Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wyrażenia algebraiczne i zmienne
- Dodawaj podobne wyrazy: $3x + 5x = 8x$ (ale $3x + 5y$ nie upraszcza się)
- Równanie: co robisz z jedną stroną, rób z drugą
- Przenoszenie: zmień znak! $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$
- Dodaj 4 do obu stron: $3x = 15$
- Podziel przez 3: $x = 5$
- Sprawdzenie: $3 \cdot 5 - 4 = 11$ ✓
Bryły — graniastosłupy i ostrosłupy
Ostrosłup — bryła o podstawie (wielokącie) i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku (apex).
- Objętość: $V = P_{podst} \cdot h$ (pole podstawy × wysokość)
- Pole powierzchni: $P_{pp} = 2P_{podst} + P_{boczna}$
- Sześcian ($a$): $V = a^3$; $P_{pp} = 6a^2$
- Prostopadłościan ($a,b,c$): $V = abc$; $P_{pp} = 2(ab+bc+ca)$
- Objętość: $V = \dfrac{1}{3} P_{podst} \cdot h$
- Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; Walec: $V = \pi r^2 h$
- Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P_{pp} = 4\pi r^2$
Nierówności kwadratowe — rozwiązywanie
- $\Delta \lt 0$: parabola nie przecina osi $OX$ — rozwiązanie to $\mathbb{R}$ lub $\emptyset$
- $\Delta = 0$: parabola dotyka osi $OX$ w jednym punkcie
- $\Delta > 0$: dwa pierwiastki $x_1 \lt x_2$ dzielą oś na 3 przedziały
- $ax^2+bx+c > 0$ dla $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ — "na zewnątrz" pierwiastków
- $ax^2+bx+c \lt 0$ dla $x \in (x_1, x_2)$ — "między" pierwiastkami
- $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$; $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
- $a = 1 > 0$: parabola otwarta w górę
- Rozwiązanie: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
- Podstawiania: Wyraź jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
- Przeciwnych współczynników: Pomnóż równania tak, by jeden ze współczynników miał wartości przeciwne — dodaj stronami.
- Graficzna: Narysuj obie proste — punkt przecięcia to rozwiązanie.
- Dodaj oba: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
- Podstaw: $2\cdot3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
- Rozwiązanie: $(3, 2)$
Koło i okrąg
Okrąg a koło
Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
Podstawowe wzory
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Łuk i wycinek
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Symetrie
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
Najczęstszy błąd
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
Podstawowe figury geometryczne — definicje
- Punkt — element bez wymiarów, określa położenie
- Prosta — nieskończona linia, przez 2 punkty przechodzi dokładnie 1 prosta
- Odcinek — część prostej między dwoma punktami (ma długość)
- Kąt — część płaszczyzny między dwoma półprostymi o wspólnym początku (wierzchołku)
- Wielokąt — figura ograniczona odcinkami (bokami), np. trójkąt, czworokąt
- Ostry: $0° \lt \alpha \lt 90°$
- Prosty: $\alpha = 90°$
- Rozwarty: $90° \lt \alpha \lt 180°$
- Pełny: $\alpha = 360°$
- Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- Trójkąt prostokątny: jeden kąt = 90°
- Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty po 60°
- Równoramienny: dwa boki równe, dwa kąty przy podstawie równe
- $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- $\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$
Przekształcenia geometryczne — przesunięcie i obrót
- Przesunięcie (translacja): każdy punkt przesuwa się o ten sam wektor $\vec{v} = [p, q]$. Wzór: $P(x,y) \to P'(x+p, y+q)$.
- Obrót: każdy punkt obraca się o kąt $\varphi$ wokół środka $S$. Dla środka $(0,0)$: $x'=x\cos\varphi - y\sin\varphi$, $y'=x\sin\varphi + y\cos\varphi$.
- Odbicie (symetria osiowa): omówione wcześniej.
