Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Co robi: opisuje prostą na płaszczyźnie i pozwala wyznaczyć jej równanie z dwóch punktów albo z punktu i nachylenia.
Elementy: $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$), $\alpha$ — kąt nachylenia do osi $OX$. Trzeci wzór to postać kierunkowa przez punkt $(x_1,y_1)$.
Przykład: prosta przez $(1,2)$ i $(3,8)$: $a=\frac{8-2}{3-1}=3$, więc $y-2=3(x-1)$, czyli $y=3x-1$.
Pułapka: prosta pionowa $x=c$ nie ma współczynnika kierunkowego (mianownik $x_2-x_1=0$) i nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Zawsze sprawdź, czy punkty nie mają równych odciętych.
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (klasa 2 LO)
Co robi: pozwala wyznaczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego.
Elementy: $a$ naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ przy kącie, $c$ przeciwprostokątna.
Szacowanie wyników działań (klasa 5 SP)
Co robi: zastępuje liczby wartościami zaokrąglonymi, by szybko ocenić wynik.
Przykład: $19{,}8\cdot4{,}1\approx20\cdot4=80$.
Szkicowanie — przekształcenia wykresu (klasa 1 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.
Symetrie: $y=-f(x)$ względem $OX$, $y=f(-x)$ względem $OY$.
Układ dwóch równań liniowych (klasa 1 LO)
Co robi: model dwóch warunków o dwóch niewiadomych.
Metody: podstawianie lub przeciwne współczynniki.
Ułamek danej liczby (klasa 5 SP)
Co robi: aby obliczyć ułamek liczby, mnożymy ułamek przez tę liczbę.
Przykład: $\frac{3}{4}$ z $20$ to $\frac{3}{4}\cdot20=15$.
Wariacje z powtórzeniami
Co robi: zlicza $k$-elementowe ciągi ze zbioru $n$-elementowego, gdy kolejność jest istotna, a elementy mogą się powtarzać.
Elementy: $n$ to liczba dostępnych elementów (podstawa), $k$ — liczba pozycji (wykładnik).
Skąd wzór: na każdej z $k$ pozycji wybieramy niezależnie jeden z $n$ elementów — reguła mnożenia daje $n\cdot n\cdot\ldots=n^k$.
Przykłady: PIN-y z cyfr $0$–$9$ długości $4$: $10^4$; ciągi binarne długości $6$: $2^6=64$; liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy: $n^k$; liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego: $2^n$.
Pułapka: nie zamień podstawy z wykładnikiem — to $n^k$, nie $k^n$. W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem.
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego
Co robi: oblicza miarę jednego kąta wewnętrznego wielokąta foremnego oraz sumę wszystkich jego kątów.
Elementy: $n$ — liczba boków (i wierzchołków). Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc sumę dzielimy równo przez $n$.
Przykład: sześciokąt foremny ($n=6$): suma $= (6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ$, jeden kąt $= \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.
Pułapka: dzielenie przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. W dowolnym pięciokącie suma kątów też wynosi $540^\circ$, ale poszczególne kąty mogą być różne.
Zadania tekstowe prowadzące do równań (klasa 7 SP)
Co robi: niewiadomą oznaczamy literą i zapisujemy warunek jako równanie.
Przykład: „liczba powiększona o $7$ daje $20$": $x+7=20$, więc $x=13$.
Zamiana jednostek długości i masy (klasa 4 SP)
Co robi: zamienia podstawowe jednostki długości i masy.
Elementy: $1$ km $=1000$ m, $1$ cm $=10$ mm, $1$ t $=1000$ kg.
Zaokrąglanie liczb
Co robi: zastępuje liczbę wartością przybliżoną, wygodniejszą w szacowaniu i rachunkach pamięciowych.
Elementy: decyduje pierwsza cyfra odrzucana — ta stojąca bezpośrednio za miejscem, do którego zaokrąglamy. Pozostałe cyfry za nią nie mają znaczenia.
Przykład: $3\,748$ do setek — cyfra dziesiątek to $4$, więc w dół: $3\,700$. Natomiast $3\,750$ do setek — cyfra dziesiątek to $5$, więc w górę: $3\,800$.
Pułapka: nie zaokrąglamy „kaskadowo”. Liczby $3\,748$ nie zaokrąglamy najpierw do $3\,750$, a potem do $3\,800$ — patrzymy od razu na właściwą cyfrę.
Twierdzenie Pitagorasa (klasa 7 SP)
Co robi: wiąże długości boków trójkąta prostokątnego.
Elementy: $a,b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego).
Przykład: dla $a=3$, $b=4$ mamy $c=\sqrt{9+16}=5$.
Pułapka: wzór działa tylko w trójkącie prostokątnym; $c$ zawsze stoi przy kącie prostym.
Czworokąty — suma kątów i pola (klasa 7 SP)
Co robi: podaje sumę kątów czworokąta i pole prostokąta.
Elementy: suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$; pole równoległoboku to $a\cdot h$.
Przykład: w prostokącie o bokach $4$ i $5$ pole wynosi $20$.
Pułapka: pole prostokąta liczymy z boków, a równoległoboku z boku i wysokości, nie z drugiego boku.
Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach (klasa 4 SP)
Co robi: przy równych mianownikach dodajemy tylko liczniki.
Przykład: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$.
