Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Objętość graniastosłupa i ostrosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: zestawia wzory na objętość graniastosłupa i ostrosłupa.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $H$ to wysokość; ostrosłup ma objętość trzy razy mniejszą niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Przykład: dla $P_p=9$, $H=4$: graniastosłup $36$, ostrosłup $12$.
Ciąg geometryczny — wzór ogólny i suma
Co robi: opisuje ciąg o stałym ilorazie kolejnych wyrazów — model procentu składanego i wzrostu wykładniczego.
Elementy: $a_1$ — pierwszy wyraz, $q$ — iloraz ($q\ne 0$), $n$ — numer wyrazu. Dla $q=1$ ciąg jest stały i $S_n=na_1$. Ostatni wzór to własność średniej geometrycznej.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot 3^4=162$, $S_5=2\cdot\frac{1-243}{1-3}=2\cdot 121=242$.
Pułapka: wzór na sumę nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek zawsze rozpatruj osobno, zwłaszcza w zadaniach z parametrem.
Drzewo stochastyczne
Co robi: porządkuje doświadczenia wieloetapowe — pozwala policzyć prawdopodobieństwo bez wypisywania całej przestrzeni zdarzeń.
Elementy: $p_i$ — prawdopodobieństwa na kolejnych krawędziach jednej ścieżki. Wzdłuż gałęzi mnożymy, a wyniki różnych gałęzi dodajemy. Prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła zawsze sumują się do $1$.
Przykład: w urnie $3$ białe i $2$ czarne kule, losujemy dwie bez zwracania. Prawdopodobieństwo dwóch białych: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$.
Pułapka: przy losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwa na drugim poziomie się zmieniają (maleje i liczba kul danego koloru, i liczba wszystkich). Przy losowaniu ze zwracaniem pozostają takie same.
Funkcja liniowa — postać kierunkowa (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje prostą; $a$ to współczynnik kierunkowy, $b$ wyraz wolny.
Powiązane: równoległość $a_1=a_2$, prostopadłość $a_1 a_2=-1$.
Kombinatoryka — podstawowe wzory (klasa 4 LO)
Co robi: zbiera wzory na permutacje i kombinacje.
Elementy: wariacje bez powtórzeń: $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Rozpoznawanie czworokątów wpisanych i opisanych — przypadki szczególne
Co robi: pozwala od razu rozstrzygnąć, który okrąg istnieje dla typowego czworokąta, bez sprawdzania warunków ogólnych.
Skąd te wnioski: w prostokącie wszystkie kąty mają $90^\circ$, więc przeciwległe zawsze sumują się do $180^\circ$. W rombie wszystkie boki są równe, więc warunek $a+c=b+d$ zachodzi automatycznie. Kwadrat spełnia oba naraz.
Promienie w kwadracie o boku $a$: $R=\frac{a\sqrt2}{2}$ (średnicą jest przekątna) oraz $r=\frac{a}{2}$ (średnicą jest bok), a więc $\frac{R}{r}=\sqrt2$.
Trapez równoramienny: okrąg opisać można zawsze, ale wpisać tylko gdy suma podstaw równa się sumie ramion. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ warunek spełnia, bo $4+10=7+7$.
Pułapka: te dwa warunki są od siebie niezależne. Prostokąt niebędący kwadratem ma okrąg opisany, ale nie wpisany; romb niebędący kwadratem — odwrotnie. Sama równoramienność czy „regularny wygląd” figury niczego nie przesądza.
Warunki wpisania i opisania okręgu na czworokącie
Co robi: podaje kryteria, kiedy na czworokącie da się opisać okrąg i kiedy da się w niego okrąg wpisać.
Elementy: na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$; można wpisać okrąg, gdy sumy przeciwległych boków są równe (twierdzenie Pitota).
Przykład: w każdym prostokącie kąty przeciwległe dają $90^\circ+90^\circ=180^\circ$ — okrąg opisany zawsze istnieje. Ale okrąg wpisany tylko wtedy, gdy $a+c=b+d$, czyli gdy to kwadrat.
Pułapka: te dwa warunki są niezależne. Czworokąt może mieć okrąg opisany i nie mieć wpisanego (prostokąt niebędący kwadratem) — i odwrotnie (romb niebędący kwadratem).
Planimetria — kąt wpisany (klasa 1 LO)
Co robi: kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Definicja pochodnej i pochodne funkcji elementarnych
Co robi: mierzy chwilowe tempo zmian funkcji; geometrycznie — współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie.
