Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Średnia i prawdopodobieństwo — powtórzenie (klasa 8 SP)
Co robi: zbiera dwa kluczowe wzory: średnią i prawdopodobieństwo klasyczne.
Elementy: $n$ to liczba danych, $|A|$ liczba zdarzeń sprzyjających, $|\Omega|$ liczba wszystkich wyników.
Przykład: średnia $2,4,6$ to $4$; $P(\text{szóstka})=\frac{1}{6}$.
Jedynka trygonometryczna (klasa 2 LO)
Co robi: podstawowa tożsamość wiążąca sinus i cosinus.
Powiązane: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, wzory redukcyjne.
Twierdzenie Ptolemeusza (klasa 2 LO)
Co robi: wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg.
Elementy: $e,f$ to przekątne, $a,b,c,d$ kolejne boki.
Nierówność między średnimi (klasa 1 LO)
Co robi: wynika z $(a-b)^2\geq0$; podstawa wielu dowodów nierówności.
Elementy: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a=b$.
Wektory — działania i iloczyn skalarny
Co robi: opisuje wektory współrzędnymi i pozwala obliczyć kąt między nimi bez rysunku.
Elementy: $\vec{u}=[u_1,u_2]$. Iloczyn skalarny daje liczbę (nie wektor). Kluczowy wniosek: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$.
Przykład: $\vec{u}=[3,4]$, $\vec{v}=[4,-3]$: $\vec{u}\circ\vec{v}=12-12=0$, więc wektory są prostopadłe. Ich długości: $|\vec{u}|=|\vec{v}|=5$.
Pułapka: wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Odwrócenie kolejności daje wektor przeciwny $\vec{BA}=-\vec{AB}$.
Pierwiastki trójmianu kwadratowego (klasa 2 LO)
Co robi: podaje pierwiastki równania kwadratowego.
Elementy: $\Delta>0$ dwa pierwiastki, $\Delta=0$ jeden, $\Delta<0$ brak rzeczywistych.
Przykład: $x^2-5x+6=0$: $\Delta=1$, $x=2$ lub $x=3$.
Własności logarytmów
Co robi: zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to główne narzędzie przy równaniach wykładniczych.
Elementy: podstawa $a>0$, $a\ne 1$; argumenty $x,y>0$. Definicja: $\log_a b=c \iff a^c=b$. Wartości bazowe: $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$.
Przykład: $\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5$; $\log_3 81=\log_3 3^4=4$; $\log_5 100-\log_5 4=\log_5 25=2$.
Pułapka: $\log_a(x+y)$ nie upraszcza się do niczego — wzór działa tylko dla iloczynu. Zawsze też sprawdzaj dziedzinę: argument logarytmu musi być dodatni, co przy równaniach eliminuje część rozwiązań.
Przesunięcie funkcji trygonometrycznej (klasa 3 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=\sin x$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: $p$ przesuwa poziomo, $q$ pionowo; okres i amplituda bez zmian.
Pochodna funkcji potęgowej (klasa 4 LO)
Co robi: podaje podstawowy wzór na pochodną.
Zastosowania: styczna, monotoniczność, ekstrema, zadania optymalizacyjne.
Metoda rozwiązywania zadań (klasa 8 SP)
Co robi: porządkuje pracę: analiza treści, dobór metody, rachunki, kontrola wyniku.
Wskazówka: odpowiadamy pełnym zdaniem z jednostką.
Ciąg geometryczny — wyraz ogólny, suma i szereg
Co robi: opisuje ciąg o stałym ilorazie — wyznacza dowolny wyraz, sumę skończoną i sumę nieskończonego szeregu.
Elementy: $a_1$ to pierwszy wyraz, $q$ — iloraz, $n$ — numer wyrazu. Wzór na $S_n$ wymaga $q\neq1$.
