Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Logarytm — reguły działań i zmiana podstawy
Co robi: pozwala rozbijać i łączyć logarytmy oraz przeliczać je na inną podstawę.
Elementy: $a,b,c>0$ i różne od $1$, $x,y>0$. Logarytm iloczynu to suma, ilorazu — różnica, potęgi — mnożnik.
Wartości szczególne: $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$.
Przykład: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$; $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32$.
Wniosek ze zmiany podstawy: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Pułapka: $\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Współczynnik kierunkowy a tangens (klasa 2 LO)
Co robi: współczynnik kierunkowy prostej równa się tangensowi kąta nachylenia do osi $OX$.
Przykład: dla $\alpha=45^\circ$: $a=\operatorname{tg}45^\circ=1$.
Wyłączanie wspólnego czynnika (klasa 1 LO)
Co robi: wyłącza wspólny czynnik przed nawias.
Przykład: $6x^2+9x=3x(2x+3)$.
Wzajemne położenie dwóch okręgów (klasa 3 LO)
Co robi: warunek na przecinanie się dwóch okręgów w dwóch punktach.
Elementy: $d$ to odległość środków; $d=R+r$ — styczność zewnętrzna, $d=|R-r|$ — wewnętrzna.
Objętość bryły — zadania (klasa 8 SP)
Co robi: podaje objętość graniastosłupa w zadaniach.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $H$ to wysokość.
Przykład: dla $P_p=10$ i $H=6$ objętość wynosi $60$.
Suma kątów czworokąta (klasa 2 LO)
Co robi: podaje sumę miar kątów wewnętrznych czworokąta.
Elementy: w czworokącie wypukłym każdy kąt jest mniejszy niż $180^\circ$.
Działania na pierwiastkach (klasa 7 SP)
Co robi: pozwala mnożyć, dzielić i upraszczać pierwiastki.
Elementy: wymagamy $a,b\ge0$ oraz $b\neq0$ przy dzieleniu.
Przykład: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$.
Pułapka: pierwiastka sumy nie rozkładamy — $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Funkcja liniowa (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje zależność o stałym tempie zmian.
Elementy: $a$ to współczynnik kierunkowy (tempo), $b$ to wyraz wolny (wartość początkowa).
Przykład: koszt $y=3x+10$: opłata stała $10$ i $3$ zł za sztukę.
Funkcja logarytmiczna — własności
Co robi: jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$.
Elementy: dziedzina to tylko liczby dodatnie, zbiór wartości — całe $\mathbb{R}$. Dla $a>1$ rosnąca, dla $0 Przykład: $\log_2 x$ przechodzi przez $(1,0)$, $(2,1)$, $(8,3)$, a dla $x\to 0^+$ dąży do $-\infty$. Pułapka: w równaniach logarytmicznych zawsze wyznacz dziedzinę na początku. Równanie $\log(x-1)+\log(x-3)=\log 8$ wymaga $x>3$, co eliminuje jedno z formalnie otrzymanych rozwiązań.
Kula — pole powierzchni i objętość
Co robi: oblicza objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu $r$.
Elementy: $r$ — promień. Przekrój kuli płaszczyzną jest zawsze kołem; przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a przekrój w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Przykład: $r=3$: $V=\frac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi$, $P=4\pi\cdot 9=36\pi$.
Pułapka: w objętości promień jest w trzeciej potędze, w polu w drugiej. Podwojenie promienia zwiększa pole 4-krotnie, a objętość 8-krotnie.
Pole trójkąta — wzory zaawansowane
Co robi: podaje cztery wzory na pole trójkąta, dobierane zależnie od tego, jakie dane mamy w zadaniu.
Elementy: $\gamma$ — kąt między bokami $a$ i $b$; $s$ — połowa obwodu (wzór Herona); $R$ — promień okręgu opisanego; $r$ — promień wpisanego.
Przykład: $a=6$, $b=8$, $\gamma=30^\circ$: $P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\frac{1}{2}=12$. Dla boków $3,4,5$ Heronem: $s=6$, $P=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6$.
Pułapka: we wzorze $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Użycie kąta przy innym boku daje błędny wynik.
Przekształcenia wykresu funkcji
Co robi: pozwala narysować wykres skomplikowanej funkcji, wychodząc od wykresu podstawowego i wykonując kolejne przekształcenia.
Elementy: $p$ — przesunięcie poziome, $q$ — pionowe. Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
Przykład: $y=(x-3)^2+2$ to parabola $y=x^2$ przesunięta o $3$ w prawo i $2$ w górę — wierzchołek w $(3,2)$.
Pułapka: w $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o 3, a nie w lewo. Przy $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to w górę o 2.
Równanie wielomianowe (klasa 2 LO)
Co robi: rozwiązania to pierwiastki wielomianu, znajdowane z postaci iloczynowej.
Przykład: $x^3-x=0\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$, $x\in\{-1,0,1\}$.
Równania i nierówności wymierne — dziedzina i metoda
Co robi: sprowadza równanie wymierne do wielomianowego, a nierówność wymierną — do iloczynowej (bo iloraz i iloczyn mają ten sam znak).
Elementy: $P$, $Q$ — wielomiany. Najpierw wyznaczamy dziedzinę ($Q(x)\ne 0$), potem rozwiązujemy, na końcu odrzucamy rozwiązania spoza dziedziny.
Przykład: $\frac{x-1}{x+2}>0$ zamieniamy na $(x-1)(x+2)>0$, skąd $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$ — zgodne z dziedziną $x\ne -2$.
Pułapka: nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika.
