Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Działania na pierwiastkach — liczby niewymierne (klasa 1 LO)
Co robi: podaje podstawowe reguły działań na pierwiastkach.
Elementy: $a,b\ge0$; liczby takie jak $\sqrt{2}$ są niewymierne.
Przykład: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$.
Cena netto, brutto i podatek VAT
Co robi: przelicza cenę w obie strony — z netto na brutto i odwrotnie.
Elementy: $N$ to cena netto (bez podatku), $B$ — brutto (z podatkiem), $V$ — stawka VAT w procentach.
Stawki w Polsce: podstawowa $23\%$ (mnożnik $1{,}23$), obniżone $8\%$ i $5\%$.
Przykład: netto $400$ zł przy VAT $23\%$ daje brutto $400\cdot1{,}23=492$ zł. W drugą stronę: brutto $246$ zł daje netto $\frac{246}{1{,}23}=200$ zł.
Pułapka: aby z brutto otrzymać netto, trzeba dzielić przez mnożnik, a nie odejmować $23\%$ od ceny brutto. Od $123$ zł odjęcie $23\%$ daje błędne $94{,}71$ zł zamiast poprawnych $100$ zł — podatek liczony jest od netto.
Procent składany i kapitalizacja odsetek
Co robi: oblicza kwotę na lokacie po $n$ okresach, gdy odsetki są dopisywane do kapitału i same zaczynają procentować.
Elementy: $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ oprocentowanie w procentach za jeden okres, $n$ liczba okresów kapitalizacji, $K_n$ kwota końcowa.
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ rocznie daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł. Bez kapitalizacji byłoby $1200$ zł — te dodatkowe $10$ zł to właśnie odsetki od odsetek.
Podatek od zysku: od naliczonych odsetek bank pobiera $19\%$, więc do wypłaty zostaje $0{,}81$ ich wartości.
Pułapka: gdy kapitalizacja jest częstsza niż roczna, $p$ trzeba podzielić przez liczbę okresów w roku, a $n$ odpowiednio zwiększyć. Przy oprocentowaniu $12\%$ z kapitalizacją miesięczną liczymy $\left(1+\frac{1}{100}\right)^{12}$, a nie $1{,}12$.
Miara łukowa kąta — radiany
Co robi: wprowadza radian — miarę kąta, w której wzory na długość łuku i pole wycinka nie zawierają liczby $360$.
Elementy: $1$ radian to kąt środkowy wycinający łuk o długości równej promieniowi. $\alpha$ we wzorach na $l$ i $P$ musi być w radianach.
Przykład: $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $30^\circ=\frac{\pi}{6}$. Dla $r=6$ i $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $l=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$, $P=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot\frac{\pi}{3}=6\pi$.
Pułapka: podstawienie kąta w stopniach do $l=r\alpha$ daje wynik kilkadziesiąt razy za duży. Zawsze najpierw przelicz na radiany.
Miara łukowa, długość łuku i pole wycinka
Co robi: przelicza kąty na radiany i liczy długość łuku oraz pole wycinka koła.
Elementy: $\alpha$ to kąt środkowy w radianach, $r$ — promień, $l$ — długość łuku, $P$ — pole wycinka.
Zamiana jednostek: stopnie na radiany mnożymy przez $\frac{\pi}{180^\circ}$, radiany na stopnie przez $\frac{180^\circ}{\pi}$.
Przykład: dla $r=6$ i $\alpha=\frac{\pi}{3}$ mamy $l=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$; dla $r=4$, $\alpha=\frac{3\pi}{4}$ pole $P=\frac12\cdot16\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi$.
Pułapka: wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ działają tylko dla kąta w radianach. Przy stopniach trzeba najpierw przeliczyć.
Rodzaje kątów (klasa 4 SP)
Co robi: porządkuje miary kątów mierzone kątomierzem.
Elementy: ostry $<90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$.
Reguła znaków w mnożeniu i dzieleniu
Co robi: ustala znak wyniku mnożenia i dzielenia liczb ze znakami — ta sama reguła obowiązuje dla obu działań.
Elementy: znaki jednakowe dają wynik dodatni, znaki różne — ujemny. Skrót pamięciowy: minus razy minus daje plus.
Przykład: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$; $(-3)\cdot 5=-15$.
Potęgowanie: parzysty wykładnik daje wynik dodatni, nieparzysty ujemny — $(-2)^2=4$, ale $(-2)^3=-8$.
Pułapka: reguła dotyczy tylko mnożenia i dzielenia. Przy dodawaniu działa inaczej: $-5+3=-2$, a nie $-8$. Uważaj też na zapis $-2^2$ (równe $-4$) kontra $(-2)^2$ (równe $4$).
Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną (klasa 7 SP)
Co robi: stosuje prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Elementy: jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy z osobna.
Przykład: $2x(x+3)=2x^2+6x$.
Pułapka: pilnuj znaków: $-3(x-2)=-3x+6$.
