Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Ciąg arytmetyczny — wzór ogólny i suma
Co robi: opisuje ciąg o stałej różnicy między kolejnymi wyrazami i pozwala zsumować dowolną liczbę początkowych wyrazów.
Elementy: $a_1$ — pierwszy wyraz, $r$ — różnica ciągu, $n$ — numer wyrazu, $S_n$ — suma $n$ początkowych wyrazów. Ostatni wzór (własność średniej) służy do sprawdzania, czy ciąg jest arytmetyczny.
Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$, $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10=210$.
Pułapka: we wzorze ogólnym jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. To najczęstszy błąd w tym temacie.
Liczba wyrazów ciągu arytmetycznego
Co robi: odpowiada na pytanie „ile jest liczb od … do … co …”, czyli zlicza wyrazy ciągu arytmetycznego o znanym pierwszym i ostatnim wyrazie.
Elementy: $a_1$ to pierwszy wyraz, $a_n$ — ostatni, $r$ — różnica, $n$ — szukana liczba wyrazów.
Skąd bierze się $+1$: iloraz $\frac{a_n-a_1}{r}$ zlicza odstępy między wyrazami, a wyrazów jest zawsze o jeden więcej niż przerw między nimi — jak słupki i przęsła w płocie.
Przykład: liczby dwucyfrowe podzielne przez $7$ to $14,\ 21,\ \dots,\ 98$, więc $n=\frac{98-14}{7}+1=13$. Ich suma wynosi $\frac{14+98}{2}\cdot13=728$.
Drugi przykład: liczb parzystych od $2$ do $200$ jest $\frac{200-2}{2}+1=100$.
Pułapka: pominięcie $+1$ to najczęstszy błąd — daje wynik zaniżony dokładnie o jeden. Pamiętaj też, żeby $a_1$ i $a_n$ były faktycznie pierwszym i ostatnim pasującym elementem, a nie krańcami przedziału: dla liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$ zaczynamy od $14$, a nie od $10$.
Długość okręgu (klasa 1 LO)
Co robi: podaje obwód okręgu.
Elementy: $r$ to promień, $d=2r$ średnica, $\pi\approx3{,}14$.
Przykład: dla $r=5$ mamy $L=10\pi$.
Wzory redukcyjne dla kąta wypukłego (klasa 2 LO)
Co robi: sprowadza funkcje kąta rozwartego do kąta ostrego.
Elementy: sinus się nie zmienia, cosinus zmienia znak.
Przykład: $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac{1}{2}$.
Granica ilorazu wielomianów
Co robi: pozwala natychmiast podać granicę ilorazu wielomianów w nieskończoności na podstawie samych stopni.
Elementy: $n$ to stopień licznika, $m$ stopień mianownika, a $a_n$ i $b_m$ współczynniki przy najwyższych potęgach.
Przykład — stopnie równe: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=\frac31=3$.
Przykład — licznik niższy: $\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0$, bo mianownik rośnie szybciej.
Skąd to wynika: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika — wszystkie składniki z $x$ w mianowniku dążą do zera.
Zastosowanie: granica przy stopniach równych to jednocześnie równanie asymptoty poziomej wykresu.
Pułapka: reguła dotyczy granicy w nieskończoności. W konkretnym punkcie przy symbolu $\frac00$ trzeba rozłożyć wyrażenie na czynniki i skrócić.
Działania na ułamkach algebraicznych
Co robi: zbiera reguły mnożenia, dzielenia, dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.
Elementy: mianowniki muszą być różne od zera — dziedzinę wyznaczamy zawsze na początku.
Skracanie: rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, np. $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ dla $x\neq2$.
Przykład: $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{x^2-4}$.
Pułapka: przy odejmowaniu pamiętaj o nawiasie w liczniku. Dziedzina zostaje z pierwotnego wyrażenia — punkt wykluczony nie znika po skróceniu.
Miejsce zerowe funkcji (klasa 1 LO)
Co robi: określa miejsce zerowe jako argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero.
Elementy: na wykresie to punkty przecięcia z osią $OX$.
Przykład: dla $f(x)=2x-4$ miejsce zerowe to $x_0=2$.
Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
Co robi: wyznacza promienie okręgu opisanego na trójkącie i wpisanego w niego, gdy znamy boki i pole.
