Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Prędkość kątowa (klasa 3 LO)
Co robi: liczy prędkość kątową z okresu obiegu $T$.
Elementy: częstotliwość $f=\frac{1}{T}$; długość łuku $l=r\alpha$.
Skala logarytmiczna (klasa 1 LO)
Co robi: odwzorowuje szeroki zakres wartości w mniejszą skalę.
Elementy: równym odstępom na osi odpowiada mnożenie przez $10$; stosowana w pH, decybelach, skali Richtera.
Strategia rozwiązywania zadań maturalnych (klasa 4 LO)
Co robi: porządkuje pracę nad zadaniem maturalnym.
Wskazówka: szacuj wynik i kontroluj jego sens oraz jednostki.
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego (klasa 2 LO)
Co robi: liczy miarę kąta wewnętrznego $n$-kąta foremnego.
Przykład: dla sześciokąta $n=6$: $\alpha=120^\circ$.
Nierówność trójkąta (klasa 1 LO)
Co robi: ogranicza wartość bezwzględną sumy z góry.
Elementy: równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak; narzędzie w dowodach.
Ciąg liczb nieparzystych (klasa 3 LO)
Co robi: opisuje ciąg kolejnych dodatnich liczb nieparzystych.
Elementy: ciąg parzystych to $a_n=2n$; oba są arytmetyczne o różnicy $2$.
Funkcja — definicja (klasa 1 LO)
Co robi: funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
Elementy: dziedzina, zbiór wartości, wykres, miejsca zerowe.
Interpretacja fizyczna pochodnej
Co robi: wiąże pochodną z wielkościami fizycznymi — prędkość jest tempem zmiany drogi, a przyspieszenie tempem zmiany prędkości.
Elementy: $s(t)$ — droga w funkcji czasu, $v(t)$ — prędkość chwilowa, $a(t)$ — przyspieszenie. Druga pochodna drogi to przyspieszenie.
Przykład: dla $s(t)=t^3-6t^2+9t$ mamy $v(t)=3t^2-12t+9$, więc $v(2)=-3$ m/s — punkt porusza się w przeciwnym kierunku.
Jak czytać znaki: $v>0$ — ruch w kierunku dodatnim; $v=0$ — chwilowe zatrzymanie (zmiana kierunku); $a>0$ — przyspieszanie.
Pułapka: prędkość chwilowa to pochodna, a prędkość średnia to iloraz $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ — to dwie różne wielkości i zadania często je zestawiają.
Kwantyfikatory (klasa 1 LO)
Co robi: kwantyfikatory precyzują zasięg zdania.
Zaprzeczenie: $\neg(\forall x\ p(x))\equiv\exists x\ \neg p(x)$.
Okres funkcji sin(bx) (klasa 3 LO)
Co robi: podaje okres funkcji $y=\sin(bx)$ (i $\cos(bx)$).
Przykład: $y=\sin(2x)$ ma okres $\pi$.
Nierówność z wartością bezwzględną (klasa 2 LO)
Co robi: rozwiązuje nierówność z modułem typu „większe".
Przykład: $|x|>3\Rightarrow x<-3 \lor x>3$.
Wzór Cardano (klasa 2 LO)
Co robi: podaje pierwiastek równania sześciennego w postaci $x^3+px+q=0$.
Elementy: wyróżnik $\Delta=\tfrac{q^2}{4}+\tfrac{p^3}{27}$ decyduje o liczbie pierwiastków rzeczywistych.
Cosinus 36 stopni (klasa 2 LO)
Co robi: podaje dokładną wartość związaną ze złotym podziałem.
Elementy: kąty $18^\circ,36^\circ,54^\circ,72^\circ$ pojawiają się w pięciokącie foremnym.
Pierwiastek jako potęga (klasa 1 LO)
Co robi: zapisuje pierwiastek za pomocą potęgi wymiernej.
Powiązane: działania na potęgach i pierwiastkach, wartość bezwzględna.
Badanie monotoniczności i ekstremów funkcji
Co robi: wyznacza przedziały monotoniczności oraz maksima i minima lokalne — podstawa zadań optymalizacyjnych.
Elementy: punkty, w których $f'(x)=0$, to punkty stacjonarne (kandydaci na ekstrema). Zmiana znaku z $+$ na $-$ daje maksimum, z $-$ na $+$ — minimum.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$: $f'(x)=3x^2-3=0$ dla $x=\pm 1$. Znak $f'$: $+,-,+$, więc maksimum w $x=-1$, minimum w $x=1$.
