Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Średnia arytmetyczna
Co robi: wyznacza wartość przeciętną zestawu liczb.
Elementy: $x_1, \dots, x_n$ — kolejne dane, $n$ — ile jest danych, $\bar{x}$ — średnia. Sumujemy wszystko i dzielimy przez liczbę składników.
Przykład: oceny $4, 5, 3, 4$: $\bar{x} = \frac{4+5+3+4}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Pułapka: gdy dane się powtarzają, każde wystąpienie liczy się osobno. Dla ocen $5, 5, 5, 2$ mamy $n = 4$, a nie $2$: $\bar{x} = \frac{17}{4} = 4{,}25$.
Szkicowanie wykresu — plan (klasa 1 LO)
Co robi: porządkuje kroki: dziedzina $D$, zbiór wartości $ZW$, miejsca zerowe $x_0$.
Dalej: znak funkcji, monotoniczność, punkty charakterystyczne.
Cechy przystawania trójkątów (klasa 1 LO)
Co robi: podaje warunki przystawania: bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Elementy: trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty.
Trygonometria — wysokość z kąta (klasa 2 LO)
Co robi: liczy wysokość obiektu z odległości $d$ i kąta wzniesienia $\alpha$.
Przykład: dla $d=10$ i $\alpha=45^\circ$: $h=10\cdot1=10$.
Budowa twierdzenia (klasa 8 SP)
Co robi: twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to"), którą uzasadnia dowód.
Kontrprzykład: jeden przykład obala zdanie ogólne.
Redukcja wyrazów podobnych (klasa 6 SP)
Co robi: sumuje wyrazy podobne, czyli o tej samej części literowej.
Przykład: $3x+5x=8x$; $7a-2a=5a$.
Funkcja liniowa — miejsce zerowe (klasa 1 LO)
Co robi: opisuje funkcję liniową i jej miejsce zerowe (dla $a\neq0$).
Elementy: $a$ to współczynnik kierunkowy, $b$ wyraz wolny; $a>0$ funkcja rosnąca, $a<0$ malejąca.
Własności prawdopodobieństwa
Co robi: pozwala liczyć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i korzystać ze zdarzenia przeciwnego.
Elementy: $A'$ — zdarzenie przeciwne do $A$. Odjęcie $P(A\cap B)$ jest konieczne, żeby nie liczyć części wspólnej dwa razy. Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$.
Przykład: „co najmniej jedna szóstka w dwóch rzutach kostką” liczymy przez zdarzenie przeciwne: $1-\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{11}{36}$.
Pułapka: zwrot „co najmniej jeden” prawie zawsze wygodniej policzyć jako $1-P(\text{żaden})$ — liczenie wprost wymaga sumowania wielu przypadków i łatwo o pominięcie.
Okrąg i prosta — warunek położenia (klasa 2 LO)
Co robi: odległość $d$ środka od prostej rozstrzyga położenie.
Elementy: $d
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny (klasa 5 SP)
Co robi: ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
Przykład: $\frac{3}{4}=3:4=0{,}75$.
Średnia arytmetyczna danych (klasa 8 SP)
Co robi: oblicza średnią zebranych danych.
Elementy: sumujemy wszystkie wartości i dzielimy przez ich liczbę $n$.
Przykład: dla danych $3,5,7,9$ średnia to $\frac{24}{4}=6$.
Ciągi — wzory maturalne (klasa 4 LO)
Co robi: zestawia wzory na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Sumy: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n$ oraz $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$.
Ciąg określony rekurencyjnie (klasa 3 LO)
Co robi: zadaje ciąg przez pierwszy wyraz i regułę przejścia.
Przykład: $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2$ daje $1,3,5,7,\ldots$
Średnia a mediana (klasa 8 SP)
Co robi: zestawia dwie miary tendencji centralnej.
Elementy: średnia $\bar{x}$ uwzględnia wszystkie dane, a mediana $Me$ to wartość środkowa uporządkowanego zbioru.
Przykład: dla $1,2,3,100$ średnia to $26{,}5$, a mediana $2{,}5$ — pojedyncza duża wartość zawyża średnią.
Działania łączne na ułamkach dziesiętnych (klasa 5 SP)
Co robi: stosuje kolejność działań do ułamków dziesiętnych.
Wskazówka: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie.
Suma i część wspólna przedziałów
Co robi: pozwala poprawnie zapisać zbiór rozwiązań układu lub alternatywy warunków.
Elementy: układ nierówności (warunki muszą zachodzić jednocześnie) daje część wspólną. Alternatywa (wystarczy jeden warunek) daje sumę.
