Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Koło w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Nierówność
$(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2$ opisuje koło o środku $(a,b)$ i promieniu $r$.
Brzeg
Równość daje okrąg — brzeg koła.
Przynależność punktu
Sprawdzamy, podstawiając współrzędne do nierówności.
Przykład
$(0,0)$ należy do $x^2+y^2\le4$, bo $0\le4$.
Pole trójkąta w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Wzór
$P=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|$.
Wartość bezwzględna
Pole jest nieujemne, dlatego stosujemy moduł.
Współliniowość
Gdy pole wychodzi $0$, punkty są współliniowe.
Przykład
$(0,0),(4,0),(0,3)$ dają $P=6$.
Nierówności trygonometryczne (klasa 3 LO)
Metoda
Rozwiązujemy je, korzystając z okręgu jednostkowego lub wykresu funkcji.
Zakres wartości
$-1\le\sin x\le1$ oraz $-1\le\cos x\le1$.
Przykład
$\sin x\ge\frac{1}{2}$ dla $x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$ w jednym okresie.
Okresowość
Rozwiązania powtarzają się co okres funkcji.
Mediana, dominanta i centyle (klasa 3 LO)
Mediana
Wartość środkowa uporządkowanego zbioru; dla parzystej liczby danych to średnia dwóch środkowych.
Dominanta
Wartość występująca najczęściej.
Centyle
Dzielą uporządkowane dane na sto równych części; mediana to centyl $50$.
Zastosowanie
Opisują położenie danych, odporne na wartości skrajne (mediana).
Permutacje (klasa 4 LO)
Definicja
Permutacja to uporządkowanie wszystkich elementów zbioru.
Liczba permutacji
$P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$; przyjmujemy $0!=1$.
Przykład
$5$ osób ustawimy w rzędzie na $5!=120$ sposobów.
Z powtórzeniami
Gdy elementy się powtarzają, dzielimy przez silnie liczności powtórzeń.
Wariacje bez powtórzeń (klasa 4 LO)
Definicja
Uporządkowany wybór $k$ różnych elementów z $n$-elementowego zbioru.
Wzór
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Przykład
Przewodniczący i zastępca z $6$ osób: $6\cdot5=30$.
Kolejność
W wariacji kolejność ma znaczenie (inaczej niż w kombinacji).
Symbol Newtona i dwumian Newtona (klasa 4 LO)
Symbol Newtona
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba $k$-elementowych kombinacji.
Własności
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ oraz $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Dwumian Newtona
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala
Kolejne wiersze to współczynniki dwumianu.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (klasa 4 LO)
Wzór
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ przy jednakowo prawdopodobnych wynikach.
Własności
$0\le P(A)\le1$; $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$.
Zdarzenie przeciwne
$P(A')=1-P(A)$.
Przykład
Rzut kostką: $P(\text{parzysta})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
Niezależność zdarzeń (klasa 4 LO)
Definicja
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Interpretacja
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego.
Przykład
Dwa rzuty kostką: $P(\text{dwie szóstki})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.
Losowanie ze zwracaniem
Daje zdarzenia niezależne.
Twierdzenie Bayesa (klasa 4 LO)
Prawdopodobieństwo warunkowe
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dla $P(B)>0$.
Wzór Bayesa
Wiąże $P(A|B)$ z $P(B|A)$ i prawdopodobieństwami brzegowymi.
Prawdopodobieństwo całkowite
Rozkładamy przestrzeń na zdarzenia rozłączne pokrywające $\Omega$.
Zastosowanie
Diagnostyka, testy, aktualizacja prawdopodobieństwa po informacji.
Drzewo stochastyczne (klasa 4 LO)
Budowa
Doświadczenie wieloetapowe przedstawiamy jako drzewo; na gałęziach zapisujemy prawdopodobieństwa.
Wzdłuż ścieżki
Prawdopodobieństwa mnożymy.
Różne ścieżki
Prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek do zdarzenia dodajemy.
Kontrola
Suma prawdopodobieństw gałęzi z jednego węzła wynosi $1$.
Kula (klasa 4 LO)
Definicja
Kula to zbiór punktów przestrzeni odległych od środka o nie więcej niż promień $r$; jej brzeg to sfera.
Objętość
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$.
Pole powierzchni
$P=4\pi r^2$.
