Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Układ równań liniowych (klasa 2 LO)
Co robi: zapisuje układ dwóch równań; rozwiązujemy metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Interpretacja: rozwiązanie to punkt przecięcia prostych.
Walec — pole powierzchni i objętość
Co robi: oblicza objętość i pole powierzchni walca o promieniu podstawy $r$ i wysokości $H$.
Elementy: podstawy to dwa koła o polu $\pi r^2$; powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$.
Przykład: $r=3$, $H=10$: $V=90\pi$, $P_b=60\pi$, $P_c=2\pi\cdot3\cdot13=78\pi$.
Pułapka: w przekroju osiowym walca powstaje prostokąt o bokach $2r$ i $H$ — łatwo pomylić $2r$ z $r$ przy zadaniach o przekroju kwadratowym (wtedy $H=2r$).
Warunek równoległości i prostopadłości prostych
Co robi: sprawdza wzajemne położenie dwóch prostych na podstawie samych współczynników kierunkowych.
Elementy: $a_1$, $a_2$ — współczynniki kierunkowe. Warunek prostopadłości można zapisać też jako $a_2=-\frac{1}{a_1}$ — współczynnik przeciwny i odwrotny.
Przykład: do prostej $y=2x+5$ prosta prostopadła ma $a=-\frac{1}{2}$, np. $y=-\frac{1}{2}x+3$. Sprawdzenie: $2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$. ✔
Pułapka: warunek prostopadłości zawodzi dla prostej poziomej ($a=0$) i pionowej — one też są prostopadłe, ale $0\cdot a_2$ nigdy nie da $-1$. Ten przypadek rozpatruj osobno.
Okres funkcji sinus i cosinus (klasa 3 LO)
Co robi: podaje okres podstawowy sinusa i cosinusa.
Elementy: $\sin$ i $\cos$ przyjmują wartości z przedziału $[-1,1]$.
Przykład: $y=\sin(2x)$ ma okres $\frac{2\pi}{2}=\pi$.
Zadania tekstowe z równaniami (klasa 6 SP)
Co robi: zamienia treść zadania na równanie z niewiadomą $x$.
Przykład: „liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.
Suma ciągu arytmetycznego (klasa 3 LO)
Co robi: sumuje $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Elementy: $a_1$ pierwszy wyraz, $a_n$ n-ty wyraz.
Przykład: $1+2+\ldots+100=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.
Warunek ciągłości funkcji w punkcie
Co robi: podaje pełne kryterium ciągłości — wszystkie trzy wielkości muszą istnieć i być równe.
Elementy: granica lewostronna, prawostronna i wartość funkcji w punkcie. Wypadnięcie któregokolwiek warunku oznacza nieciągłość.
Przykład: funkcja sklejona $f(x)=x+1$ dla $x<2$ oraz $f(x)=3x-3$ dla $x\ge2$ jest ciągła w $x_0=2$, bo obie granice i wartość wynoszą $3$.
Zastosowanie: w zadaniach z parametrem przyrównujemy granice jednostronne i wyznaczamy szukaną wartość.
Pułapka: istnienie granicy nie wystarcza. Funkcja $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ ma w $x_0=3$ granicę równą $6$, ale nie jest tam ciągła — bo $f(3)$ w ogóle nie istnieje.
Diagram kołowy — kąt a procent
Co robi: przelicza udział procentowy na kąt wycinka diagramu kołowego i odwrotnie.
Elementy: $\alpha$ — kąt środkowy wycinka, $p$ — procent całości. Pełne koło to $360^\circ$ i odpowiada $100\%$.
Przykład: wycinek o kącie $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=25\%$ całości. Odwrotnie: $20\%$ odpowiada kątowi $0{,}2\cdot360^\circ=72^\circ$.
Warto zapamiętać: $10\%\to36^\circ$, $25\%\to90^\circ$, $50\%\to180^\circ$, $75\%\to270^\circ$.
Pułapka: suma wszystkich wycinków musi dać $360^\circ$ (czyli $100\%$) — to szybki test poprawności odczytu z diagramu.