Elementy: $f'(x_0)$ — pochodna w punkcie, $h$ — przyrost argumentu. Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Przykład: $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, więc w $x_0=2$ styczna ma nachylenie $12$, a jej równanie to $y=12(x-2)+8=12x-16$.
Pułapka: $(x^n)'=nx^{n-1}$ działa też dla wykładników ujemnych i ułamkowych: $\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Pochodna stałej to zero.
Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym
Co robi: rozszerza pojęcie potęgi na wykładniki ujemne i ułamkowe, dzięki czemu pierwiastki można zapisać jako potęgi i stosować do nich zwykłe prawa działań.
Elementy: $a>0$ dla wykładnika wymiernego, $q\in\mathbb{N}_+$. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, mianownik wykładnika — stopień pierwiastka.
Przykład: $2^{-3}=\frac{1}{8}$; $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$; $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$.
Pułapka: ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku — $2^{-3}$ to $\frac{1}{8}$, a nie $-8$. Odwrotność ułamka w potędze ujemnej to szybki skrót: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$.
Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej (klasa 2 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=\log_a x$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: asymptota pionowa przesuwa się do $x=p$.
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor (klasa 3 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: $p$ poziomo, $q$ pionowo.
Przykład: $y=(x-2)^2+3$ to $y=x^2$ przesunięte o $[2,3]$.
Warunki na pierwiastki równania kwadratowego z parametrem
Co robi: zbiera warunki używane w zadaniach z parametrem — na liczbę pierwiastków i na ich znaki.
Elementy: $\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków. O znakach mówią wzory Viète’a: suma $\frac{-b}{a}$ i iloczyn $\frac{c}{a}$.
Zestawienie znaków: oba pierwiastki dodatnie gdy $\Delta\ge0$, suma $>0$ i iloczyn $>0$; oba ujemne gdy suma $<0$ i iloczyn $>0$; różnych znaków gdy iloczyn $<0$ (wtedy delta jest dodatnia automatycznie).
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m<-4$ lub $m>4$.
Pułapka: najpierw sprawdź, czy równanie w ogóle jest kwadratowe (współczynnik przy $x^2$ różny od zera), a warunki łącz w koniunkcję — rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie ostatni otrzymany przedział.
Znaki pierwiastków równania kwadratowego
Co robi: pozwala określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich obliczania — na podstawie sumy, iloczynu i wyróżnika.
Elementy: $x_1$, $x_2$ to pierwiastki, $\Delta$ — wyróżnik gwarantujący ich istnienie.
Reguły:
dwa dodatnie: $\Delta\ge0$, $x_1+x_2>0$, $x_1 x_2>0$;
dwa ujemne: $\Delta\ge0$, $x_1+x_2<0$, $x_1 x_2>0$;
różnych znaków: $x_1 x_2<0$ (wyróżnik jest wtedy dodatni automatycznie).
Przykład: w $x^2-mx+4=0$ dwa dodatnie pierwiastki wymagają $m>4$ (z wyróżnika i dodatniej sumy; iloczyn $4>0$ spełniony zawsze).
Pułapka: same znaki sumy i iloczynu nie gwarantują istnienia pierwiastków — dla dwóch pierwiastków tego samego znaku trzeba osobno sprawdzić $\Delta\ge0$.
Układ równań drugiego stopnia (klasa 3 LO)
Co robi: układ rozwiązujemy metodą podstawiania, sprowadzając do równania kwadratowego.
Interpretacja: rozwiązania to punkty przecięcia paraboli i prostej.
Wzory skróconego mnożenia — kwadraty i różnica kwadratów
Co robi: pozwala szybko rozwijać nawiasy, a czytany od prawej do lewej — rozkładać wyrażenia na czynniki.
Elementy: $a$, $b$ to dowolne wyrażenia — liczby, litery lub całe jednomiany.
Przykłady rozwijania: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ oraz $(2x-5)^2=4x^2-20x+25$.
Przykłady rozkładu: $x^2-49=(x-7)(x+7)$ oraz $x^2-10x+25=(x-5)^2$.
Sprytne rachunki: $102^2=10\,000+400+4=10\,404$, $97\cdot103=10\,000-9=9991$, $51\cdot49=2500-1=2499$.
Przydatne przekształcenie: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. Znając $a+b=7$ i $ab=10$, dostajemy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb.
Pułapka: $(a+b)^2\neq a^2+b^2$ — brakuje wyrazu $2ab$. I pamiętaj, że do kwadratu podnosimy cały jednomian: $(2x)^2=4x^2$, nie $2x^2$.
