Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Strategie rozwiązywania zadań maturalnych (klasa 4 LO)
Analiza treści
Wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Plan
Dobierz twierdzenie lub wzór; rozbij problem na etapy.
Rachunki
Prowadź je starannie, kontroluj jednostki i dziedzinę.
Sprawdzenie
Oszacuj wynik i sprawdź, czy ma sens w kontekście zadania.
Ciągi — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Rodzaje
Arytmetyczne, geometryczne, monotoniczne, ograniczone, rekurencyjne.
Wzory
$a_n$ i $S_n$ dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Granica
Ciąg zbieżny ma granicę skończoną; rozbieżny — nie.
Zastosowania
Procent składany, spłaty rat, modele wzrostu.
Rozwiązywanie równań (klasa 1 LO)
Równania równoważne
Wykonując te same działania po obu stronach, otrzymujemy równanie równoważne o tym samym zbiorze rozwiązań.
Przenoszenie wyrazów
Wyraz przenosimy na drugą stronę, zmieniając jego znak.
Przykład
$2x+3=11\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$.
Sprawdzenie
Wynik podstawiamy do równania pierwotnego.
Metoda przeciwnych współczynników (klasa 1 LO)
Idea
Mnożymy równania tak, aby współczynniki przy jednej zmiennej były przeciwne, a po dodaniu równań zmienna się redukuje.
Kroki
Dobierz mnożniki, dodaj równania stronami, wyznacz jedną zmienną, potem drugą.
Przykład
$x+y=5$ i $x-y=1$; po dodaniu $2x=6$, więc $x=3$, $y=2$.
Trójkąty przystające (klasa 1 LO)
Definicja
Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty; oznaczenie $\cong$.
Cechy przystawania
bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Zastosowanie
Przystawanie wykorzystujemy w dowodach równości odcinków i kątów.
Twierdzenie o dwusiecznej kąta (klasa 1 LO)
Treść
Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków przyległych: $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$.
Elementy
$D$ to punkt przecięcia dwusiecznej z bokiem $AB$.
Zastosowanie
Wyznaczanie długości odcinków powstałych z podziału boku.
Twierdzenie Talesa (klasa 1 LO)
Treść
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne.
Zapis
$\frac{OA}{OB}=\frac{OA'}{OB'}$.
Twierdzenie odwrotne
Proporcjonalność odcinków pozwala wnioskować o równoległości prostych.
Zastosowanie
Podział odcinka w danym stosunku, obliczanie długości.
Układ współrzędnych (klasa 1 LO)
Budowa
Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ i pionowa $OY$, przecinające się w początku $(0,0)$.
Współrzędne punktu
Punkt zapisujemy jako $(x,y)$: odcięta i rzędna.
Ćwiartki
Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki.
Odległość
$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Wielokąty podobne (klasa 1 LO)
Definicja
Wielokąty podobne mają równe kąty i proporcjonalne boki; stosunek boków to skala $k$.
Obwody i pola
Stosunek obwodów to $k$, a stosunek pól to $k^2$.
Przykład
Przy skali $k=2$ pole rośnie czterokrotnie.
Wykres funkcji liniowej (klasa 1 LO)
Postać
$y=ax+b$; wykresem jest prosta.
Współczynniki
$a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$).
Monotoniczność
$a>0$ rosnąca, $a<0$ malejąca, $a=0$ stała.
Miejsce zerowe
$x_0=-\frac{b}{a}$ dla $a\neq0$.
Związki między funkcjami trygonometrycznymi (klasa 2 LO)
Jedynka trygonometryczna
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Tangens
$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ dla $\cos\alpha\neq0$.
Zastosowanie
Znając jedną funkcję i ćwiartkę, wyznaczamy pozostałe.
Przykład
Jeśli $\sin\alpha=\frac35$ i $\alpha$ ostry, to $\cos\alpha=\frac45$.
Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów (klasa 2 LO)
Kwadraty
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$.
Różnica kwadratów
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Sześciany
$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ oraz $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.
Zastosowanie
Rozkład wielomianów na czynniki i upraszczanie wyrażeń.
Szereg geometryczny (klasa 3 LO)
Definicja
Szereg geometryczny to suma wyrazów ciągu geometrycznego.