Działania na wyrażeniach wymiernych
Co robi: pozwala dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki algebraiczne — dokładnie tak jak ułamki liczbowe.
Elementy: $a,b,c,d$ — wyrażenia algebraiczne; mianowniki muszą być różne od zera. Przy dodawaniu sprowadzamy do wspólnego mianownika, przy dzieleniu mnożymy przez odwrotność.
Przykład: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$.
Pułapka: skracać wolno tylko czynniki, nie składniki. W $\frac{x+2}{x}$ nie można skreślić $x$ — poprawne skracanie wymaga postaci iloczynowej, jak w $\frac{x(x+2)}{x}=x+2$.
Funkcje parzyste i nieparzyste (klasa 3 LO)
Co robi: opisuje symetrię wykresu funkcji.
Elementy: parzysta — symetria względem osi $OY$; nieparzysta — względem początku.
Geometria analityczna — długość odcinka (klasa 4 LO)
Co robi: liczy odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
Powiązane: środek odcinka i odległość punktu od prostej.
Objętość graniastosłupów i ostrosłupów — zadania (klasa 8 SP)
Co robi: zestawia objętości do zadań o bryłach.
Elementy: ostrosłup ma objętość trzy razy mniejszą niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Przykład: dla $P_p=9$, $H=4$: graniastosłup $36$, ostrosłup $12$.
Układ równań liniowych — liczba rozwiązań
Co robi: pozwala rozpoznać liczbę rozwiązań układu bez jego rozwiązywania — kluczowe w zadaniach z parametrem.
Elementy: układ oznaczony = proste przecinają się (jedno rozwiązanie); nieoznaczony = proste się pokrywają (nieskończenie wiele); sprzeczny = proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań).
Przykład: $\begin{cases}2x+3y=5\4x+6y=10\end{cases}$ — proporcje $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{5}{10}$ są równe, więc układ nieoznaczony (drugie równanie to podwojone pierwsze).
Pułapka: przed porównaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków.
Kombinatoryka — symbol Newtona (klasa 4 LO)
Co robi: liczy liczbę $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego.
Elementy: permutacje $P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Własności funkcji z wykresu (klasa 1 LO)
Co robi: z wykresu odczytujemy dziedzinę $D$, zbiór wartości, miejsca zerowe i monotoniczność.
Elementy: argumenty, dla których $f(x)>0$, leżą nad osią $OX$.
Promienie okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie
Co robi: wiąże pole trójkąta z promieniami obu okręgów — wpisanego i opisanego.
Elementy: $a$, $b$, $c$ to boki, $P$ — pole, $p$ — połowa obwodu, $r$ — promień okręgu wpisanego, $R$ — opisanego.
Skąd wzór na $r$: łącząc środek okręgu wpisanego z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
Przypadki szczególne: w trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$ (przeciwprostokątna jest średnicą) oraz $r=\frac{a+b-c}{2}$. W równobocznym $R=\frac{a\sqrt3}{3}$, $r=\frac{a\sqrt3}{6}$, a więc $R=2r$.
Przykład: trójkąt $5$, $12$, $13$ ma $P=30$ i $p=15$, więc $r=2$ oraz $R=6{,}5$. Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔
Pułapka: we wzorze na $r$ występuje połowa obwodu, nie cały obwód. Sprawdzaj też sens wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Działania na pierwiastkach kwadratowych
Co robi: pozwala mnożyć, dzielić i upraszczać wyrażenia z pierwiastkami bez przybliżeń dziesiętnych.
Elementy: $a\ge 0$, $b>0$ przy dzieleniu. Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: szukamy największego kwadratu w liczbie podpierwiastkowej.
Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$; $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$; $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$.
Pułapka: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ — sprawdź: $\sqrt{9+16}=5$, ale $3+4=7$. Pamiętaj też $\sqrt{a^2}=|a|$, nie $a$: $\sqrt{(-5)^2}=5$.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Co robi: przekształca ułamek tak, by w mianowniku nie było pierwiastka — wymagana postać odpowiedzi w wielu zadaniach.