Przykład: $\langle1,5)\cap(3,8\rangle=(3,5)$ — bierzemy tylko to, co należy do obu. Natomiast $|x|>2$ daje $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ — dwa rozłączne kawałki.
Metoda: zaznacz oba przedziały na jednej osi liczbowej; część wspólna to obszar podwójnie zakreskowany, suma — cały zakreskowany.
Pułapka: część wspólna przedziałów rozłącznych jest zbiorem pustym, a nie „całą osią”. Uważaj też na końce — przy przecięciu punkt należy do wyniku tylko wtedy, gdy należał do obu przedziałów.
Dzielenie z resztą
Co robi: opisuje wynik dzielenia, które nie wychodzi równo, i pozwala odtworzyć dzielną, gdy znamy pozostałe składniki.
Elementy: $a$ to dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz (wynik), $r$ — reszta.
Kluczowy warunek: reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika. Gdyby była równa lub większa, dałoby się wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.
Przykład: $47 = 5\cdot9 + 2$, więc $47:5$ daje iloraz $9$ i resztę $2$.
Zadanie odwrotne: dzielnik $9$, iloraz $12$, reszta $5$ dają $9\cdot12+5 = 113$.
Pułapka w zadaniach praktycznych: reszty nie zawsze się odrzuca. Przy $180$ uczniach i autokarach po $52$ miejsca mamy $3$ reszty $24$ — ale zamawiamy cztery autokary. Przy pytaniu „ile pełnych pudełek” resztę odrzucamy. Decyduje treść zadania, nie sam rachunek.
Dzielenie z resztą — wzór sprawdzający
Co robi: pozwala zapisać wynik dzielenia, które „nie wychodzi równo”, i sprawdzić, czy obliczenia są poprawne.
Elementy: $a$ — dzielna (liczba dzielona), $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz (wynik całkowity), $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika i nieujemna.
Przykład: $47 : 5 = 9$ r. $2$, bo $47 = 5 \cdot 9 + 2$ oraz $0 \le 2 < 5$. ✔
Pułapka: jeśli otrzymasz resztę równą dzielnikowi lub większą (np. „r. 5” przy dzieleniu przez 5), to znak, że iloraz jest za mały — trzeba go zwiększyć o 1.
Granice niewłaściwe (klasa 3 LO)
Co robi: opisuje sytuację, gdy funkcja rośnie nieograniczenie.
Przykład: $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$.
Odchylenie standardowe (klasa 3 LO)
Co robi: mierzy przeciętne odchylenie danych od średniej.
Elementy: $\sigma^2$ to wariancja; mniejsze $\sigma$ oznacza dane bardziej skupione.
Kąty w bryłach — metoda rozwiązywania
Co robi: porządkuje sposób wyznaczania kątów w bryłach — kąta między krawędzią a podstawą oraz kąta dwuściennego.
Elementy: kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Kąt dwuścienny mierzymy w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi wspólnej. Kluczowa technika: wskaż odpowiedni trójkąt prostokątny i zastosuj trygonometrię.
Przykład: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną a podstawą spełnia $\cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}d}{b}$, gdzie $d$ — przekątna podstawy, $b$ — krawędź boczna.
Pułapka: kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy liczymy przez apotemę (wysokość ściany), a kąt nachylenia krawędzi — przez połowę przekątnej podstawy. To dwa różne kąty w tej samej bryle.
Kolejność wykonywania działań (klasa 6 SP)
Co robi: określa, w jakiej kolejności wykonujemy działania.
Przykład: $(2+3)\cdot4=20$; $2+3\cdot4=14$.
Długość okręgu i pole koła
Co robi: oblicza obwód okręgu (długość linii) i pole koła (powierzchnię wewnątrz).
Elementy: $r$ — promień, $d = 2r$ — średnica, $\pi \approx 3{,}14$ — stała będąca stosunkiem obwodu do średnicy każdego okręgu.
Przykład: dla $r = 5\,\text{cm}$: $l = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4\,\text{cm}$, $P = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5\,\text{cm}^2$.
Pułapka: w polu podnosimy do kwadratu promień, nie średnicę. Mając $d = 10$, najpierw policz $r = 5$, dopiero potem $P = \pi r^2$. Częsty błąd: $\pi \cdot 10^2$ — wynik czterokrotnie za duży.
Wspólna styczna dwóch okręgów (klasa 2 LO)
Co robi: liczba wspólnych stycznych zależy od odległości środków $d$ i promieni $R,r$.
Przypadki: rozłączne zewnętrznie — $4$ styczne; styczne zewnętrznie — $3$; przecinające się — $2$.
Strona 14 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.