Przekrój
Każdy przekrój płaszczyzną to koło.
Walec (klasa 4 LO)
Budowa
Walec ma dwie równoległe podstawy będące kołami i powierzchnię boczną.
Objętość
$V=\pi r^2\cdot H$.
Pole powierzchni
$P_c=2\pi r^2+2\pi r H$.
Przekrój osiowy
To prostokąt o bokach $2r$ i $H$.
Bryły wpisane i opisane (klasa 4 LO)
Kula a sześcian
Kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$ ma promień $\frac{a}{2}$; kula opisana ma promień $\frac{a\sqrt3}{2}$.
Walec w sześcianie
Promień podstawy walca wpisanego to $\frac{a}{2}$.
Wspólny środek
Środek kuli wpisanej i opisanej pokrywa się ze środkiem bryły.
Zastosowanie
Zadania o stosunku objętości i pól.
Graniastosłupy — pole i objętość (klasa 4 LO)
Objętość
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Pole powierzchni
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole boczne.
Graniastosłup prawidłowy
Podstawą jest wielokąt foremny; obliczenia korzystają z jego pola i obwodu.
Przekątne
Przekątną bryły wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni.
Proste i płaszczyzny w przestrzeni (klasa 4 LO)
Dwie proste
Mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Prosta i płaszczyzna
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, być z nią równoległa lub ją przebijać.
Dwie płaszczyzny
Równoległe albo przecinają się wzdłuż prostej.
Kąty
Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt z jej rzutem; kąt dwuścienny mierzy nachylenie płaszczyzn.
Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów (klasa 4 LO)
Przekrój
Przecięcie bryły płaszczyzną daje figurę płaską (wielokąt).
Równoległy do podstawy
W ostrosłupie daje figurę podobną do podstawy, w graniastosłupie — przystającą.
Przekątne
Przekątna ściany $a\sqrt2$, przekątna sześcianu $a\sqrt3$.
Zastosowanie
Obliczanie pól przekrojów i kątów.
Trygonometria w stereometrii (klasa 4 LO)
Kąty w bryłach
Kąt nachylenia krawędzi do podstawy wyznaczamy z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość i rzut.
Funkcje
$\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ kąta ostrego jak w planimetrii.
Kąt dwuścienny
Mierzymy go w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi.
Przykład
W sześcianie przekątna ściany i krawędź tworzą kąt $45^\circ$.
Zdarzenia losowe i przestrzeń zdarzeń (klasa 4 LO)
Przestrzeń
$\Omega$ to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
Zdarzenie
Zdarzenie losowe to podzbiór $\Omega$; zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik.
Szczególne
Zdarzenie pewne to $\Omega$, niemożliwe to zbiór pusty.
Działania
Suma, iloczyn i różnica zdarzeń odpowiadają działaniom na zbiorach.
Kombinatoryka — metody zliczania (klasa 4 LO)
Reguły
Reguła mnożenia (etapy „i") i dodawania (rozłączne „albo").
Permutacje i wariacje
$P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Kombinacje
$\binom{n}{k}$ — wybór bez uwzględnienia kolejności.
Strategia
Ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają.
Wykresy funkcji sinus i cosinus (klasa 3 LO)
Kształt
Sinusoida; wartości z przedziału $[-1,1]$.
Okres
$T=2\pi$; $y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{b}$.
Przesunięcia
$y=a\sin(x)+c$ zmienia amplitudę $a$ i przesuwa pionowo o $c$.
Miejsca zerowe
$\sin x=0$ dla $x=k\pi$; $\cos x=0$ dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Wykresy funkcji tangens i cotangens (klasa 3 LO)
Okres
Tangens i cotangens mają okres $\pi$.
Asymptoty
Tangens ma asymptoty pionowe w $\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Zbiór wartości
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Monotoniczność
Tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami.
Wzajemne położenie okręgu i prostej (klasa 3 LO)
Kryterium
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$.
Trzy przypadki
$d
Styczna
Jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Metoda
Można też wstawić prostą do równania okręgu i badać liczbę rozwiązań.
Ciągi liczb całkowitych (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi.
Przykłady
$a_n=2n-1$ (nieparzyste), $a_n=(-1)^n$ (naprzemienny).
Monotoniczność
Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$.
Zastosowanie
Modelowanie sytuacji o wartościach całkowitych (liczba obiektów).
Strona 19 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.