Elementy: $R$ — promień okręgu opisanego (środek na przecięciu symetralnych boków), $r$ — promień wpisanego (środek na przecięciu dwusiecznych kątów), $P$ — pole, $s$ — połowa obwodu.
Przykład: trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $s=6$. Wtedy $R=\frac{3\cdot4\cdot5}{24}=2{,}5$ (czyli połowa przeciwprostokątnej ✔) oraz $r=\frac{6}{6}=1$.
Pułapka: środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem — dzieje się tak przy kącie rozwartym. Środek wpisanego zawsze leży wewnątrz.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt (klasa 3 LO)
Co robi: podaje promień okręgu wpisanego z pola i połowy obwodu.
Elementy: $P$ to pole trójkąta, $p$ to połowa obwodu.
Przykład: trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, $r=1$.
Pole trójkąta z sinusem (klasa 4 LO)
Co robi: liczy pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.
Powiązane: twierdzenie sinusów $\frac{a}{\sin\alpha}=2R$ i cosinusów.
Mnożnik procentowy — podwyżki i obniżki
Co robi: zamienia dwuetapowe liczenie (najpierw kwota zmiany, potem dodawanie lub odejmowanie) na jedno mnożenie.
Elementy: $c_0$ to cena wyjściowa, $c_1$ — końcowa, $p$ — procent zmiany.
Przykłady: podwyżka o $25\%$ to mnożenie przez $1{,}25$; obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$. Zatem $80\cdot1{,}25=100$ zł, a $400\cdot0{,}7=280$ zł.
Zadanie odwrotne: znając cenę końcową, dzielimy przez mnożnik. Cena po obniżce o $15\%$ wynosi $850$ zł, więc wyjściowa to $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
Zmiany kolejne: mnożniki mnożymy przez siebie. Rabat $30\%$, a potem $10\%$ daje $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łącznie $37\%$ — nie $40\%$.
Pułapka: mnożenie przez $0{,}3$ przy obniżce o $30\%$ daje samą kwotę rabatu, a nie cenę po obniżce. I nie odejmuj procentu od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej.
Podwyżka i obniżka o dany procent
Co robi: od razu podaje cenę po zmianie, bez liczenia kwoty podwyżki osobno.
Elementy: $c$ — cena początkowa, $p$ — procent zmiany, $c_{\text{po}}$ — cena po zmianie. Mnożnik $\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$ nazywamy wskaźnikiem zmiany.
Przykład: cena $80$ zł po obniżce o $25\%$: $80 \cdot (1 - 0{,}25) = 80 \cdot 0{,}75 = 60$ zł.
Pułapka: podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ nie daje ceny wyjściowej: $100 \to 120 \to 96$. Procenty liczy się za każdym razem od nowej podstawy.
Pola figur płaskich (klasa 7 SP)
Co robi: zbiera wzory na pola podstawowych figur płaskich.
Elementy: $a,b$ to boki lub podstawy, $h$ to wysokość figury.
Przykład: trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $4$ ma pole $\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$.
Pułapka: w trójkącie i trapezie wysokość musi być prostopadła do podstawy, a nie długością ramienia.
Pole powierzchni ostrosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $P_b$ to suma pól trójkątnych ścian bocznych.
Przykład: pole podstawy $16$ i pole boczne $24$ dają $P_c=40$.
Potęga liczby naturalnej (klasa 4 SP)
Co robi: potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby.
Przykład: $2^3=2\cdot2\cdot2=8$; $a$ to podstawa, $n$ wykładnik.
Pole i obwód prostokąta (klasa 4 SP)
Co robi: liczy pole i obwód prostokąta o bokach $a,b$.
Kwadrat: dla boku $a$: $P=a^2$, $Ob=4a$.
Rozkład wielomianu na czynniki (klasa 2 LO)
Co robi: zapisuje wielomian jako iloczyn czynników liniowych przez jego pierwiastki.
Przykład: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.
Nierówności liniowe — kierunek znaku
Co robi: określa, kiedy przy przekształcaniu nierówności zachowujemy kierunek znaku, a kiedy trzeba go odwrócić.
Elementy: dodawanie i odejmowanie nigdy nie zmienia kierunku. Mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.