Przykłady: dla $a_1=1$ i $q=2$ mamy $S_7=\frac{128-1}{1}=127$, co zgadza się z $1+2+4+\dots+64$. Szereg $8+4+2+1+\dots$ ma sumę $\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Własność wyrazu środkowego: dla wyrazów dodatnich $b=\sqrt{ac}$ — to średnia geometryczna, odpowiednik średniej arytmetycznej z ciągów arytmetycznych.
Wskazówka: trzy kolejne wyrazy zapisujemy jako $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — ich iloczyn to $a^3$ i iloraz znika z równania.
Pułapka: warunek zbieżności dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ zachodzi $q<1$, ale szereg jest rozbieżny. Pamiętaj też, że żaden wyraz ciągu geometrycznego nie może być zerem.
Twierdzenie Bézouta
Co robi: reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$ — dzięki temu podzielność sprawdzamy jednym podstawieniem.
Elementy: $W(x)$ — wielomian, $Q(x)$ — iloraz (stopień o 1 niższy), $W(a)$ — reszta (liczba). Dzielenie wykonujemy pisemnie lub schematem Hornera.
Przykład: $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$, sprawdzamy $a=1$: $W(1)=1-2-5+6=0$, więc $(x-1)$ dzieli $W(x)$ i $W(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$.
Pułapka: przy dzielniku $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$, nie $2$ — bo $x+2=x-(-2)$. To najczęstszy błąd znakowy w tym temacie.
Twierdzenie Bézouta i dzielenie wielomianów
Co robi: podaje resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian bez wykonywania dzielenia i wiąże pierwiastki z czynnikami liniowymi.
Elementy: $W(x)$ to wielomian, $a$ — liczba, $R$ — reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$.
Dwa zastosowania: szybkie liczenie reszty ($R=W(a)$) oraz sprawdzanie podzielności — $(x-a)$ dzieli $W(x)$ dokładnie wtedy, gdy $a$ jest pierwiastkiem.
Przykład: reszta z dzielenia $x^3-2x+5$ przez $(x-1)$ to $W(1)=4$. A ponieważ dla $x^3-3x^2+4$ mamy $W(2)=0$, wielomian dzieli się przez $(x-2)$.
Stopnie: $\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$, a reszta z dzielenia przez dwumian jest stałą.
Pułapka: pierwiastek $a=3$ daje czynnik $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ odpowiada $a=-2$. Uważaj na znak.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Co robi: zamienia zapis z wartością bezwzględną na równania i nierówności bez modułu.
Elementy: $a>0$ (dla $a<0$ równanie $|x|=a$ nie ma rozwiązań). Interpretacja: $|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.
Przykład: $|x-3|<2$ oznacza odległość od 3 mniejszą niż 2, czyli $x\in(1,5)$. Natomiast $|2x+1|=7$ daje $2x+1=7$ lub $2x+1=-7$, więc $x=3$ lub $x=-4$.
Pułapka: nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapis $-a
Wzory na n-ty wyraz ciągu (klasa 3 LO)
Co robi: podaje wyraz ogólny ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Elementy: $r$ to różnica, $q$ to iloraz.
Przykład: ciąg $2,5,8,\ldots$: $a_n=2+(n-1)\cdot3=3n-1$.
Wzory Viète’a (klasa 2 LO)
Co robi: wiąże pierwiastki trójmianu z jego współczynnikami.
Elementy: wymagane $\Delta\ge0$; przydatne bez liczenia pierwiastków.
Przykład: dla $x^2-5x+6$: suma $5$, iloczyn $6$ (pierwiastki $2,3$).
Równania wykładnicze (klasa 2 LO)
Co robi: rozwiązuje równania wykładnicze przez wspólną podstawę.
Przykład: $2^{x}=8=2^3$ daje $x=3$.
Iloczyn skalarny i kąt między wektorami
Co robi: pozwala policzyć kąt między wektorami oraz natychmiast rozstrzygnąć, czy są prostopadłe.