- $A'(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
- $B'(3+2, 1-1) = B'(5, 0)$
- $C'(2+2, 3-1) = C'(4, 2)$
Wektory — działania i iloczyn skalarny
Moduł: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Dodawanie: $\vec{u}+\vec{v} = [u_x+v_x, u_y+v_y]$ (reguła trójkąta / równoległoboku).
Mnożenie przez skalar: $k\vec{v} = [kv_x, kv_y]$.
Prostopadłość: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Równoległość: $\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}$ dla pewnego $k$.
- $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot1+4\cdot(-2) = 3-8 = -5$
- $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=\sqrt{5}$
- $\cos\varphi = \dfrac{-5}{5\sqrt{5}} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}}$; $\varphi \approx 116{,}6°$
Koło i okrąg — definicje
- Okrąg — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych o dokładnie $r$ od środka $O$. To sam obwód (linia).
- Koło — okrąg wraz z wnętrzem (powierzchnia)
- Promień $r$ — odcinek od środka do okręgu
- Średnica $d = 2r$ — cięciwa przez środek
- Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu
- Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$
- Pole koła: $P = \pi r^2$
- Łuk: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Wycinek: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
- $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98$ cm
- $P = \pi \cdot 49 = 49\pi \approx 153{,}94$ cm²
Prawdopodobieństwo i reguła mnożenia
Doświadczenie losowe
To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$
Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:
$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.
Gdy elementy się nie powtarzają
Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.
Na co uważać
Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.
Prostopadłość i równoległość
- Proste równoległe — nie przecinają się (są w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktu wspólnego). Symbol: $a \parallel b$
- Proste prostopadłe — przecinają się pod kątem prostym (90°). Symbol: $a \perp b$
- Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej — są do siebie równoległe
- Kąty przy przecięciu równoległych przez prostą poprzeczną: naprzemianległe są równe, odpowiadające sobie są równe
- Prostokąt: cztery kąty proste, boki przeciwległe równoległe
- Kąty przy jednej prostej: 65° i 115° (uzupełniają się do 180°)
- Kąty naprzemianległe: 65° po obu stronach
- Kąty odpowiadające: 65° po tej samej stronie
Zbiory — definicja i działania
- $x \in A$ — $x$ należy do $A$
- $x \notin A$ — $x$ nie należy do $A$
- $\emptyset$ — zbiór pusty
- $A \subseteq B$ — $A$ jest podzbiorem $B$ (każdy element $A$ jest w $B$)
- Suma $A \cup B$: elementy należące do $A$ LUB $B$ (albo obu)
- Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$: elementy należące do $A$ I $B$
- Różnica $A \setminus B$: elementy $A$, które nie są w $B$
- Dopełnienie $A^c$: elementy spoza $A$ (w zbiorze uniwersalnym)
- $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
- $A \cap B = \{3,4\}$
- $A \setminus B = \{1,2\}$
Działania na liczbach naturalnych
Kolejność wykonywania działań
- Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego)
- Potęgowanie
- Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
Przykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.
Dzielenie z resztą
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
Zaokrąglanie
O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę.
Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$.
Liczby rzymskie
$I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$.
Na co uważać
Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.
Kąty i podstawowe figury płaskie
Rodzaje kątów
$$\text{ostry}\lt 90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ\lt \text{rozwarty}\lt 180^\circ$$
$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$
Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.
Trójkąty
Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
Prostokąt i kwadrat
$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$
$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.
Jednostki pola
$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$
Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.
Na co uważać
Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.
Podzielność liczb, NWD i NWW
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
NWD i NWW
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Zastosowania
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Na co uważać
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
Pola figur płaskich
Zestawienie wzorów
$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$
$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Oznaczenia
- $a$, $b$ — boki (w trapezie: podstawy równoległe)
- $h$ — wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy
- $e$, $f$ — przekątne rombu
Kluczowa zasada
Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.
