Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Koło w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Nierówność
$(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2$ opisuje koło o środku $(a,b)$ i promieniu $r$.
Brzeg
Równość daje okrąg — brzeg koła.
Przynależność punktu
Sprawdzamy, podstawiając współrzędne do nierówności.
Przykład
$(0,0)$ należy do $x^2+y^2\le4$, bo $0\le4$.
Pole trójkąta w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Wzór
$P=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|$.
Wartość bezwzględna
Pole jest nieujemne, dlatego stosujemy moduł.
Współliniowość
Gdy pole wychodzi $0$, punkty są współliniowe.
Przykład
$(0,0),(4,0),(0,3)$ dają $P=6$.
Nierówności trygonometryczne (klasa 3 LO)
Metoda
Rozwiązujemy je, korzystając z okręgu jednostkowego lub wykresu funkcji.
Zakres wartości
$-1\le\sin x\le1$ oraz $-1\le\cos x\le1$.
Przykład
$\sin x\ge\frac{1}{2}$ dla $x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$ w jednym okresie.
Okresowość
Rozwiązania powtarzają się co okres funkcji.
Mediana, dominanta i centyle (klasa 3 LO)
Mediana
Wartość środkowa uporządkowanego zbioru; dla parzystej liczby danych to średnia dwóch środkowych.
Dominanta
Wartość występująca najczęściej.
Centyle
Dzielą uporządkowane dane na sto równych części; mediana to centyl $50$.
Zastosowanie
Opisują położenie danych, odporne na wartości skrajne (mediana).
Permutacje (klasa 4 LO)
Definicja
Permutacja to uporządkowanie wszystkich elementów zbioru.
Liczba permutacji
$P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$; przyjmujemy $0!=1$.
Przykład
$5$ osób ustawimy w rzędzie na $5!=120$ sposobów.
Z powtórzeniami
Gdy elementy się powtarzają, dzielimy przez silnie liczności powtórzeń.
Wariacje bez powtórzeń (klasa 4 LO)
Definicja
Uporządkowany wybór $k$ różnych elementów z $n$-elementowego zbioru.
Wzór
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Przykład
Przewodniczący i zastępca z $6$ osób: $6\cdot5=30$.
Kolejność
W wariacji kolejność ma znaczenie (inaczej niż w kombinacji).
Symbol Newtona i dwumian Newtona (klasa 4 LO)
Symbol Newtona
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba $k$-elementowych kombinacji.
Własności
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ oraz $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Dwumian Newtona
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala
Kolejne wiersze to współczynniki dwumianu.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (klasa 4 LO)
Wzór
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ przy jednakowo prawdopodobnych wynikach.
Własności
$0\le P(A)\le1$; $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$.
Zdarzenie przeciwne
$P(A')=1-P(A)$.
Przykład
Rzut kostką: $P(\text{parzysta})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
Niezależność zdarzeń (klasa 4 LO)
Definicja
Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Interpretacja
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego.
Przykład
Dwa rzuty kostką: $P(\text{dwie szóstki})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.
Losowanie ze zwracaniem
Daje zdarzenia niezależne.
Twierdzenie Bayesa (klasa 4 LO)
Prawdopodobieństwo warunkowe
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dla $P(B)>0$.
Wzór Bayesa
Wiąże $P(A|B)$ z $P(B|A)$ i prawdopodobieństwami brzegowymi.
Prawdopodobieństwo całkowite
Rozkładamy przestrzeń na zdarzenia rozłączne pokrywające $\Omega$.
Zastosowanie
Diagnostyka, testy, aktualizacja prawdopodobieństwa po informacji.
Drzewo stochastyczne (klasa 4 LO)
Budowa
Doświadczenie wieloetapowe przedstawiamy jako drzewo; na gałęziach zapisujemy prawdopodobieństwa.
Wzdłuż ścieżki
Prawdopodobieństwa mnożymy.
Różne ścieżki
Prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek do zdarzenia dodajemy.
Kontrola
Suma prawdopodobieństw gałęzi z jednego węzła wynosi $1$.
Kula (klasa 4 LO)
Definicja
Kula to zbiór punktów przestrzeni odległych od środka o nie więcej niż promień $r$; jej brzeg to sfera.
Objętość
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$.
Pole powierzchni
$P=4\pi r^2$.
Przekrój
Każdy przekrój płaszczyzną to koło.