Elementy: $u_1$, $u_2$ to współrzędne wektora, $\alpha$ — kąt między wektorami. Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Co mówi znak: dodatni — kąt ostry, zero — kąt prosty, ujemny — kąt rozwarty. Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Warunek prostopadłości: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$. Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$.
Kąt: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Dla $[1,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,1]$ iloczyn wynosi $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Przydatna tożsamość: $\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$, bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$.
Pułapka: nie myl z „mnożeniem po współrzędnych” dającym wektor — iloczyn skalarny daje liczbę. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca: $\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$.
Iloczyn skalarny wektorów (klasa 3 LO)
Co robi: liczy iloczyn skalarny i wiąże go z kątem między wektorami.
Elementy: wektory prostopadłe mają iloczyn skalarny równy $0$.
Przykład: $[2,3]\cdot[4,-1]=8-3=5$.
Pierwiastki wymierne wielomianu — dzielniki wyrazu wolnego
Co robi: zawęża listę kandydatów na pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Elementy: $a_0$ to wyraz wolny, $a_n$ — współczynnik wiodący. Licznik $p$ dzieli $a_0$, mianownik $q$ dzieli $a_n$.
Dla wielomianu unormowanego ($a_n=1$) pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Przykład: dla $x^3-2x^2-5x+6$ kandydaci to dzielniki $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$. Sprawdzenie daje pierwiastki $1$, $-2$, $3$.
Krotność a wykres: w pierwiastku krotności nieparzystej wykres przecina oś, parzystej — dotyka i odbija się.
Pułapka: pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ — uważaj na znak. Sprawdź kandydatów przez podstawienie, zanim uznasz za pierwiastek.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
Co robi: zawęża poszukiwanie pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych do skończonej listy kandydatów.
Elementy: $a_0$ — wyraz wolny, $a_n$ — współczynnik przy najwyższej potędze, $\frac{p}{q}$ — ułamek nieskracalny. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Przykład: $W(x)=2x^3-3x^2-3x+2$: $p\in\{\pm1,\pm2\}$, $q\in\{\pm1,\pm2\}$, więc kandydaci to $\pm1,\pm2,\pm\frac{1}{2}$. Sprawdzenie daje pierwiastki $2$, $-1$, $\frac{1}{2}$.
Pułapka: twierdzenie wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją ($x^3-2$ nie ma żadnego).
Reguła łańcuchowa i pochodna iloczynu
Co robi: pozwala różniczkować funkcje złożone i iloczyny funkcji.
Elementy: w regule łańcuchowej $f$ to funkcja zewnętrzna, $g$ — wewnętrzna. Liczymy pochodną zewnętrznej i mnożymy przez pochodną wewnętrznej.
Przykłady: $[(2x+1)^3]\,'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$; $[\sin(3x)]\,'=3\cos(3x)$; $[x\sin x]\,'=\sin x+x\cos x$.
Pułapka: nie zapomnij o pochodnej „wnętrza" w regule łańcuchowej — to najczęstszy błąd. Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych.
Proporcjonalność odwrotna
Co robi: opisuje zależność, w której iloczyn dwóch wielkości jest stały — gdy jedna rośnie, druga maleje w tym samym stosunku.
Elementy: $a$ — współczynnik proporcjonalności. Wykresem jest hiperbola o dwóch gałęziach; osie układu są asymptotami. Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a<0$ — w II i IV.
Przykład: stała droga $120$ km: $v\cdot t=120$. Przy $v=60$ km/h jazda trwa $2$ h, przy $v=40$ km/h — $3$ h.
Pułapka: nie myl z proporcjonalnością prostą ($y=ax$, iloraz stały). Test: podwojenie $x$ przy proporcjonalności odwrotnej połowi $y$, przy prostej — podwaja.
Równania z wartością bezwzględną (klasa 2 LO)
Co robi: równanie z modułem rozbijamy na dwa przypadki.
Przykład: $|x-1|=3\Rightarrow x=4 \lor x=-2$; dla $a<0$ brak rozwiązań.
Strona 22 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.