Przykład: $3x-6>0 \Rightarrow 3x>6 \Rightarrow x>2$, czyli $x\in(2,+\infty)$. Ale $-2x>6 \Rightarrow x<-3$ — dzieliliśmy przez $-2$, więc znak się odwrócił.
Zapis rozwiązania: nierówność ostra daje przedział otwarty, nieostra ($\le$) — domknięty, np. $x\ge2$ to $\langle 2,+\infty)$.
Pułapka: odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną to najczęstszy błąd w tym temacie. Zawsze sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę z otrzymanego przedziału.
Skala — przeliczanie odległości
Co robi: pozwala przechodzić między wymiarem na mapie lub planie a wymiarem rzeczywistym.
Elementy: $n$ to druga liczba skali $1:n$. Zapis $1:100\,000$ znaczy, że jedna jednostka na mapie odpowiada $100\,000$ takim samym jednostkom w terenie.
Przykład: na mapie $1:100\,000$ odcinek $3$ cm to $3\cdot100\,000=300\,000$ cm $=3$ km. W drugą stronę: $8$ km na mapie $1:200\,000$ to $800\,000:200\,000=4$ cm.
Skala powiększająca: zapis $2:1$ oznacza rysunek dwa razy większy od przedmiotu — stosuje się go przy drobnych elementach.
Pułapka: skala nie ma jednostki, więc wynik wychodzi w tych samych jednostkach, w których podano dane — dopiero potem zamieniamy centymetry na metry lub kilometry. Im większe $n$, tym mniejszy rysunek.
Wariancja (klasa 3 LO)
Co robi: mierzy przeciętny kwadrat odchylenia danych od średniej.
Powiązane: odchylenie standardowe $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$.
Symbol Newtona i dwumian Newtona
Co robi: rozwija potęgę dwumianu na sumę składników; współczynniki to kolejne wiersze trójkąta Pascala.
Elementy: $\binom{n}{k}$ — symbol Newtona (liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego). Wyraz o numerze $k+1$ w rozwinięciu to $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Przykład: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ — współczynniki $1,4,6,4,1$ to piąty wiersz trójkąta Pascala.
Pułapka: suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności. Przyjmujemy $0!=1$ i $\binom{n}{0}=1$.
Podobieństwo figur — skala, pola i objętości
Co robi: wiąże skalę podobieństwa z ilorazem obwodów, pól i objętości figur podobnych.
Elementy: $k$ — skala podobieństwa (stosunek odpowiadających długości). Obwody rosną jak $k$, pola jak $k^2$, objętości jak $k^3$. Cechy podobieństwa trójkątów: kąt-kąt (kk), bok-bok-bok (bbb), bok-kąt-bok (bkb).
Przykład: trójkąty w skali $k=3$: obwód większego jest $3$ razy większy, pole $9$ razy, a przy bryłach objętość $27$ razy.
Pułapka: pole nie rośnie liniowo. Jeśli pole wzrosło $16$ razy, to skala wynosi $k=\sqrt{16}=4$, a nie $16$.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Co robi: oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, gdy przestrzeń rozbito na rozłączne przypadki (hipotezy) $H_1, H_2, \dots$.
Elementy: $H_i$ to parami rozłączne zdarzenia pokrywające całą przestrzeń ($\sum P(H_i)=1$), $P(A|H_i)$ — prawdopodobieństwo $A$ przy założeniu $H_i$.
Interpretacja drzewa: wzdłuż każdej gałęzi mnożymy prawdopodobieństwa, a wyniki z różnych gałęzi dodajemy.
Przykład: dwie urny wybierane po $\tfrac12$, z białymi w proporcjach $\tfrac35$ i $\tfrac15$: $P(B)=\tfrac12\cdot\tfrac35+\tfrac12\cdot\tfrac15=\tfrac25$.
Pułapka: hipotezy muszą się wykluczać i wyczerpywać całość. Sprawdź, czy $\sum P(H_i)=1$ przed użyciem wzoru.
Układ — warunek jednego rozwiązania (klasa 1 LO)
Co robi: gdy warunek jest spełniony, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (proste przecinają się).
Pozostałe przypadki: proste równoległe — brak; pokrywające się — nieskończenie wiele.
Strona 18 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.