Nierówność trójkąta
Co robi: sprawdza, czy z trzech danych odcinków da się zbudować trójkąt.
Elementy: $a$, $b$, $c$ — długości boków. Warunek: każdy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych i dłuższy od ich różnicy — musi to zachodzić dla wszystkich trzech boków.
Przykład: odcinki $3, 4, 5$: $5 < 3+4 = 7$ ✔ — trójkąt istnieje. Odcinki $2, 3, 9$: $9 > 2+3 = 5$ ✘ — trójkąta nie zbudujemy.
Pułapka: wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku — jeśli on jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych, reszta nierówności zachodzi automatycznie.
Objętość brył — zestawienie wzorów
Co robi: podaje objętość podstawowych brył, od najprostszej do najogólniejszej.
Elementy: $a$, $b$, $c$ to wymiary prostopadłościanu, $P_p$ pole podstawy, $H$ wysokość bryły. Wzór z polem podstawy obejmuje wszystkie pozostałe przypadki.
Przykład: prostopadłościan $4\times5\times6$ ma objętość $120$ cm$^3$; graniastosłup o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm ma $126$ cm$^3$.
Jednostki: $1$ dm$^3=1000$ cm$^3$, $1$ m$^3=1\,000\,000$ cm$^3$, a $1$ litr to dokładnie $1$ dm$^3$.
Skala: przy powiększeniu wszystkich wymiarów $k$ razy objętość rośnie $k^3$ razy — podwojenie krawędzi sześcianu daje objętość $8$ razy większą.
Pułapka: nie mylić objętości z polem powierzchni. Objętość podajemy w cm$^3$, pole w cm$^2$. Przelicznik jednostek objętości to $1000$ lub milion, nigdy $100$.
Objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego
Co robi: oblicza, ile miejsca zajmuje graniastosłup ($V$) i ile materiału potrzeba na jego powierzchnię ($P_c$).
Elementy: $P_p$ — pole podstawy, $H$ — wysokość bryły, $Ob_p$ — obwód podstawy, $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole całkowite. Graniastosłup ma dwie identyczne podstawy — stąd $2P_p$.
Przykład: graniastosłup o podstawie prostokąta $3 \times 4$ i wysokości $10$: $P_p = 12$, $V = 12 \cdot 10 = 120$; $Ob_p = 14$, $P_b = 14 \cdot 10 = 140$, $P_c = 2\cdot 12 + 140 = 164$.
Pułapka: nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością figury w podstawie (np. wysokością trójkąta podstawy) — to dwie różne wielkości.
Zamiana jednostek objętości i pojemności
Co robi: łączy jednostki objętości z jednostkami pojemności — to przejście potrzebne w każdym zadaniu o akwarium, basenie czy kanistrze.
Elementy: litr jest zdefiniowany jako objętość sześcianu o krawędzi $1$ dm, czyli $10$ cm. Stąd $10\cdot10\cdot10 = 1000$ cm$^3$.
Zasada: przelicznik jednostek objętości jest sześcianem przelicznika długości: $1$ m $=100$ cm, więc $1$ m$^3 = 100^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$.
Warto zapamiętać: $1$ ml $=1$ cm$^3$, a $1$ m$^3 = 1000$ litrów.
Przykład: basen $25\times10\times2$ m ma $500$ m$^3$, czyli $500\,000$ litrów. Akwarium $60\times30\times30$ cm to $54\,000$ cm$^3$, czyli $54$ litry.
Pułapka: $1$ m$^3$ to nie $100$ litrów ani $100\,000$ cm$^3$. Przy objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi, nie do drugiej.
Obliczanie liczby z danego procentu
Co robi: odtwarza całość, gdy znamy jej część procentową — działanie odwrotne do liczenia procentu z liczby.
Elementy: $w$ — znana wartość (część), $p$ — ile procent całości stanowi ta wartość, $a$ — szukana całość.
Przykład: $15\%$ pewnej liczby to $45$. Wtedy $a = \frac{45 \cdot 100}{15} = \frac{4500}{15} = 300$. Sprawdzenie: $15\%$ z $300 = 45$. ✔
Pułapka: uważnie czytaj, czy podana liczba jest częścią, czy całością — to najczęstsze źródło błędów w zadaniach tekstowych.
Liczba osi symetrii wielokąta foremnego (klasa 8 SP)
Co robi: podaje liczbę osi symetrii wielokąta foremnego.
Elementy: $n$-kąt foremny ma dokładnie $n$ osi symetrii.
Przykład: kwadrat ($n=4$) ma $4$ osie, trójkąt równoboczny $3$.
Objętość ostrosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje objętość ostrosłupa.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $H$ to wysokość (odległość wierzchołka od podstawy).
Przykład: dla pola podstawy $9$ i wysokości $4$ objętość wynosi $\frac{1}{3}\cdot9\cdot4=12$.
Ostrosłup — pole powierzchni i objętość
Co robi: opisuje objętość i pole powierzchni ostrosłupa — bryły o jednej podstawie i trójkątnych ścianach bocznych.
