Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Co robi: oblicza szansę zajścia zdarzenia, gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo możliwe.
Elementy: $|A|$ — liczba zdarzeń sprzyjających (tych, które nas interesują), $|\Omega|$ — liczba wszystkich możliwych wyników. Wynik zawsze mieści się między $0$ (zdarzenie niemożliwe) a $1$ (pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „wypadła liczba parzysta”: $|A| = 3$ (2, 4, 6), $|\Omega| = 6$, więc $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Pułapka: wzór wymaga, by wszystkie wyniki były jednakowo prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega| = 36$ (pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — sumy nie są równie prawdopodobne.
Obliczanie procentu liczby
Co robi: wyznacza, ile wynosi dana część procentowa liczby — podstawa wszystkich obliczeń procentowych.
Elementy: $p$ — liczba procentów, $a$ — liczba, z której liczymy procent. Zapis $p\%$ oznacza dokładnie $\frac{p}{100}$.
Przykład: $23\%$ z $400$: $\frac{23}{100} \cdot 400 = 23 \cdot 4 = 92$.
Pułapka: $100\%$ to cała liczba ($\frac{100}{100} = 1$), a $200\%$ to jej dwukrotność. Procent większy od 100 jest zupełnie poprawny.
Obliczenia pieniężne (klasa 4 SP)
Co robi: zamienia złote na grosze i odwrotnie.
Przykład: $2{,}50$ zł $=250$ gr; reszta $=$ zapłacono $-$ cena.
Obliczenia praktyczne z polami (klasa 6 SP)
Co robi: stosuje wzory na pola w zadaniach praktycznych (działka, pokój, ogród).
Wskazówka: pilnujemy zgodności jednostek (m, cm).
Odchylenie standardowe i średnia ważona
Co robi: mierzy rozrzut danych wokół średniej ($\sigma$) oraz liczy średnią, gdy dane mają różną „wagę”.
Elementy: $x_i$ — dane, $\bar{x}$ — średnia arytmetyczna, $n$ — liczebność, $\sigma^2$ — wariancja. W średniej ważonej $w_i$ to waga (np. liczba godzin, liczba powtórzeń).
Przykład: dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$, odchylenia $-2,0,0,2$, $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt2$.
Pułapka: odchylenia trzeba podnieść do kwadratu przed sumowaniem — suma samych odchyleń zawsze wynosi zero. Jednostka $\sigma$ jest ta sama co danych, a wariancji — kwadratowa.
Odczytywanie danych z tabel i wykresów (klasa 6 SP)
Co robi: odczytuje wartości, przypisując argumentowi odpowiadającą mu wartość.
Wskazówka: zwracamy uwagę na jednostki i skalę osi.
Odległość punktu od prostej (klasa 3 LO)
Co robi: liczy odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Przykład: odległość $(0,0)$ od $3x+4y-10=0$ to $\frac{10}{5}=2$.
Ostrosłup — apotema i krawędź boczna
Co robi: wiąże wysokość ostrosłupa prawidłowego z apotemą (wysokością ściany bocznej) i z krawędzią boczną.
Elementy: $H$ to wysokość ostrosłupa, $a$ — krawędź podstawy, $d$ — przekątna podstawy, $h_b$ — apotema, $k$ — krawędź boczna.
Skąd te wzory: to twierdzenie Pitagorasa w dwóch różnych trójkątach prostokątnych. Do apotemy bierzemy połowę boku (odległość środka podstawy do środka jej krawędzi), do krawędzi bocznej — połowę przekątnej (odległość środka do wierzchołka).
Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $6$ i wysokości $4$ ma apotemę $h_b=\sqrt{16+9}=5$.
Pułapka: nie myl apotemy (używa połowy boku) z krawędzią boczną (używa połowy przekątnej). To dwa różne odcinki i dwa różne trójkąty.
Graniastosłup — pole powierzchni i objętość
Co robi: opisuje wszystkie trzy wielkości graniastosłupa prostego — objętość, pole boczne i pole całkowite.
Elementy: $P_p$ to pole podstawy, $O_p$ — obwód podstawy, $H$ — wysokość bryły.
