Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Stopień i współczynniki wielomianu (klasa 2 LO)
Stopień
To najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Współczynnik wiodący
Współczynnik przy najwyższej potędze; wyraz wolny to $a_0$.
Wartość
$W(0)$ równa się wyrazowi wolnemu.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach.
Trójkąt Pascala (klasa 2 LO)
Budowa
Każda liczba to suma dwóch nad nią; brzegi to jedynki.
Symbol Newtona
Wiersz $n$ zawiera $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Dwumian
Wiersze dają współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$.
Przykład
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — współczynniki $1,2,1$.
Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych (klasa 2 LO)
Funkcje
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Twierdzenie Pitagorasa
$a^2+b^2=c^2$.
Wyznaczanie
Znając bok i kąt, obliczamy pozostałe boki z odpowiednich funkcji.
Przykład
Przeciwprostokątna $10$, kąt $30^\circ$: przyprostokątna $10\sin30^\circ=5$.
Równania wielomianowe (klasa 2 LO)
Metoda
Rozwiązujemy przez rozkład na czynniki i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego).
Twierdzenie Bézouta
$x_0$ jest pierwiastkiem $\iff (x-x_0)$ dzieli wielomian.
Równania wyższych stopni
Sprowadzamy do iloczynu czynników niższych stopni.
Wzór Cardano
Pozwala rozwiązać równanie trzeciego stopnia postaci $x^3+px+q=0$.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną — cz. 2 (klasa 2 LO)
Równania
$|ax+b|=c$ (dla $c\ge0$) rozbijamy na $ax+b=c$ oraz $ax+b=-c$.
Nierówności
$|ax+b|
Interpretacja
$|x-a|$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.
Suma modułów
Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy przedziałami.
Przekształcenia wykresu funkcji trygonometrycznej (klasa 3 LO)
Amplituda
W $y=a\sin x$ liczba $|a|$ to amplituda (rozciągnięcie pionowe).
Okres
W $y=\sin(bx)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$.
Przesunięcie
$y=\sin(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
Odbicia
$y=-\sin x$ to odbicie względem osi $OX$.
Okrąg wpisany w trójkąt w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Środek
To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Promień
$r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole, a $p$ połowa obwodu.
W układzie
Pole i boki liczymy ze współrzędnych wierzchołków.
Przykład
Trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$.
Ciągi monotoniczne — badanie (klasa 3 LO)
Metoda różnicy
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Metoda ilorazu
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ograniczoność
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Zbieżność
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ i ogólna $Ax+By+C=0$.
Odległości
Punkt od prostej: $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; między punktami z twierdzenia Pitagorasa.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Pole trójkąta
Wzór wyznacznikowy ze współrzędnych wierzchołków.
Funkcje trygonometryczne — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Tożsamości
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Wzory redukcyjne
Sprowadzają funkcje dowolnego kąta do kąta ostrego.
Sumy kątów
$\sin(\alpha\pm\beta)$, $\cos(\alpha\pm\beta)$ oraz wzory na kąt podwójny.
Równania
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Miary kątów w trójkącie (klasa 1 LO)
Suma kątów
W każdym trójkącie kąty wewnętrzne sumują się do $180^\circ$.
Kąt zewnętrzny
Równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Trójkąty szczególne
Równoboczny — kąty po $60^\circ$; prostokątny — kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Nierówność
Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.
Pola wielokątów podobnych (klasa 1 LO)
Skala
Stosunek boków odpowiednich to skala podobieństwa $k$.
Stosunek pól
Pola figur podobnych są w stosunku $k^2$.
Stosunek obwodów
Obwody są w stosunku $k$.
Przykład
Dla $k=3$ pole rośnie $9$ razy.
Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Postać ogólna
$y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$.
Postać kanoniczna
$y=a(x-p)^2+q$; wierzchołek $(p,q)$.
Współrzędne wierzchołka
$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.
Ramiona
Skierowane w górę dla $a>0$, w dół dla $a<0$.
