Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Monotoniczność funkcji — definicja
Co robi: ściśle definiuje, co znaczy, że funkcja rośnie lub maleje w danym przedziale.
Elementy: $x_1,x_2$ — dowolne argumenty z rozważanego przedziału. Funkcja niemalejąca dopuszcza równość ($f(x_1)\le f(x_2)$), stała ma zawsze tę samą wartość.
Przykład: $f(x)=2x+1$ jest rosnąca w całym $\mathbb{R}$; $f(x)=x^2$ maleje na $(-\infty,0\rangle$ i rośnie na $\langle0,+\infty)$.
Pułapka: monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach. Powiedzenie, że $f(x)=x^2$ jest rosnąca, jest fałszywe — jest taka dopiero od zera w prawo.
NWD i NWW — rozkład na czynniki pierwsze
Co robi: wyznacza największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb — potrzebne przy skracaniu ułamków (NWD) i sprowadzaniu do wspólnego mianownika (NWW).
Elementy: $p_i$ — czynniki pierwsze, $\alpha_i,\beta_i$ — ich wykładniki w rozkładach liczb $a$ i $b$. Do NWD bierzemy niższe potęgi wspólnych czynników, do NWW — wyższe potęgi wszystkich czynników.
Przykład: $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. Wtedy $\mathrm{NWD} = 2^2 \cdot 3 = 12$, $\mathrm{NWW} = 2^3 \cdot 3^2 = 72$. Sprawdzenie: $12 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36$. ✔
Pułapka: do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8 = 2^3$ i $9 = 3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD} = 1$ (liczby względnie pierwsze), a $\mathrm{NWW} = 72$.
NWD i NWW z rozkładu na czynniki pierwsze
Co robi: wiąże największy wspólny dzielnik z najmniejszą wspólną wielokrotnością — znając jedno, natychmiast liczymy drugie.
Jak wyznaczać z rozkładów:
- NWD — czynniki wspólne w najniższych potęgach
- NWW — wszystkie czynniki w najwyższych potęgach
Przykład: $30=2\cdot3\cdot5$ oraz $45=3^2\cdot5$. Stąd $\mathrm{NWD}=3\cdot5=15$, a $\mathrm{NWW}=2\cdot3^2\cdot5=90$. Sprawdzenie: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔
Kiedy czego użyć: NWD — gdy coś dzielimy na równe paczki lub grupy. NWW — gdy szukamy momentu spotkania cykli: autobusy odjeżdżające co $12$ i $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Liczby względnie pierwsze: gdy $\mathrm{NWD}=1$, rozkłady nie mają wspólnego czynnika, a NWW równa się iloczynowi.
Pułapka: mylenie obu pojęć. NWD jest zawsze nie większy od każdej z liczb, a NWW nie mniejszy. Wynik poza tymi granicami to sygnał błędu.
Notacja wykładnicza
Co robi: zapisuje bardzo duże i bardzo małe liczby w zwięzłej, czytelnej postaci.
Elementy: $a$ — liczba z przedziału $[1, 10)$ (jedna cyfra przed przecinkiem), $n$ — wykładnik całkowity. Dodatnie $n$ oznacza liczbę dużą, ujemne — małą.
Przykład: $7\,500\,000 = 7{,}5 \cdot 10^6$; $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$.
Pułapka: $a$ musi być mniejsze od 10. Zapis $75 \cdot 10^5$ jest liczbowo poprawny, ale nie jest notacją wykładniczą — trzeba go poprawić na $7{,}5 \cdot 10^6$.
Objętość i pole powierzchni ostrosłupa
Co robi: oblicza objętość i pole powierzchni ostrosłupa — bryły o jednej podstawie i ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku.
Elementy: $P_p$ — pole podstawy, $H$ — wysokość bryły (odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy), $P_b$ — pole powierzchni bocznej (suma pól trójkątów). Ostrosłup ma jedną podstawę — stąd $P_p$, a nie $2P_p$.
Przykład: ostrosłup o podstawie kwadratu o boku $6$ i wysokości $10$: $P_p = 36$, $V = \frac{1}{3}\cdot 36 \cdot 10 = 120$.
Pułapka: nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej (apotemą) $h$ — do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa.
