Wzory z Matematyka
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Nachylenie prostej z dwóch punktów (klasa 1 LO)
Co robi: liczy współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty.
Przykład: dla $(0,1)$ i $(2,5)$: $a=\frac{5-1}{2-0}=2$.
Wzory skróconego mnożenia (poziom podstawowy)
Co robi: pozwala szybko podnieść sumę do kwadratu i rozłożyć różnicę kwadratów na czynniki.
Elementy: $a$, $b$ — dowolne wyrażenia (liczby, zmienne, całe jednomiany). Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
Przykład: $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$; $49 - y^2 = (7-y)(7+y)$; $101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
Pułapka: $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$. Sprawdź na liczbach: $(2+3)^2 = 25$, ale $2^2 + 3^2 = 13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki rzeczywiste.
Zamiana procentu na ułamek (klasa 6 SP)
Co robi: procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$.
Przykład: $25\%=\frac{25}{100}=\frac14$; odwrotnie $\frac{1}{2}=50\%$.
Monotoniczność ciągu (klasa 3 LO)
Co robi: bada, czy ciąg rośnie, czy maleje.
Elementy: różnica dodatnia — rosnący, ujemna — malejący.
Przykład: $a_n=2n$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Kąty w wielokącie foremnym i liczba przekątnych
Co robi: podaje miarę kąta wewnętrznego i zewnętrznego wielokąta foremnego oraz liczbę jego przekątnych.
Elementy: $n$ to liczba boków, $d$ — liczba przekątnych.
Skąd wzór na przekątne: z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą policzylibyśmy dwukrotnie — z obu końców.
Przykłady: sześciokąt foremny ma kąt $120^\circ$ i $9$ przekątnych; dwunastokąt — kąt $150^\circ$ i kąt zewnętrzny $30^\circ$.
Szybsza droga: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc $\alpha_{\text{zewn}}=\frac{360^\circ}{n}$ liczy się natychmiast, a kąt wewnętrzny to $180^\circ$ minus ta wartość.
Zadanie odwrotne: wielokąt o kącie wewnętrznym $150^\circ$ ma kąt zewnętrzny $30^\circ$, więc $n=360^\circ:30^\circ=12$ boków.
Pułapka: wzory na kąt dotyczą wyłącznie wielokątów foremnych. W dowolnym wielokącie znamy tylko sumę kątów $(n-2)\cdot180^\circ$ — pojedyncze kąty mogą być różne.
Długość okręgu i pole koła (klasa 8 SP)
Co robi: podaje obwód okręgu i pole koła.
Elementy: $r$ to promień; $L$ to długość okręgu, $P$ to pole koła.
Przykład: dla $r=3$ mamy $L=6\pi$ oraz $P=9\pi$.
Odejmowanie liczb całkowitych (klasa 5 SP)
Co robi: odjęcie liczby ujemnej zamienia się na dodawanie.
Przykład: $5-(-3)=5+3=8$; $-2+(-4)=-6$.
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (klasa 7 SP)
Co robi: pokazuje opuszczanie nawiasów przy dodawaniu i odejmowaniu sum.
Elementy: przed nawiasem z minusem zmieniamy znak każdego wyrazu.
Przykład: $(2x+3)-(x-1)=2x+3-x+1=x+4$.
Dodawanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Co robi: ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy w słupku, wyrównując przecinki.
Przykład: $1{,}20+0{,}35=1{,}55$.
Dzielenie ułamków zwykłych (klasa 5 SP)
Co robi: dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika.
Przykład: $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.
Asymptoty funkcji homograficznej
Co robi: pozwala od razu odczytać asymptoty przesuniętej hiperboli i naszkicować jej wykres.
Elementy: $p$ to przesunięcie poziome, $q$ — pionowe. Wykres to hiperbola $\tfrac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$.
Asymptoty: pionowa $x=p$ (miejsce zerowania mianownika, poza dziedziną) i pozioma $y=q$ (wartość nieosiągalna).
Sprowadzanie do tej postaci: w liczniku odtwarzamy mianownik i dzielimy: $\tfrac{2x+1}{x+1}=\tfrac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\tfrac{1}{x+1}$, więc asymptoty to $x=-1$ i $y=2$.
Pułapka: asymptota pionowa to $x=p$, a nie $x=-p$ — bierzemy miejsce, w którym mianownik $x-p$ się zeruje.
Funkcja homograficzna i jej asymptoty
Co robi: opisuje iloraz dwóch funkcji liniowych — wykresem jest hiperbola przesunięta względem osi układu.
Elementy: asymptota pionowa tam, gdzie zeruje się mianownik; pozioma na wysokości ilorazu współczynników przy $x$. Warunek $ad-bc\ne 0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Przykład: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$: asymptota pionowa $x=3$, pozioma $y=2$, dziedzina $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
Pułapka: gdy $ad-bc=0$, licznik jest wielokrotnością mianownika i funkcja jest stała poza punktem nieciągłości — to nie jest wtedy hiperbola.
Funkcje — własności (klasa 4 LO)
Co robi: przypomina pojęcia: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.