Wzory skróconego mnożenia — pełny zestaw
Co robi: pozwala szybko rozwinąć potęgę sumy i rozłożyć wyrażenie na czynniki bez mnożenia nawiasów.
Elementy: $a$, $b$ — dowolne wyrażenia. W rozkładzie sumy/różnicy sześcianów drugi nawias ma znak przeciwny do pierwszego przy wyrazie $ab$ (stąd $\mp$).
Przykład: $(x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27$; $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$; $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$.
Pułapka: $a^2+b^2$ nie rozkłada się nad liczbami rzeczywistymi, ale $a^3+b^3$ już tak — łatwo je pomylić. Trójmian $a^2-ab+b^2$ w drugim nawiasie ma ujemny wyróżnik, więc dalej się nie rozkłada.
Bryły wpisane i opisane — promienie kul
Co robi: podaje promienie kul związanych z sześcianem i pokazuje, skąd się biorą — ta sama metoda działa dla innych brył.
Skąd te wzory: kula opisana przechodzi przez wszystkie wierzchołki, więc jej średnica to przekątna sześcianu ($a\sqrt3$). Kula wpisana dotyka ścian, więc jej średnica równa się krawędzi.
Zadanie odwrotne: sześcian wpisany w kulę o promieniu $R$ ma krawędź $a=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2R\sqrt3}{3}$.
Przekroje osiowe: walca — prostokąt $2r$ na $H$; stożka — trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i wysokości $H$. W obu wypadkach podstawą jest średnica, nie promień.
Przekrój kuli płaszczyzną odległą o $d$ od środka to koło o promieniu $\rho=\sqrt{R^2-d^2}$. Dla $R=5$ i $d=3$ wychodzi $\rho=4$.
Twierdzenie Archimedesa: kula wpisana w walec ma dokładnie $\frac23$ jego objętości. Archimedes uznał to za swoje najlepsze odkrycie i kazał wyryć na nagrobku.
Kula wpisana w sześcian zajmuje $\frac{\pi}{6}\approx52{,}4\%$ jego objętości — niezależnie od rozmiaru krawędzi.
Pułapka: mylenie kuli wpisanej z opisaną. Wpisana jest zawsze mniejsza — dotyka ścian od środka; opisana obejmuje całą bryłę, sięgając wierzchołków.
Suma ciągu geometrycznego (klasa 3 LO)
Co robi: sumuje $n$ wyrazów ciągu geometrycznego.
Elementy: $q$ to iloraz; dla $q=1$ suma to $n\cdot a_1$.
Przykład: $1+2+4+8=1\cdot\frac{1-2^4}{1-2}=15$.
Dziedzina wyrażenia — warunki
Co robi: zbiera trzy warunki, od których zaczyna się rozwiązywanie niemal każdego zadania z funkcją wymierną, pierwiastkiem lub logarytmem.
Elementy: mianownik nie może być zerem; wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne; argument logarytmu musi być dodatni (a podstawa dodatnia i różna od $1$).
Przykład: dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x^2-9\ne0$, czyli $x\ne3$ i $x\ne-3$. Dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$.
Kolejność pracy: najpierw wyznacz dziedzinę, potem rozwiąż, na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Pułapka: gdy warunków jest kilka, bierzemy ich część wspólną. Pominięcie dziedziny w równaniach logarytmicznych i wymiernych to najczęstsza przyczyna utraty punktów — formalnie otrzymane rozwiązanie bywa nieprawidłowe.
Wierzchołek paraboli (klasa 2 LO)
Co robi: wyznacza współrzędne wierzchołka $(p,q)$ paraboli.
Elementy: $\Delta=b^2-4ac$; $q$ to wartość ekstremalna funkcji.
Przykład: dla $y=x^2-4x+3$: $p=2$, $q=-1$.
Amplituda funkcji trygonometrycznej (klasa 3 LO)
Co robi: współczynnik $a$ rozciąga wykres pionowo (amplituda $|a|$).
Elementy: dla $|a|>1$ wykres rozciągnięty, dla $0<|a|<1$ ściśnięty; $a<0$ odbija względem $OX$.
Równość wielomianów (klasa 2 LO)
Co robi: dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach.
Zastosowanie: metoda współczynników nieoznaczonych.
Statystyka — średnia i odchylenie (klasa 4 LO)
Co robi: zestawia miarę położenia (średnia) i rozrzutu (odchylenie).
Powiązane: mediana i dominanta jako inne miary położenia.
Strona 21 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.