Elementy: $P_p$ — pole podstawy, $H$ — wysokość bryły, $n$ — liczba ścian bocznych, $a$ — krawędź podstawy, $h$ — wysokość ściany bocznej (apotema).
Skąd bierze się jedna trzecia: trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Związek $H$ i $h$ w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym: $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$. Dla $a=10$ i $h=13$ wychodzi $H = 12$.
Przykład: podstawa kwadratowa o boku $10$ (pole $100$), apotema $13$. Wtedy $P_b = 4\cdot\frac{10\cdot13}{2} = 260$, więc $P_c = 360$.
Pułapka: pominięcie $\frac13$ przy objętości — to błąd numer jeden. Numer dwa: wstawienie wysokości bryły zamiast wysokości ściany do wzoru na pole boczne. Zawsze sprawdź, którą wielkość podano w treści.
Pole trójkąta w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Co robi: liczy pole trójkąta z współrzędnych wierzchołków.
Przykład: dla $(0,0),(4,0),(0,3)$ pole wynosi $6$.
Porównywanie ułamków zwykłych (klasa 4 SP)
Co robi: ułamki o równych mianownikach porównujemy po licznikach.
Elementy: ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy najpierw do wspólnego mianownika.
Potęga potęgi (klasa 7 SP)
Co robi: upraszcza podnoszenie potęgi do potęgi.
Elementy: podstawa $a$ bez zmian, a wykładniki mnożymy.
Przykład: $(3^2)^2=3^{4}=81$.
Pułapka: nie myl z iloczynem potęg $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, gdzie wykładniki dodajemy.
Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
Co robi: pierwszy wzór liczy prawdopodobieństwo zdarzenia rozbitego na przypadki, drugi odwraca kierunek pytania — znamy skutek, pytamy o przyczynę.
Elementy: $B_i$ to rozłączne przypadki pokrywające całą przestrzeń (gałęzie drzewa stochastycznego), $A$ — zdarzenie, o które pytamy.
Jak czytać pierwszy wzór: to sumowanie po wszystkich ścieżkach drzewa prowadzących do $A$ — każda ścieżka wnosi iloczyn „prawdopodobieństwo gałęzi razy prawdopodobieństwo warunkowe”.
Przykład: dwie linie produkcyjne dają $70\%$ i $30\%$ produkcji przy wadliwości $2\%$ i $5\%$. Wtedy $P(W)=0{,}7\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}05=0{,}029$, czyli $2{,}9\%$ braków.
Wzór Bayesa na tym samym przykładzie: wylosowany brak pochodzi z pierwszej linii z prawdopodobieństwem $\frac{0{,}014}{0{,}029}\approx0{,}48$ — mimo że ta linia produkuje ponad dwa razy więcej, jest wyraźnie mniej awaryjna.
Paradoks testu medycznego: przy czułości $99\%$, $2\%$ fałszywych alarmów i chorobie u $1\%$ populacji dodatni wynik oznacza chorobę tylko z prawdopodobieństwem $\frac13$. Powód: zdrowych jest $99$ razy więcej, więc nawet mały odsetek pomyłek daje w liczbach bezwzględnych dwa razy więcej fałszywych alarmów niż prawdziwych wykryć.
Kontrola wyniku: prawdopodobieństwo całkowite to średnia ważona, więc musi leżeć między najmniejszym a największym z $P(A|B_i)$.
Pułapka: mylenie $P(A|B)$ z $P(B|A)$ — to zwykle zupełnie różne liczby.
Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność i wzór Bayesa
Co robi: opisuje, jak informacja o zajściu jednego zdarzenia zmienia szansę drugiego, i pozwala „odwrócić” warunek.
Elementy: $P(A|B)$ — prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$ (wymaga $P(B)>0$). Wzór Bayesa przelicza $P(A|B)$ na podstawie $P(B|A)$.
Przykład: rzut kostką, $B$ = „wypadła liczba parzysta”, $A$ = „wypadło 6”. Wtedy $P(A|B)=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$.
Pułapka: $P(A|B)\ne P(B|A)$ — to zupełnie różne wielkości. Nie myl też zdarzeń niezależnych z rozłącznymi: rozłączne zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie są zawsze zależne.
Przesunięcie funkcji wykładniczej (klasa 2 LO)
Co robi: przesuwa wykres $y=a^x$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: asymptota pozioma przesuwa się do $y=q$.
Równanie liniowe (klasa 8 SP)
Co robi: podaje rozwiązanie równania pierwszego stopnia.
Elementy: przenosimy wyraz wolny i dzielimy przez współczynnik przy $x$.
Przykład: $3x-9=0$ daje $x=3$.
Równanie z niewiadomą (klasa 6 SP)
Co robi: równanie to równość z niewiadomą, np. $x$.
Rozwiązanie: liczba, która wstawiona w miejsce $x$ czyni równość prawdziwą.
Strona 15 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.