Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Współczynnik kierunkowy prostej a tangens (klasa 2 LO)
Związek
Współczynnik kierunkowy $a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$.
Znak
$a>0$ — kąt ostry (prosta rosnąca), $a<0$ — kąt rozwarty (malejąca).
Prosta pozioma
$a=0$, kąt $0^\circ$.
Przykład
Prosta o $a=1$ nachylona jest pod kątem $45^\circ$.
Wykres wielomianu (klasa 2 LO)
Miejsca zerowe
To pierwiastki wielomianu; w nich wykres przecina lub dotyka osi $OX$.
Krotność
Krotność nieparzysta — przecięcie osi; parzysta — dotknięcie.
Zachowanie na końcach
Zależy od stopnia i znaku współczynnika wiodącego.
Szkic
Ustalamy pierwiastki, ich krotności i kierunek ramion.
Wielomiany — zastosowania (klasa 2 LO)
Modele
Wielomiany opisują objętości, pola i zależności w zadaniach.
Równania
Rozwiązujemy je, rozkładając na czynniki.
Optymalizacja
Ekstrema wyznaczamy, badając wielomian i jego wykres.
Przykład
Objętość pudełka jako funkcja długości boku prowadzi do wielomianu trzeciego stopnia.
Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 18, 36, 54, 72 stopni (klasa 2 LO)
Pochodzenie
Wynikają z pięciokąta foremnego i związane są z liczbą złotą.
Wartość
$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$.
Zależności
$\sin18^\circ=\cos72^\circ$ oraz $\cos54^\circ=\sin36^\circ$ (kąty dopełniające).
Zastosowanie
Konstrukcje pięciokąta i obliczenia w wielokątach foremnych.
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej (klasa 2 LO)
Wierzchołek
$(p,q)$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Ramiona
W górę dla $a>0$, w dół dla $a<0$.
Miejsca zerowe
Z $\Delta$: dwa, jedno lub brak.
Oś symetrii
Prosta $x=p$.
Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej — cz. 2 (klasa 2 LO)
Przesunięcie
$y=a^{x-p}+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota $y=q$.
Odbicia
$y=a^{-x}$ to odbicie względem osi $OY$; $y=-a^x$ względem osi $OX$.
Rozciągnięcia
$y=c\cdot a^x$ rozciąga wykres pionowo.
Dziedzina
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Środek odcinka (klasa 3 LO)
Wzór
Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Interpretacja
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Przykład
Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.
Zastosowanie
Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.
Średnia arytmetyczna (klasa 3 LO)
Wzór
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Suma
Suma danych to $n\cdot\bar{x}$.
Wrażliwość
Średnia jest czuła na wartości skrajne.
Przykład
Średnia $2,4,9$ to $5$.
Średnia ważona (klasa 3 LO)
Wzór
$\bar{x}=\frac{w_1 x_1+\ldots+w_n x_n}{w_1+\ldots+w_n}$.
Wagi
$w_i$ to znaczenie (waga) danej wartości.
Zastosowanie
Średnia ważona ocen, gdzie sprawdziany mają większą wagę.
Uwaga
Przy równych wagach średnia ważona równa się arytmetycznej.
Sposoby określania ciągu (klasa 3 LO)
Wzór ogólny
Podaje $a_n$ wprost, np. $a_n=2n+1$.
Rekurencja
Pierwszy wyraz i reguła przejścia, np. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3$.
Opis słowny
Np. „kolejne liczby pierwsze".
Tabela lub wykres
Przedstawienie pierwszych wyrazów.
Ruch po okręgu (klasa 3 LO)
Okres i częstotliwość
Okres $T$ to czas jednego obiegu; częstotliwość $f=\frac{1}{T}$.
Prędkość kątowa
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ (radiany na sekundę).
Długość łuku
$l=r\alpha$ (kąt w radianach).
Zastosowanie
Modelowanie obrotów, zegarów, kół.
Przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych (klasa 3 LO)
Źródła
Wartości odczytujemy z tablic lub kalkulatora.