Równanie wymierne — dziedzina i metoda
Co robi: podaje warunek, kiedy ułamek algebraiczny jest zerem, i porządkuje rozwiązywanie równań z niewiadomą w mianowniku.
Elementy: $W(x)$ to licznik, $M(x)$ mianownik. O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik; mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Kolejność kroków: wyznacz dziedzinę, sprowadź do wspólnego mianownika lub pomnóż stronami, rozwiąż równanie wielomianowe, a na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Przykład: $\frac{x+2}{x-1}=2$ przy założeniu $x\neq1$ daje $x+2=2x-2$, czyli $x=4$ — wynik należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Przykład bez rozwiązań: $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $3=-2$ — sprzeczność.
Pułapka: mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce. Po skróceniu ułamka założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale tylko dla $x\neq-2$.
Wzór Bernoulliego
Co robi: podaje prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ niezależnych próbach o stałym prawdopodobieństwie sukcesu.
Elementy: $n$ to liczba prób, $k$ — liczba sukcesów, $p$ — prawdopodobieństwo sukcesu, $q=1-p$ — porażki. Symbol $\binom{n}{k}$ zlicza rozmieszczenia sukcesów.
Przykład: dokładnie $2$ orły w $4$ rzutach monetą: $\binom{4}{2}\left(\tfrac12\right)^4=\tfrac{6}{16}=\tfrac38$.
Suma wszystkich przypadków: $\sum_{k=0}^{n}P_n(k)=(p+q)^n=1$ — to dwumian Newtona.
Pułapka: wzór wymaga niezależności prób i stałego $p$. Przy pytaniu „co najmniej jeden” liczymy przez dopełnienie: $1-P_n(0)$.
Objętość kuli (klasa 4 LO)
Co robi: podaje objętość i pole powierzchni kuli.
Powiązane: walec $V=\pi r^2 H$, stożek $V=\frac{1}{3}\pi r^2 H$.
Ciąg arytmetyczny — wyraz ogólny i suma
Co robi: wyznacza dowolny wyraz ciągu o stałej różnicy oraz sumę jego początkowych wyrazów.
Elementy: $a_1$ to pierwszy wyraz, $r$ — różnica, $n$ — numer wyrazu, $S_n$ — suma $n$ początkowych wyrazów.
Skąd wzór na sumę: parujemy pierwszy wyraz z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej — każda para daje tę samą sumę $a_1+a_n$. Wzór to więc liczba wyrazów razy ich średnia.
Przykłady: $1+2+\dots+100=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$. Suma $n$ początkowych liczb nieparzystych wynosi $n^2$.
Własność wyrazu środkowego: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Wyrazy równo oddalone od danego sumują się do jego podwojonej wartości.
Wskazówka: trzy kolejne wyrazy warto zapisać jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$ i różnica znika z równania.
Pułapka: we wzorze na wyraz ogólny jest $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta (klasa 1 LO)
Co robi: dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków przyległych.
Elementy: $D$ to punkt przecięcia dwusiecznej z bokiem $AB$.
Własność Darboux (klasa 3 LO)
Co robi: funkcja ciągła zmieniająca znak na końcach przedziału ma wewnątrz miejsce zerowe.
Zastosowanie: uzasadnianie istnienia rozwiązań równań.
Okres funkcji tangens i cotangens (klasa 3 LO)
Co robi: podaje okres podstawowy tangensa i cotangensa.
Elementy: tangens ma asymptoty pionowe co $\pi$ (w $\frac{\pi}{2}+k\pi$).
Wzajemne położenie okręgu i prostej (klasa 3 LO)
Co robi: rozstrzyga położenie prostej względem okręgu przez odległość $d$ środka od prostej.
Elementy: $d
Wzory Viete
Co robi: wiąże pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami — pozwala badać je bez obliczania.
Elementy: $a$, $b$, $c$ to współczynniki równania $ax^2+bx+c=0$, a $x_1$, $x_2$ jego pierwiastki. Wzory działają tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją, czyli przy $\Delta\ge0$.
Przykład: dla $x^2-7x+10=0$ suma pierwiastków to $7$, a iloczyn $10$ — i rzeczywiście pierwiastkami są $2$ i $5$.
Badanie znaków pierwiastków: oba dodatnie wymagają $\Delta>0$, sumy dodatniej i iloczynu dodatniego; oba ujemne — sumy ujemnej i iloczynu dodatniego; różnych znaków — wystarczy iloczyn ujemny.
Przydatne przekształcenie: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ pozwala policzyć sumę kwadratów bez znajomości samych pierwiastków.
Pułapka: we wzorze na sumę jest minus: $-\frac{b}{a}$. Przy $a\neq1$ trzeba pamiętać o dzieleniu — dla $2x^2-8x+3=0$ suma wynosi $4$, a nie $8$. Sama dodatnia suma nie gwarantuje dwóch dodatnich pierwiastków.
Wzory Viète’a
Co robi: wiąże sumę i iloczyn pierwiastków ze współczynnikami — pozwala badać pierwiastki bez ich obliczania.
Elementy: stosujemy tylko gdy $\Delta\ge 0$ (pierwiastki istnieją). Typowe zastosowanie: warunki na znaki pierwiastków — oba dodatnie gdy $x_1+x_2>0$ i $x_1x_2>0$; różnych znaków gdy $x_1x_2<0$.
Przykład: dla $x^2-5x+6=0$: suma $=5$, iloczyn $=6$ — pierwiastki to $2$ i $3$. Przydatne tożsamości: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Pułapka: w zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek $\Delta\ge 0$. Bez niego wzory Viète’a dadzą formalnie poprawne liczby dla nieistniejących pierwiastków.
Strona 20 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.