Przykłady
Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.
Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.
Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.
Na co uważać
W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.
Równania z jedną niewiadomą
Przekształcenia równoważne
Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Schemat rozwiązywania
- Usuwamy nawiasy
- Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- Redukujemy wyrazy podobne
- Dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej
- Sprawdzamy wynik przez podstawienie
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — np. $3x=15$, czyli $x=5$
- Równanie sprzeczne — np. $2x+3=2x+5$ prowadzi do $3=5$; brak rozwiązań
- Równanie tożsamościowe — np. $2x+4=2(x+2)$; spełnia je każda liczba
Przekształcanie wzorów
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Na co uważać
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
Kąty, przystawanie i wielokąty
Kąty przy przecinających się prostych
Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.
Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.
Kąty przy prostych równoległych
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.
Nierówność trójkąta
$$|b-c|\lt a\lt b+c$$
Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku.
Przystawanie trójkątów
Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania:
- bbb — trzy pary równych boków
- bkb — dwa boki i kąt między nimi
- kbk — dwa kąty i bok między nimi
Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie.
Wielokąty
$$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$
W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi:
$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$
Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$.
Na co uważać
Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.
Ułamki zwykłe i dziesiętne
Budowa ułamka
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.
Rodzaje ułamków
- Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac38$ (wartość mniejsza od $1$)
- Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac74$
- Liczba mieszana — całość i ułamek, np. $2\frac35$
Zamiana liczby mieszanej na ułamek
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Skracanie i rozszerzanie
Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$
Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.
Porównywanie
Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.
Ułamki dziesiętne
Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:
$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$
Na co uważać
Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie i odejmowanie
Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Mnożenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.
Dzielenie
Mnożymy przez odwrotność dzielnika:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.
Potęgowanie
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Ułamek liczby
Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.
Na co uważać
Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Liczby całkowite
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie i odejmowanie
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęgowanie liczb ujemnych
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Na co uważać
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Graniastosłupy — siatki, pole i objętość
Budowa graniastosłupa
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Liczba elementów
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
Siatka bryły
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
Jednostki objętości
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Na co uważać
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Budowanie wyrażeń algebraicznych i proste równania
Wyrażenie algebraiczne
To zapis, w którym obok liczb występują litery oznaczające liczby nieznane. Litera zastępuje wartość, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.
Zapisywanie treści symbolami
- liczba $x$ powiększona o $5$ → $x+5$
- liczba $x$ dwa razy większa → $2x$
- liczba $x$ powiększona o $5$ i pomnożona przez $2$ → $2(x+5)$
- o $3$ mniej niż $x$ → $x-3$
Nawias jest istotny — $2(x+5)$ i $2x+5$ to różne wyrażenia.
Wartość liczbowa wyrażenia
Podstawiamy liczby w miejsce liter. Dla $a=2$, $b=5$: $3a+2b=6+10=16$.
Upraszczanie
Łączymy wyrazy z tą samą literą:
$$4x+3-2x+5=2x+8$$
Równanie
To równość dwóch wyrażeń z niewiadomą. Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.
Wolno: dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron, pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
$$3x-5=16 \;\Rightarrow\; 3x=21 \;\Rightarrow\; x=7$$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj wynik przez podstawienie do pierwotnego równania — to wychwytuje błędy rachunkowe. Przenosząc wyraz na drugą stronę, pamiętaj o zmianie znaku.
Kąty w trójkącie i czworokącie
Suma kątów
$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.
Rodzaje trójkątów
Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Czworokąty
- Kwadrat — wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
- Prostokąt — kąty proste, boki równe parami
- Romb — wszystkie boki równe, kąty niekoniecznie proste
- Równoległobok — boki przeciwległe równoległe i równe
- Trapez — co najmniej jedna para boków równoległych
Koło i okrąg
$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$
Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.
Skala
Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.
Na co uważać
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.
Strona 15 z 21 · 489 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.