Wartości dokładne
Dla kątów $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ znamy wartości dokładne.
Zaokrąglenia
Wyniki podajemy z ustaloną dokładnością, np. do dwóch miejsc.
Zastosowanie
Obliczenia w zadaniach praktycznych i geometrii.
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor (klasa 3 LO)
Wzór
$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.
Poziomo
$p>0$ w prawo, $p<0$ w lewo.
Pionowo
$q>0$ w górę, $q<0$ w dół.
Przykład
$y=(x-2)^2+3$ to $y=x^2$ przesunięte o $[2,3]$.
Rachunek różniczkowy — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Pochodna
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie.
Podstawowe wzory
$(x^n)'=nx^{n-1}$, pochodna sumy to suma pochodnych.
Monotoniczność
$f'(x)>0$ — funkcja rosnąca, $f'(x)<0$ — malejąca.
Ekstrema
W ekstremum $f'(x_0)=0$ i pochodna zmienia znak.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory (klasa 3 LO)
Arytmetyczny
$a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Geometryczny
$a_n=a_1 q^{n-1}$, $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Własności
Wyraz środkowy to średnia (arytmetyczna lub geometryczna) sąsiadów.
Zastosowanie
Odsetki, spłaty, wzrost i rozpad.
Statystyka — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Miary położenia
Średnia, mediana, dominanta opisują typową wartość.
Miary rozrzutu
Rozstęp, wariancja $\sigma^2$, odchylenie standardowe $\sigma$.
Odchylenie
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2}$.
Interpretacja
Mniejsze odchylenie oznacza dane bardziej skupione wokół średniej.
Liczby rzeczywiste i wyrażenia — powtórzenie (klasa 4 LO)
Zbiory liczb
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Potęgi i pierwiastki
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
Logarytmy
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
Wzory skróconego mnożenia
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Planimetria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Trójkąty
Suma kątów $180^\circ$; twierdzenia sinusów i cosinusów.
Pola
Trójkąt $\frac{1}{2}ab\sin C$; koło $\pi r^2$.
Okrąg
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; styczna prostopadła do promienia.
Podobieństwo
Stosunek pól figur podobnych to $k^2$.
Geometria analityczna — powtórzenie (klasa 4 LO)
Prosta
$y=ax+b$; równoległe $a_1=a_2$, prostopadłe $a_1 a_2=-1$.
Odległości
Punkt od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wektory
Iloczyn skalarny $a_1b_1+a_2b_2$; wektory prostopadłe mają iloczyn $0$.
Trygonometria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Definicje
W trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym.
Tożsamości
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Wzory
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Równania
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Stereometria — powtórzenie (klasa 4 LO)
Graniastosłupy
$V=P_p H$, $P_c=2P_p+P_b$.
Ostrosłupy
$V=\frac{1}{3}P_p H$.
Bryły obrotowe
Walec $V=\pi r^2 H$; kula $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, $P=4\pi r^2$.
Kąty
Kąt między prostą a płaszczyzną oraz kąt dwuścienny.
Rachunek różniczkowy — powtórzenie (klasa 4 LO)
Pochodne
$(x^n)'=nx^{n-1}$; pochodna sumy, iloczynu i złożenia.
Styczna
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej.
Monotoniczność
Znak pochodnej wyznacza przedziały wzrostu i spadku.
Ekstrema i optymalizacja
W ekstremum $f'(x_0)=0$; stosujemy w zadaniach na wartość największą i najmniejszą.
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórzenie (klasa 4 LO)
Zliczanie
Reguła mnożenia i dodawania; $P_n=n!$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Prawdopodobieństwo
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$; $P(A')=1-P(A)$.
Niezależność
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Bayes
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Statystyka — powtórzenie (klasa 4 LO)
Miary położenia
Średnia $\bar{x}$, mediana, dominanta.
Średnia ważona
$\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$.
Rozrzut
Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe $\sigma$.
Interpretacja
Mniejsze $\sigma$ oznacza dane bardziej skupione.
Strona 21 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.