Równanie okręgu i koła
Co robi: opisuje okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ — oraz koło jako jego wnętrze wraz z brzegiem.
Elementy: $(a,b)$ — środek, $r>0$ — promień. Z postaci rozwiniętej $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ środek i promień wyznaczamy przez uzupełnienie do kwadratu.
Przykład: $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ → $(x-3)^2+(y+2)^2=16$, czyli $S=(3,-2)$, $r=4$.
Pułapka: znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka: $(y+2)^2$ oznacza $b=-2$. Jeśli po uzupełnieniu prawa strona wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
Działania na pierwiastkach (klasa 8 SP)
Co robi: podaje reguły mnożenia pierwiastków i pierwiastka z kwadratu.
Elementy: wymagamy $a,b\ge0$; pierwiastek z kwadratu daje wartość bezwzględną.
Przykład: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
Pole figury złożonej — dodawanie i odejmowanie pól
Co robi: pozwala policzyć pole figury, która nie jest żadnym pojedynczym wielokątem z tablic — przez rozłożenie jej na znane kawałki.
Dwie strategie: figurę dzielimy na prostokąty i trójkąty i pola dodajemy, albo uzupełniamy ją do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy tę, która daje mniej rachunków.
Przykład — dodawanie: prostokąt $10\times4$ z doklejonym trójkątem o podstawie $10$ i wysokości $3$ ma pole $40+\frac{10\cdot3}{2}=40+15=55$.
Przykład — odejmowanie: kwadrat o boku $12$ z wyciętym kwadratowym otworem o boku $5$ ma pole $144-25=119$.
Pułapka: części nie mogą na siebie zachodzić — inaczej wspólny fragment policzymy dwa razy. Przed sumowaniem sprawdź też, czy wszystkie wymiary są w tych samych jednostkach.
Zamiana jednostek pola
Co robi: pozwala przeliczać pole między centymetrami, metrami, arami i hektarami.
Elementy: przelicznik pola to kwadrat przelicznika długości. Skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^2=100\cdot100=10\,000$ cm$^2$.
Przykład: $30\,000$ cm$^2=30\,000:10\,000=3$ m$^2$. Działka o polu $400$ m$^2$ to $400:100=4$ ary.
Warto zapamiętać: $1$ ha $=100$ arów $=10\,000$ m$^2$ — tyle ma kwadrat o boku $100$ m.
Pułapka: najczęstszy błąd to użycie przelicznika długości zamiast pola — dzielenie przez $100$ zamiast przez $10\,000$. Przy objętości przelicznik jest jeszcze większy: $1$ m$^3=1\,000\,000$ cm$^3$.
Prawdopodobieństwo klasyczne (klasa 8 SP)
Co robi: oblicza prawdopodobieństwo w doświadczeniu o jednakowo prawdopodobnych wynikach.
Elementy: $|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających, $|\Omega|$ to liczba wszystkich wyników.
Przykład: przy rzucie kostką $P(\text{szóstka})=\frac{1}{6}$.
Przekształcanie wzoru — wyznaczanie niewiadomej
Co robi: pozwala wyznaczyć z gotowego wzoru dowolną występującą w nim wielkość.
Zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić także z drugą. Stosujemy działania odwrotne: dodawanie znosi odejmowanie, a mnożenie — dzielenie.
Przykład: ze wzoru $y=2x+3$ najpierw odejmujemy $3$, otrzymując $y-3=2x$, a potem dzielimy przez $2$: $x=\frac{y-3}{2}$.
Zestaw do ćwiczeń: $s=v\cdot t \Rightarrow t=\frac{s}{v}$; $O=2\pi r \Rightarrow r=\frac{O}{2\pi}$; $V=P_p\cdot H \Rightarrow H=\frac{V}{P_p}$; $P=a^2 \Rightarrow a=\sqrt{P}$ dla $a>0$.
Pułapka: kolejność działań ma znaczenie — $\frac{y-3}{2}$ to co innego niż $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, podstaw konkretne liczby i sprawdź obie wersje.
Przesunięcie hiperboli (klasa 2 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=\frac{a}{x}$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: asymptoty przesuwają się do $x=p$ i $y=q$.
Rozwiązanie równania liniowego (klasa 1 LO)
Co robi: podaje rozwiązanie równania pierwszego stopnia.