Procenty (klasa 1 LO)
Procent liczby
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Jakim procentem
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Podwyżka i obniżka
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
Procent składany
$K_n=K_0(1+p)^n$.
Proporcjonalność odwrotna (klasa 1 LO)
Wzór
$y=\frac{a}{x}$; iloczyn $x\cdot y=a$ jest stały.
Wykres
Hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
Zależność
Gdy $x$ rośnie, $y$ maleje.
Przykład
Stała droga: prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
Przesunięcie paraboli y=ax^2 (klasa 1 LO)
Wzdłuż OY
$y=ax^2+q$ przesuwa wykres pionowo o $q$.
Wzdłuż OX
$y=a(x-p)^2$ przesuwa poziomo o $p$.
O wektor
$y=a(x-p)^2+q$ to przesunięcie o $[p,q]$; wierzchołek $(p,q)$.
Przykład
$y=(x-2)^2+3$ ma wierzchołek $(2,3)$.
Punkty szczególne w trójkącie (klasa 1 LO)
Środek okręgu wpisanego
Przecięcie dwusiecznych kątów.
Środek okręgu opisanego
Przecięcie symetralnych boków.
Środek ciężkości
Przecięcie środkowych; dzieli je w stosunku $2:1$.
Ortocentrum
Przecięcie wysokości trójkąta.
Rozwiązywanie nierówności (klasa 1 LO)
Nierówności liniowe
Przekształcamy jak równania, ale przy mnożeniu przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Zbiór rozwiązań
Zapisujemy jako przedział, np. $x>3$ to $(3,+\infty)$.
Układy nierówności
Rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów.
Na osi
Kółko otwarte dla nierówności ostrej, domknięte dla nieostrej.
Przeliczanie postaci funkcji kwadratowej (klasa 1 LO)
Ogólna na kanoniczną
Wyznaczamy $p=-\frac{b}{2a}$ i $q$ z podstawienia.
Kanoniczna na ogólną
Rozwijamy kwadrat $a(x-p)^2+q$.
Postać iloczynowa
$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.
Wyróżnik
$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych.
Funkcje — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina to zbiór argumentów, zbiór wartości — przyjmowanych $y$.
Miejsce zerowe
Argument, dla którego $f(x)=0$.
Monotoniczność
Funkcja rosnąca, malejąca lub stała w przedziale.
Odczyt z wykresu
Z wykresu odczytujemy wartości, znak i przedziały monotoniczności.
Trójkąty prostokątne (klasa 2 LO)
Twierdzenie Pitagorasa
$a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Funkcje trygonometryczne
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
Trójkąt 45-45-90
Przyprostokątne równe, przeciwprostokątna $a\sqrt2$.
Trójkąt 30-60-90
Boki w stosunku $1:\sqrt3:2$.
Trygonometria — zastosowania (klasa 2 LO)
Pomiary pośrednie
Obliczamy wysokości i odległości niedostępne bezpośrednio.
Kąt nachylenia
Z tangensa wyznaczamy nachylenie stoku lub drogi.
Twierdzenia
Twierdzenie sinusów i cosinusów rozwiązują dowolny trójkąt.
Przykład
Wysokość drzewa: $h=d\cdot\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $d$ to odległość, $\alpha$ kąt.
Wielokąty foremne (klasa 2 LO)
Definicja
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe.
Kąt wewnętrzny
W $n$-kącie foremnym każdy kąt ma $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Symetrie
$n$-kąt foremny ma $n$ osi symetrii.
Okręgi
W każdy wielokąt foremny można wpisać i opisać okrąg o wspólnym środku.
Własności funkcji wykładniczej (klasa 2 LO)
Wzór
$y=a^x$ dla $a>0$ i $a\neq1$.
Monotoniczność
Rosnąca dla $a>1$, malejąca dla $0 Przechodzi przez $(0,1)$; asymptota pozioma $y=0$. Wartości dodatnie: $y>0$.Wykres
Zbiór wartości
Strona 20 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.