Kolejność działań na ułamkach zwykłych (klasa 5 SP)
Co robi: ustala kolejność działań łącznych na ułamkach.
Wskazówka: mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem.
Funkcja okresowa (klasa 3 LO)
Co robi: wartości funkcji powtarzają się co okres $T$.
Przykład: $\sin x$ ma okres $2\pi$, $\operatorname{tg} x$ ma okres $\pi$.
Jakim procentem jest liczba (klasa 6 SP)
Co robi: liczy, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$.
Przykład: $15$ stanowi $\frac{15}{60}\cdot100\%=25\%$ liczby $60$.
Kąt środkowy i kąt wpisany
Co robi: wiąże kąt środkowy z kątem wpisanym opartym na tym samym łuku — podstawowe narzędzie zadań o okręgu.
Elementy: kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, wpisany — na okręgu. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Przykład: kąt wpisany oparty na półokręgu (średnicy) ma miarę $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$ — to twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półokrąg.
Pułapka: oba kąty muszą być oparte na tym samym łuku. Jeśli kąt wpisany opiera się na łuku dopełniającym, zależność dotyczy kąta środkowego wypukłego o mierze $360^\circ-\alpha$.
Kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu
Co robi: wiąże kąt środkowy z kątem wpisanym opartym na tym samym łuku — podstawowe narzędzie zadań o okręgu.
Elementy: oba kąty oparte na tym samym łuku; wszystkie kąty wpisane oparte na jednym łuku są równe.
Twierdzenie Talesa o okręgu: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ (bo odpowiadający kąt środkowy to $180^\circ$).
Przykład: kąt wpisany $30^\circ$ → kąt środkowy $60^\circ$. Kąt wpisany oparty na łuku równym $\tfrac14$ okręgu ma $45^\circ$.
Pułapka: to kąt wpisany jest połową środkowego, nie odwrotnie. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.
Kolejność wykonywania działań
Co robi: ustala, w jakiej kolejności liczymy wyrażenie z wieloma działaniami, żeby każdy otrzymał ten sam wynik.
Elementy: najpierw działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego), potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej), na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).
Przykład: $2 + 3 \cdot 4^2 = 2 + 3 \cdot 16 = 2 + 48 = 50$. Gdyby liczyć od lewej: $2+3=5$, $5\cdot16=80$ — błąd.
Pułapka: mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej. $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$, a nie $24 : 8 = 3$.
Konstrukcje geometryczne (klasa 6 SP)
Co robi: konstrukcje wykonujemy wyłącznie cyrklem i linijką bez podziałki.
Przykłady: symetralna odcinka, dwusieczna kąta, kąt $60^\circ$.
Asymptoty wykresu funkcji
Co robi: wskazuje proste, do których wykres zbliża się nieograniczenie — to szkielet, na którym rysujemy krzywą.
Asymptota pionowa: szukamy jej tam, gdzie zeruje się mianownik. Wystarczy, że granica jest nieskończona z jednej strony.
Asymptota pozioma: liczymy granicę w plus i minus nieskończoności. Dla ilorazu wielomianów o równych stopniach to iloraz współczynników wiodących.
Przykład: funkcja $f(x)=\frac{3x-6}{x+2}$ ma asymptotę pionową $x=-2$ (zerowanie mianownika przy niezerowym liczniku) i poziomą $y=3$.
Wykluczenie: asymptota pozioma i ukośna nie mogą występować jednocześnie po tej samej stronie.
Pułapka: zerowanie mianownika samo w sobie nie wystarcza. Jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i zamiast asymptoty powstanie tylko „dziura” w wykresie — nieciągłość usuwalna, jak w $\frac{x^2-4}{x-2}$ w punkcie $x=2$.
Liczby rzymskie — znaki i reguła odejmowania
Co robi: pozwala zapisywać i odczytywać liczby w systemie rzymskim, używanym do dziś w numeracji rozdziałów, wieków i na tarczach zegarów.
Elementy: znaki dodajemy, gdy idą od największego do najmniejszego ($XVI=16$). Gdy znak mniejszy stoi przed większym, następuje odejmowanie ($IV=4$, $IX=9$, $XL=40$, $CM=900$).
Przykład: $XIV=10+(5-1)=14$; $MCMLXXXIV=1000+900+50+30+4=1984$.
Pułapka: tego samego znaku nie powtarzamy więcej niż trzy razy — $4$ to $IV$, a nie $IIII$. Odejmować wolno tylko $I$ od $V$ i $X$, $X$ od $L$ i $C$, $C$ od $D$ i $M$.
Zapis liczb znakami rzymskimi
Co robi: pozwala zapisać i odczytać liczbę w systemie rzymskim, używanym do dziś w numeracji rozdziałów, wieków i na tarczach zegarów.
Elementy: siedem znaków podstawowych. Znaki ustawione od największego dodajemy; mniejszy znak postawiony przed większym oznacza odejmowanie.
Przykład: $XVI=10+5+1=16$, $IV=5-1=4$, $XL=50-10=40$, $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.
Zasady: tego samego znaku nie powtarzamy więcej niż trzy razy, a odejmować wolno wyłącznie znakami $I$, $X$ i $C$.
Pułapka: kolejność decyduje o wartości — $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$. Zapis $IIII$ jest niepoprawny, prawidłowo piszemy $IV$.
Strona 16 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.