Elementy: dla $a=0$ równanie jest sprzeczne ($b\neq0$) lub tożsamościowe ($b=0$).
Przykład: $2x-6=0$ daje $x=3$.
Rozwiązywanie równań (klasa 6 SP)
Co robi: wyraz przenosimy na drugą stronę, zmieniając znak.
Przykład: $x+5=12\Rightarrow x=12-5=7$.
Rozwinięcie dziesiętne — ułamek okresowy (klasa 1 LO)
Co robi: liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub okresowe.
Elementy: liczby niewymierne mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe, np. $\sqrt{2}$.
Symetralna odcinka i dwusieczna kąta
Co robi: opisuje dwa zbiory punktów równo oddalonych — od dwóch punktów (symetralna) i od dwóch ramion kąta (dwusieczna).
Elementy: symetralna odcinka $AB$ to prosta prostopadła do $AB$ przechodząca przez jego środek; każdy jej punkt $P$ spełnia $|AP| = |BP|$. Dwusieczna dzieli kąt na dwa równe kąty; jej punkty są równo oddalone od obu ramion.
Przykład: środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia symetralnych boków; środek okręgu wpisanego — punkt przecięcia dwusiecznych kątów.
Pułapka: symetralna musi spełniać oba warunki naraz: przechodzić przez środek i być prostopadła. Sama prosta przez środek odcinka nie jest symetralną.
Trójkąt Pascala (klasa 2 LO)
Co robi: każdy wyraz jest sumą dwóch wyrazów nad nim; wiersze dają współczynniki dwumianu Newtona.
Przykład: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — współczynniki $1,3,3,1$.
Suma kątów w trójkącie (klasa 4 SP)
Co robi: suma miar kątów każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
Rodzaje: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny; równoboczny, równoramienny, różnoboczny.
Układ suma i różnica (klasa 1 LO)
Co robi: po dodaniu równań otrzymujemy $2x=s+d$.
Wynik: $x=\frac{s+d}{2}$, $y=\frac{s-d}{2}$.
Wielokąty podobne — stosunek pól (klasa 1 LO)
Co robi: stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali podobieństwa.
Elementy: $k$ to skala; stosunek obwodów równa się $k$.
Współczynnik kierunkowy i warunki wzajemnego położenia prostych
Co robi: wyznacza nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty i rozstrzyga, czy dwie proste są równoległe, czy prostopadłe.
Elementy: $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$ to punkty prostej, $a$ — współczynnik kierunkowy w postaci $y=ax+b$.
Interpretacja: $a$ mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Dla $a>0$ funkcja rośnie, dla $a<0$ maleje, dla $a=0$ jest stała.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$. Podstawiając punkt $A$: $5=-2+b$, czyli $b=7$ i prosta ma równanie $y=-2x+7$.
Prostopadłość w praktyce: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Współliniowość: trzy punkty leżą na jednej prostej, gdy $a$ liczone dla różnych par jest takie samo.
Pułapka: przy prostopadłości nie wystarczy odwrócić ułamka — trzeba też zmienić znak. Proste o równych $a$ i równych $b$ nie są równoległe, tylko się pokrywają.
Funkcja kwadratowa — postać ogólna (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje parabolę; $a\neq0$ decyduje o kierunku ramion.
Wierzchołek: $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias (klasa 7 SP)
Co robi: zapisuje sumę w postaci iloczynu przez wyłączenie wspólnego czynnika.
Elementy: szukamy czynnika występującego w każdym wyrazie.
Przykład: $2x^2+6x=2x(x+3)$.
Pułapka: to operacja odwrotna do mnożenia przez nawias — warto sprawdzić wynik, wymnażając z powrotem.
Jedynka trygonometryczna i związki podstawowe
Co robi: pozwala wyznaczyć pozostałe funkcje trygonometryczne, znając tylko jedną z nich.
Elementy: jedynka trygonometryczna wynika z twierdzenia Pitagorasa w kole jednostkowym. Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\alpha$ ostry: $\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, więc $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ i $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Pułapka: przy pierwiastkowaniu $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ znak zależy od ćwiartki. Dla kąta ostrego bierzemy plus, ale w zadaniach o kącie rozwartym cosinus jest ujemny.
Strona 17 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.