Pułapka: $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Przy szukaniu wartości najmniejszej/największej na przedziale domkniętym sprawdź też końce przedziału.
Symetrie w układzie współrzędnych
Co robi: podaje współrzędne obrazu punktu w podstawowych symetriach.
Elementy: symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej, względem osi OY — pierwszej, a symetria środkowa o środku $(a,\,b)$ obie, według wzoru wynikającego z tego, że środek symetrii jest środkiem odcinka łączącego punkt z jego obrazem.
Przykład: punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$ w symetrii względem OX, na $(-4,\,-2)$ względem OY i na $(-4,\,2)$ w symetrii względem początku układu.
Symetria względem prostej $y=x$: współrzędne zamieniają się miejscami, $(x,\,y)\to(y,\,x)$ — tak powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności: każda symetria zachowuje odległości, kąty i pola, więc figura i jej obraz są przystające.
Pułapka: łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny ma trzy osie, ale środka nie ma.
Tożsamości trygonometryczne — zestaw podstawowy
Co robi: podaje związki obowiązujące dla każdego kąta — narzędzie do upraszczania wyrażeń i dowodzenia tożsamości.
Elementy: pierwsza to jedynka trygonometryczna. Dwie kolejne powstają z niej przez podzielenie stronami przez $\cos^2\alpha$ oraz $\sin^2\alpha$.
Przykład: uprość $\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}$. Ponieważ $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$, całość równa się $1$ (dla $\sin\alpha\ne0$).
Pułapka: zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$, a nie $\sin(\alpha^2)$. Przy tożsamościach z tangensem pamiętaj o dziedzinie: $\cos\alpha\ne0$.
Mnożenie wyrażeń wymiernych (klasa 2 LO)
Co robi: mnoży ułamki algebraiczne — licznik przez licznik, mianownik przez mianownik.
Uwaga: zakładamy $b\neq0$ i $d\neq0$; wynik skracamy.
Warunek istnienia ekstremum lokalnego
Co robi: podaje pełny warunek na ekstremum — samo zerowanie się pochodnej to za mało.
Rodzaj ekstremum: gdy pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, mamy maksimum; z $-$ na $+$ — minimum.
Dlaczego zerowanie nie wystarcza: dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie, a w punkcie $x=0$ ma jedynie przegięcie.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$ ma $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. W $x=-1$ znak zmienia się z $+$ na $-$ (maksimum $2$), w $x=1$ z $-$ na $+$ (minimum $-2$).
Ekstremum globalne na przedziale domkniętym: porównujemy wartości w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Wartość skrajna często wypada właśnie na brzegu, gdzie pochodna się nie zeruje.
W zadaniach optymalizacyjnych pamiętaj o dziedzinie wynikającej z sensu zadania — potrafi ona odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Przy pudełku z blachy $12\times12$ pochodna zeruje się dla $x=2$ i $x=6$, ale $x=6$ odpada, bo podstawa miałaby wtedy bok zerowy.
Pułapka: uznanie każdego punktu krytycznego za ekstremum oraz pominięcie końców przedziału przy szukaniu wartości największej.
Granica ciągu (klasa 3 LO)
Co robi: zapisuje granicę ciągu zbieżnego.
Przykład: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
Przybliżone wartości trygonometryczne (klasa 3 LO)
Co robi: wartości dla dowolnych kątów odczytujemy z tablic lub kalkulatora.
Wartości dokładne: znamy dla $30^\circ,45^\circ,60^\circ$.
Wielomian — postać ogólna (klasa 2 LO)
Co robi: zapisuje ogólną postać wielomianu stopnia $n$.
Elementy: $a_n\neq0$; krotność pierwiastka decyduje, czy wykres przecina, czy dotyka osi.
Dzielenie wyrażeń wymiernych (klasa 2 LO)
Co robi: dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.
Uwaga: zakładamy $b,c,d\neq0$.
Ciąg rozbieżny do nieskończoności (klasa 3 LO)
Co robi: ciąg rozbieżny nie ma skończonej granicy.
Przykład: $a_n=n^2$ jest rozbieżny do $+\infty$.
Strona 23 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.