Skąd wzór na pole boczne: rozwinięte ściany boczne tworzą jeden prostokąt o wymiarach „obwód podstawy” na „wysokość”. Dlatego nie trzeba liczyć ścian pojedynczo.
Szczególne przypadki: prostopadłościan $V = abc$ oraz $P_c = 2(ab+ac+bc)$; sześcian $V = a^3$ oraz $P_c = 6a^2$.
Przykład: podstawa trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $8$ (pole $24$), wysokość $10$. Wtedy $V = 240$, a obwód podstawy $6+8+10=24$, więc $P_b = 240$.
Pułapka: mylenie jednostek — objętość w cm$^3$, pole w cm$^2$. Druga pułapka to liczenie sześcianu: $5^3 = 125$ to objętość, a $6\cdot5^2 = 150$ to pole.
Pole boczne graniastosłupa (klasa 8 SP)
Co robi: podaje pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego.
Elementy: $O_p$ to obwód podstawy, $H$ to wysokość graniastosłupa.
Przykład: dla obwodu podstawy $12$ i wysokości $5$ pole boczne wynosi $60$.
Porównywanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Co robi: porządkuje liczby za pomocą znaków nierówności.
Zasada: liczba o większej liczbie cyfr (bez zer wiodących) jest większa.
Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek
Co robi: podaje trzy równoważne zapisy funkcji kwadratowej i współrzędne wierzchołka paraboli.
Elementy: postać ogólna (widać $c$ — przecięcie z $OY$), kanoniczna (widać wierzchołek $W=(p,q)$), iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$ przy $\Delta\ge 0$ (widać miejsca zerowe). Dla $a>0$ ramiona w górę i $q$ to minimum; dla $a<0$ — maksimum.
Przykład: $f(x)=x^2-6x+5$: $p=3$, $\Delta=36-20=16$, $q=\frac{-16}{4}=-4$, więc $W=(3,-4)$ i $f(x)=(x-3)^2-4=(x-1)(x-5)$.
Pułapka: $q$ ma minus przed deltą: $q=\frac{-\Delta}{4a}$. Bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
Iloraz potęg o tej samej podstawie (klasa 6 SP)
Co robi: przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy.
Przykład: $\frac{2^5}{2^2}=2^3=8$.
Przedziały liczbowe — zapis i działania
Co robi: zapisuje zbiory rozwiązań nierówności w zwięzłej postaci przedziałowej.
Elementy: nawias ostry $\langle\ \rangle$ (lub kwadratowy) = koniec należy do zbioru; nawias okrągły = nie należy. Przy $\pm\infty$ zawsze nawias okrągły.
Przykład: rozwiązanie $x\ge 2$ to $\langle 2,+\infty)$. Część wspólna: $\langle 1,5)\cap(3,8\rangle=(3,5)$. Suma: $(-\infty,0)\cup\langle 4,+\infty)$.
Pułapka: przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, a przy alternatywie (np. z wartości bezwzględnej typu $|x|>k$) — sumę. Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd.
Zapis przedziałów liczbowych
Co robi: zamienia warunek nierównościowy na zapis przedziałem i odwrotnie.
Elementy: nawias ostry $\langle\ \rangle$ oznacza, że koniec należy do przedziału (nierówność nieostra), a okrągły $(\ )$ — że nie należy (nierówność ostra).
Przykład: warunek $2\le x<7$ to przedział $\langle 2,\,7)$ — liczba $2$ należy, liczba $7$ nie.
Działania: część wspólna sięga od większego lewego końca do mniejszego prawego; suma od mniejszego lewego do większego prawego, o ile przedziały się zazębiają.
Wartość bezwzględna: $|x|
Pułapka: przy nieskończoności zawsze nawias okrągły — nieskończoność nie jest liczbą, więc nie może należeć do przedziału. Zapis $\langle 3,\,+\infty\rangle$ jest błędny.
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej (klasa 2 LO)
Co robi: opisuje przesunięcie wykresu $y=a^x$ o wektor $[p,q]$.
Elementy: $p$ przesuwa poziomo, $q$ pionowo; asymptota pozioma to $y=q$.