Elementy: dla jednego pierwiastka mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{b}$. Dla sumy dwóch pierwiastków mnożymy przez sprzężenie $(\sqrt{b}-\sqrt{c})$ i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$; $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Pułapka: przy sprzężeniu zmieniamy tylko znak między pierwiastkami, nie znaki wewnątrz. Sprzężeniem $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ jest $\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Pierwiastek sześcienny
Co robi: odwraca podnoszenie do trzeciej potęgi. Najczęściej służy do wyznaczania krawędzi sześcianu o danej objętości.
Elementy: $a$ to liczba pod pierwiastkiem, $b$ — wynik.
Wartości warte zapamiętania: $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{64}=4$, $\sqrt[3]{125}=5$, $\sqrt[3]{1000}=10$.
Istotna różnica: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych.
Zastosowanie: sześcian o objętości $1000$ cm³ ma krawędź $\sqrt[3]{1000}=10$ cm i pole powierzchni $6\cdot10^2=600$ cm².
Pułapka: $\sqrt[3]{a+b}\neq\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$. Własność dotyczy iloczynu i ilorazu, nigdy sumy.
Wartość bezwzględna — równania i nierówności
Co robi: zamienia równania i nierówności z modułem na warunki bez wartości bezwzględnej.
Elementy: $a>0$; dla $a<0$ równanie $|x|=a$ nie ma rozwiązań, a $|x| Interpretacja geometryczna: $|x-b|$ to odległość $x$ od $b$ na osi. Dlatego $|x-b| Przykłady: $|x-2|\le3$ daje $\langle-1,\ 5\rangle$; $|2x-6|\ge4$ daje $(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$. Kluczowa różnica: $|x| Pułapka: zawsze sprawdzaj znak prawej strony. Równanie $|x|=-2$ i nierówność $|x-5|<0$ nie mają rozwiązań.
Proporcjonalność prosta (klasa 8 SP)
Co robi: opisuje wielkości wprost proporcjonalne.
Elementy: $a$ to stały współczynnik proporcjonalności; iloraz $\frac{y}{x}=a$ jest stały.
Przykład: przy cenie $3$ zł za kg koszt to $y=3x$.
Rozkład wielomianu — grupowanie (klasa 2 LO)
Co robi: rozkłada wielomian metodą grupowania wyrazów.
Przykład: $x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)$.
Stożek — pole powierzchni i objętość
Co robi: oblicza objętość i pole powierzchni stożka.
Elementy: $r$ — promień podstawy, $H$ — wysokość, $l$ — tworząca (odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy). Powiązanie $l=\sqrt{r^2+H^2}$ wynika z twierdzenia Pitagorasa. Kąt rozwarcia siatki: $\alpha=\frac{r}{l}\cdot 360^\circ$.
Przykład: $r=3$, $H=4$: $l=5$, $V=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi$, $P_c=\pi\cdot3\cdot8=24\pi$.
Pułapka: do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie.
Symetrie i przesunięcie w układzie współrzędnych
Co robi: opisuje, jak zmieniają się współrzędne punktu przy odbiciach symetrycznych i przesunięciu o wektor.
Jak zapamiętać: symetria względem osi zmienia znak tej drugiej współrzędnej. Odbicie w osi $OX$ przerzuca punkt w pionie, więc zmienia $y$. Symetria środkowa zmienia oba znaki.
Przykłady: punkt $(4,-2)$ po odbiciu w osi $OX$ przechodzi na $(4,\,2)$; punkt $(-2,\,6)$ po symetrii środkowej — na $(2,-6)$.
Przesunięcie: $(2,\,4)$ o wektor $[3,-1]$ daje $(5,\,3)$ — po prostu dodajemy współrzędne.
Ważna własność: wszystkie te przekształcenia są izometriami — nie zmieniają długości, kątów, pola ani obwodu figury. Zmieniają się wyłącznie współrzędne.
Pułapka: mylenie osi przy symetrii. Sprawdzian jest prosty: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ przy symetrii względem $OX$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tam $y$, a nie $x$.
Strona 19 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.