Elementy: monotoniczność, parzystość, okresowość, wartości ekstremalne.
Granice jednostronne (klasa 3 LO)
Co robi: opisuje granice z lewej i z prawej strony punktu.
Elementy: granica istnieje, gdy obie jednostronne są równe.
Przykład: dla $\frac{1}{x}$ w zerze granice jednostronne są różne.
Jednostki pola — ar i hektar
Co robi: pozwala przeliczać powierzchnie między jednostkami, także tymi używanymi do opisu działek i pól uprawnych.
Elementy: ar to kwadrat o boku $10$ m, hektar — kwadrat o boku $100$ m. Stąd biorą się przeliczniki $100$ i $10\,000$.
Zasada: przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika długości. Skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^2 = 100^2 = 10\,000$ cm$^2$.
Przykład: działka $50$ m na $40$ m ma $2000$ m$^2$, czyli $20$ arów albo $0{,}2$ hektara.
Pułapka: przeliczanie pola tak jak długości. $1$ m$^2$ to $10\,000$ cm$^2$, a nie $100$ — błąd stukrotny, który natychmiast psuje wynik zadania.
Miara łukowa kąta (klasa 3 LO)
Co robi: przelicza stopnie na radiany.
Przykład: $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, a $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
Rodzaje kątów — podział ze względu na miarę
Co robi: nazywa kąt na podstawie jego miary — to podstawa opisu figur geometrycznych.
Elementy: miarę kąta podajemy w stopniach ($^\circ$). Kąt wklęsły to taki, którego miara zawiera się między $180^\circ$ a $360^\circ$.
Przykład: kąt $47^\circ$ jest ostry, $90^\circ$ prosty, $128^\circ$ rozwarty.
Pułapka: kąt prosty ($90^\circ$) nie jest ani ostry, ani rozwarty — to osobna kategoria, granica między nimi.
Kolejność działań z potęgami (klasa 5 SP)
Co robi: ustala kolejność wykonywania działań.
Przykład: $2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=14$.
Liczba wymierna — postać ułamka (klasa 1 LO)
Co robi: zapisuje liczbę wymierną jako iloraz liczb całkowitych.
Elementy: mianownik $r\neq0$; każda liczba całkowita jest wymierna.
Liczby pierwsze i rozkład na czynniki
Co robi: przedstawia każdą liczbę naturalną większą od $1$ jako iloczyn liczb pierwszych — w dokładnie jeden sposób (podstawowe twierdzenie arytmetyki).
Elementy: $p_i$ — liczby pierwsze, $\alpha_i$ — ich krotności. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą.
Przykład: $60=2^2\cdot3\cdot5$; $360=2^3\cdot3^2\cdot5$. Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
Pułapka: liczba $1$ nie jest pierwsza ani złożona. Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest $2$ — wszystkie pozostałe parzyste dzielą się przez $2$.
Działania na potęgach o tej samej podstawie
Co robi: upraszcza wyrażenia z potęgami bez rozpisywania ich na iloczyny.
Elementy: $a$ — podstawa potęgi, $m, n$ — wykładniki. Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu odejmujemy, przy potędze potęgi mnożymy.
Przykład: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$; $\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$; $(3^2)^3 = 3^6 = 729$.
Pułapka: te wzory działają tylko przy identycznej podstawie. $2^3 \cdot 3^2$ nie upraszcza się do jednej potęgi. Uwaga też: $a^m + a^n \ne a^{m+n}$ — dodawanie potęg nie ma takiego wzoru.
Reguły działań na potęgach
Co robi: pozwala upraszczać wyrażenia z potęgami bez wyliczania wielkich liczb.
Elementy: $a$, $b$ to podstawy, $m$, $n$ — wykładniki. Wzór $a^0=1$ obowiązuje dla $a\neq0$.
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają wyłącznie dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia: $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przykład złożony: $\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{3^6\cdot3^2}{3^6}=3^2=9$ — najpierw sprowadzamy wszystko do wspólnej podstawy.
Skąd $a^0=1$: z reguły dzielenia $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Pułapka: przy iloczynie wykładniki się dodają, przy potędze potęgi mnożą. Zapisy $2^3\cdot2^2=32$ i $\left(2^3\right)^2=64$ wyglądają podobnie, a dają różne wyniki. Uważaj też na nawias: $-3^4=-81$, ale $(-3)^4=81$.
Mnożenie sum algebraicznych
Co robi: usuwa nawiasy w iloczynie dwóch sum — każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego.
Elementy: $a, b$ — składniki pierwszej sumy, $c, d$ — drugiej. Powstają cztery iloczyny; potem redukujemy wyrazy podobne.
Przykład: $(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$.
Pułapka: pilnuj znaków. $(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$ — iloczyn dwóch liczb ujemnych daje wyraz dodatni.
Wzory skróconego mnożenia (klasa 2 LO)
Co robi: szybko rozwija kwadraty sum i różnic oraz różnicę kwadratów.
Elementy: pamiętaj o podwojonym iloczynie $2ab$.
Przykład: $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
Strona 12 z 24 · 573 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.