Zbieżność
Dla $|q|<1$ suma nieskończona wynosi $S=\frac{a_1}{1-q}$.
Przykład
$1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Zastosowanie
Zamiana ułamka okresowego na zwykły, modele wygaszania.
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (klasa 3 LO)
Sinusy
$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Cosinusy
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Zastosowanie
Zamiana sumy na iloczyn ułatwia rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
Układy równań drugiego stopnia (klasa 3 LO)
Postać
Co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego, np. parabola i prosta.
Metoda
Podstawiamy jedną zmienną, otrzymując równanie kwadratowe.
Interpretacja
Rozwiązania to współrzędne punktów przecięcia wykresów.
Liczba rozwiązań
Zależy od wyróżnika: $0$, $1$ lub $2$ pary.
Własności funkcji ciągłych (klasa 3 LO)
Ciągłość
Funkcja jest ciągła, gdy jej wykres można narysować bez odrywania ołówka; granica w punkcie równa się wartości.
Własność Darboux
Funkcja ciągła na przedziale przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.
Wniosek
Jeśli na krańcach przedziału wartości mają różne znaki, wewnątrz istnieje miejsce zerowe.
Wzajemne położenie dwóch okręgów (klasa 3 LO)
Odległość środków
Oznaczmy $d$ jako odległość środków, $R,r$ promienie.
Przypadki
$d>R+r$ rozłączne zewnętrznie; $d=R+r$ styczne zewnętrznie; $|R-r| Badanie liczby punktów wspólnych okręgów.Zastosowanie
Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej (klasa 1 LO)
Rodzaje rozwinięć
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Liczby niewymierne
Mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe, np. $\sqrt{2}$, $\pi$.
Zamiana
Ułamek okresowy zamieniamy na zwykły, korzystając z sumy szeregu geometrycznego.
Przykład
$0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}$.
Skala logarytmiczna (klasa 1 LO)
Idea
Na skali logarytmicznej równym odstępom odpowiada mnożenie przez stały czynnik.
Zapis
Współrzędną wyznacza $\log_{10} x$.
Zastosowania
Skala pH, poziom dźwięku w decybelach, skala Richtera.
Zaleta
Pozwala przedstawić bardzo duży zakres wartości na jednym wykresie.
Wykres funkcji liniowej — własności (klasa 1 LO)
Nachylenie
Znak współczynnika $a$ decyduje o monotoniczności: $a>0$ rosnąca, $a<0$ malejąca.
Przecięcia z osiami
Z osią $OY$ w $(0,b)$, z osią $OX$ w miejscu zerowym $-\frac{b}{a}$.
Proste równoległe
Mają równe współczynniki kierunkowe.
Proste prostopadłe
Spełniają $a_1 a_2=-1$.
Wyrażenia wymierne — dodawanie i odejmowanie (klasa 2 LO)
Wspólny mianownik
Ułamki algebraiczne dodajemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.
Dziedzina
Wykluczamy wartości zerujące mianowniki.
Przykład
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$ dla $x\neq0,-1$.
Skracanie
Wynik upraszczamy, o ile to możliwe.
Wzory redukcyjne (klasa 3 LO)
Cel
Sprowadzają wartości funkcji dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego.
Przykłady
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
Zasada
Znak zależy od ćwiartki, a zamiana funkcji — od tego, czy kąt liczymy od osi $OX$, czy $OY$.
Obliczanie granic ciągów — wyrażenia wymierne (klasa 3 LO)
Metoda
Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę $n$.
Reguła
Dla równych stopni granica to iloraz współczynników wiodących; przy niższym stopniu licznika granica wynosi $0$.
Przykład
$\lim\frac{3n^2+1}{2n^2-n}=\frac{3}{2}$.
Szkicowanie wykresu funkcji — podstawy (klasa 1 LO)
Krok po kroku
Wyznacz dziedzinę, miejsca zerowe i punkty przecięcia z osiami.
Tabela wartości
Oblicz wartości funkcji dla wybranych argumentów.
Przebieg
Zaznacz punkty i połącz je zgodnie z charakterem funkcji.
Kontrola
Sprawdź monotoniczność i znak funkcji w przedziałach.
Strona 22 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.