sum a_n$ szukamy prostszego $\sum b_n$ o znanych własnościach (geometryczny, $\sum 1/n^p$). Przykład: $\sum 1/(n^2+1)$ — porównanie z $\sum 1/n^2$, iloraz $\to 1$ — zbieżny.
Krzywa parametryczna — styczna i krzywizna
Nachylenie stycznej: $dy/dx=\dot y/\dot x$. Krzywizna $\kappa=1/R$ (odwrotność promienia krzywizny). Prędkość chwilowa $v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$. Przykład: okrąg $(r\cos t,r\sin t)$: $\kappa=1/r$ (stała). Dla wykresu $y=f(x)$: $\kappa=|f''|/(1+f'^2)^{3/2}$. Punkt przegięcia: $\kappa=0$ lub $\kappa$ zmienia znak.
Liczba Eulera e
Liczba $e$ jest podstawą logarytmu naturalnego i funkcji $e^x$. Jedyna funkcja będąca swoją własną pochodną: $\frac{d}{dx}e^x=e^x$. Tożsamość Eulera: $e^{i\pi}+1=0$. $\ln e=1$. Ważny limit: $\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$.
Linia środkowa trójkąta i trapezu
Linia środkowa trójkąta łączy środki dwóch boków; jest równoległa do podstawy i stanowi jej połowę. Linia środkowa trapezu łączy środki ramion; jest równoległa do podstaw i równa ich średniej arytmetycznej $\frac{a+b}{2}$.
Mediana i dominanta (moda)
Mediana: wartość środkowa po posortowaniu. Dla parzystego $n$: średnia dwóch środkowych. Odporna na wartości odstające (outliers), lepiej niż średnia opisuje asymetryczne dane. Dominanta (moda): wartość najczęściej występująca. Relacja: skośność prawostronna $\Rightarrow$ $Mo<Me<\bar{x}$.
Monotoniczność i ekstrema funkcji
Do czego służy: Badanie gdzie funkcja rośnie/maleje i gdzie ma ekstrema lokalne (minimum, maksimum).
Schemat badania ekstremów — krok po kroku
- Oblicz pochodną $f'(x)$
- Rozwiąż $f'(x)=0$ → znajdź punkty krytyczne
- Badaj znak $f'(x)$ na przedziałach między punktami krytycznymi
- $f'$ zmienia $+\to-$: maksimum lokalne; $-\to+$: minimum lokalne; bez zmiany → punkt przegięcia (nie ekstremum)
Alternatywnie — druga pochodna
- $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)>0$ → minimum lokalne
- $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)<0$ → maksimum lokalne
Przykład
Ekstrema $f(x)=x^3-3x+2$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=\pm1$
- Przedziały: $(-\infty,-1)$: $f'>0$ ↗; $(-1,1)$: $f'<0$ ↘; $(1,\infty)$: $f'>0$ ↗
- $x=-1$: max ($f(-1)=4$); $x=1$: min ($f(1)=0$)
⚠️ Częsty błąd: $f'(x_0)=0$ to warunek konieczny, nie wystarczający! Np. $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale $x=0$ to punkt przegięcia, nie ekstremum.
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Do czego służy: Znalezienie dowolnego wyrazu ciągu, w którym między kolejnymi wyrazami jest stała różnica $r$.
Zmienne
- $a_n$ — szukany $n$-ty wyraz
- $a_1$ — pierwszy wyraz ciągu
- $n$ — numer szukanego wyrazu (naturalna $\geq1$)
- $r$ — różnica ciągu: $r = a_2-a_1 = a_3-a_2 = \ldots$ (stała!)
Kiedy używać?
Gdy dane są co najmniej dwa kolejne wyrazy (lub pierwszy wyraz i różnica), a szukasz konkretnego wyrazu. Rozpoznasz ciąg arytmetyczny gdy różnice sąsiednich wyrazów są równe.
Jak stosować
- Wyznacz $r$: odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni
- Znajdź $a_1$ (albo masz go wprost, albo cofnij się od podanego wyrazu)
- Podstaw: $a_n = a_1 + (n-1)\cdot r$
Przykład
Ciąg arytmetyczny: 3, 7, 11, 15, … Znajdź 20. wyraz.
- $a_1=3$, $r = 7-3 = 4$
- $a_{20} = 3 + (20-1)\cdot 4 = 3 + 76 = 79$
⚠️ Częsty błąd: W nawiasie jest $(n-1)$, nie $n$! Dla pierwszego wyrazu: $(1-1)\cdot r = 0$, więc $a_1=a_1\checkmark$.
n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Do czego służy: Znalezienie dowolnego wyrazu ciągu, w którym każdy wyraz jest $q$ razy większy od poprzedniego.
Zmienne
- $a_n$ — szukany $n$-ty wyraz
- $a_1$ — pierwszy wyraz (≠ 0)
- $q$ — iloraz ciągu: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$ (stały, ≠ 0)
- $n$ — numer wyrazu
Jak odróżnić od arytmetycznego?
Arytmetyczny: różnica $a_{n+1}-a_n$ jest stała → dodajesz/odejmujesz. Geometryczny: iloraz $a_{n+1}/a_n$ jest stały → mnożysz/dzielisz.
Przykład
Ciąg: 2, 6, 18, 54, … Który wyraz równa się 1458?
- $a_1=2$, $q=3$
- $a_n = 2\cdot 3^{n-1} = 1458 \Rightarrow 3^{n-1} = 729 = 3^6 \Rightarrow n-1=6 \Rightarrow n=7$
Odpowiedź: 7. wyraz.
⚠️ Częsty błąd: Wykładnik to $(n-1)$! Dla 1. wyrazu: $a_1\cdot q^0 = a_1$. Sprawdź: $a_2 = a_1\cdot q^1 = a_1\cdot q\checkmark$.
Strona 2 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.