Walec (klasa 4 LO)
Budowa
Walec ma dwie równoległe podstawy będące kołami i powierzchnię boczną.
Objętość
$V=\pi r^2\cdot H$.
Pole powierzchni
$P_c=2\pi r^2+2\pi r H$.
Przekrój osiowy
To prostokąt o bokach $2r$ i $H$.
Bryły wpisane i opisane (klasa 4 LO)
Kula a sześcian
Kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$ ma promień $\frac{a}{2}$; kula opisana ma promień $\frac{a\sqrt3}{2}$.
Walec w sześcianie
Promień podstawy walca wpisanego to $\frac{a}{2}$.
Wspólny środek
Środek kuli wpisanej i opisanej pokrywa się ze środkiem bryły.
Zastosowanie
Zadania o stosunku objętości i pól.
Graniastosłupy — pole i objętość (klasa 4 LO)
Objętość
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Pole powierzchni
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole boczne.
Graniastosłup prawidłowy
Podstawą jest wielokąt foremny; obliczenia korzystają z jego pola i obwodu.
Przekątne
Przekątną bryły wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni.
Proste i płaszczyzny w przestrzeni (klasa 4 LO)
Dwie proste
Mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Prosta i płaszczyzna
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, być z nią równoległa lub ją przebijać.
Dwie płaszczyzny
Równoległe albo przecinają się wzdłuż prostej.
Kąty
Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt z jej rzutem; kąt dwuścienny mierzy nachylenie płaszczyzn.
Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów (klasa 4 LO)
Przekrój
Przecięcie bryły płaszczyzną daje figurę płaską (wielokąt).
Równoległy do podstawy
W ostrosłupie daje figurę podobną do podstawy, w graniastosłupie — przystającą.
Przekątne
Przekątna ściany $a\sqrt2$, przekątna sześcianu $a\sqrt3$.
Zastosowanie
Obliczanie pól przekrojów i kątów.
Trygonometria w stereometrii (klasa 4 LO)
Kąty w bryłach
Kąt nachylenia krawędzi do podstawy wyznaczamy z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość i rzut.
Funkcje
$\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ kąta ostrego jak w planimetrii.
Kąt dwuścienny
Mierzymy go w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi.
Przykład
W sześcianie przekątna ściany i krawędź tworzą kąt $45^\circ$.
Zdarzenia losowe i przestrzeń zdarzeń (klasa 4 LO)
Przestrzeń
$\Omega$ to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
Zdarzenie
Zdarzenie losowe to podzbiór $\Omega$; zdarzenie elementarne to pojedynczy wynik.
Szczególne
Zdarzenie pewne to $\Omega$, niemożliwe to zbiór pusty.
Działania
Suma, iloczyn i różnica zdarzeń odpowiadają działaniom na zbiorach.
Kombinatoryka — metody zliczania (klasa 4 LO)
Reguły
Reguła mnożenia (etapy „i") i dodawania (rozłączne „albo").
Permutacje i wariacje
$P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Kombinacje
$\binom{n}{k}$ — wybór bez uwzględnienia kolejności.
Strategia
Ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają.
Wykresy funkcji sinus i cosinus (klasa 3 LO)
Kształt
Sinusoida; wartości z przedziału $[-1,1]$.
Okres
$T=2\pi$; $y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{b}$.
Przesunięcia
$y=a\sin(x)+c$ zmienia amplitudę $a$ i przesuwa pionowo o $c$.
Miejsca zerowe
$\sin x=0$ dla $x=k\pi$; $\cos x=0$ dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Wykresy funkcji tangens i cotangens (klasa 3 LO)
Okres
Tangens i cotangens mają okres $\pi$.
Asymptoty
Tangens ma asymptoty pionowe w $\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Zbiór wartości
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Monotoniczność
Tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami.
Wzajemne położenie okręgu i prostej (klasa 3 LO)
Kryterium
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$.
Trzy przypadki
$d
Styczna
Jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Metoda
Można też wstawić prostą do równania okręgu i badać liczbę rozwiązań.
Ciągi liczb całkowitych (klasa 3 LO)
Definicja
Ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi.
Przykłady
$a_n=2n-1$ (nieparzyste), $a_n=(-1)^n$ (naprzemienny).
Monotoniczność
Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$.
Zastosowanie
Modelowanie sytuacji o wartościach całkowitych (liczba obiektów).
Strona 19 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.