Przykład: $y=2^{x-1}+3$ ma asymptotę $y=3$.
Cechy przystawania trójkątów — zapis (klasa 8 SP)
Co robi: zapisuje przystawanie trójkątów wykorzystywane w dowodach.
Elementy: cechy przystawania to bok-bok-bok, bok-kąt-bok oraz kąt-bok-kąt.
Przykład: równe trzy pary boków (bbb) gwarantują przystawanie trójkątów.
Punkt procentowy a procent zmiany
Co robi: rozróżnia dwa sposoby opisania tej samej zmiany wielkości wyrażonej w procentach — różnicę bezwzględną i względną.
Elementy: $p_1$ to wartość początkowa, $p_2$ końcowa. Punkty procentowe to zwykłe odejmowanie; procent zmiany odnosimy zawsze do wartości początkowej.
Przykład: oprocentowanie wzrosło z $4\%$ na $6\%$. To wzrost o $6-4=2$ punkty procentowe, ale jednocześnie o $\frac{2}{4}\cdot100\%=50\%$.
Gdzie to spotkasz: w komunikatach o stopach procentowych, bezrobociu i sondażach — media często mylą te dwie miary.
Pułapka: obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na różne pytania. Zawsze sprawdzaj, czy pytanie brzmi „o ile punktów procentowych”, czy „o ile procent”.
Równania wykładnicze i logarytmiczne — metoda podstawienia
Co robi: sprowadza równanie wykładnicze (lub logarytmiczne) do kwadratowego przez podstawienie nowej zmiennej.
Elementy: podstawiamy $t=a^x$ z warunkiem $t>0$ (albo $t=\log_a x$ bez ograniczeń). Po rozwiązaniu równania kwadratowego wracamy do zmiennej $x$.
Przykład: $4^x-5\cdot 2^x+4=0$. Ponieważ $4^x=(2^x)^2$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.
Pułapka: po rozwiązaniu odrzuć pierwiastki $t\le 0$ — funkcja wykładnicza nie przyjmuje takich wartości. Zapomnienie o warunku $t>0$ daje fałszywe rozwiązania.
Równanie dwukwadratowe — podstawienie
Co robi: sprowadza równanie czwartego stopnia bez potęg nieparzystych do zwykłego równania kwadratowego.
Elementy: podstawienie $t=x^2$ wymaga warunku $t\ge0$ — kwadrat jest nieujemny.
Przykład: $x^4-5x^2+4=0$ daje $t^2-5t+4=0$, więc $t=1$ lub $t=4$, a stąd $x=\pm1$, $x=\pm2$.
Pułapka: ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają pierwiastków rzeczywistych. Gdy oba $t$ są ujemne, równanie nie ma rozwiązań.
Równania sprzeczne i tożsamościowe (klasa 7 SP)
Co robi: pokazuje dwa skrajne przypadki równań liniowych.
Elementy: $0\cdot x=0$ spełnia każda liczba (tożsamościowe), a $0\cdot x=5$ nie ma rozwiązań (sprzeczne).
Przykład: $x+1=x+2$ po redukcji daje $1=2$ — równanie sprzeczne.
Układ równań — metoda przeciwnych współczynników (klasa 1 LO)
Co robi: eliminuje jedną zmienną przez dodanie równań o przeciwnych współczynnikach.
Elementy: równania mnożymy tak, by współczynniki jednej zmiennej były przeciwne, a potem dodajemy stronami.
Przykład: $x+y=5$ i $x-y=1$ po dodaniu dają $2x=6$, $x=3$, $y=2$.
Pole powierzchni ostrosłupa z siatki (klasa 6 SP)
Co robi: pole powierzchni ostrosłupa to suma pól z jego siatki.
Elementy: $P_p$ pole jednej podstawy, $P_b$ suma pól trójkątnych ścian bocznych.
Skracanie i rozszerzanie ułamków (klasa 4 SP)
Co robi: mnożenie (lub dzielenie) licznika i mianownika przez tę samą liczbę nie zmienia wartości ułamka.
Przykład: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$; $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
Strona 13 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.