Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Bryły — objętości i pola (klasa 8 SP)
Objętości
Graniastosłup $V=P_p H$; ostrosłup $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pola
Pole powierzchni to suma pól z siatki bryły.
Strategia
Wypisz dane, rozpoznaj bryłę, dobierz wzór, pilnuj jednostek.
Przykład
Sześcian o krawędzi $a$: $V=a^3$, $P_c=6a^2$.
Graniastosłupy i ostrosłupy — zadania (klasa 8 SP)
Graniastosłup
Dwie równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami; $V=P_p H$.
Ostrosłup
Jedna podstawa i ściany boczne trójkątne schodzące się w wierzchołku; $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pola
$P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).
Kąty — zadania (klasa 8 SP)
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Przyległe sumują się do $180^\circ$, wierzchołkowe są równe.
Proste równoległe
Kąty naprzemianległe i odpowiadające są równe.
Wielokąty
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.
Strategia
Zaznacz znane kąty i korzystaj z zależności między nimi.
Wzory skróconego mnożenia i rozkład na czynniki
Trzy podstawowe wzory
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Warto znać też sześciany:
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right),\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$$
Najczęstszy błąd w całej algebrze
$$(a+b)^2\neq a^2+b^2$$
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
Uwaga na współczynniki
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Wzory czyta się w obie strony
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Kolejność przy rozkładzie
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
Sprytne rachunki
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
Przekształcanie warunków
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
Uzupełnianie do kwadratu
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Na co uważać
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
Prosta przez dwa punkty
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
Równoległość i prostopadłość
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Okrąg wpisany i opisany — trójkąt i czworokąt
Gdzie leżą środki
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
Wzory na promienie w trójkącie
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
Trójkąt prostokątny
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
Trójkąt równoboczny
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
Czworokąt wpisany w okrąg
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Czworokąt opisany na okręgu
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
Dwa różne twierdzenia
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
Kwadrat
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Na co uważać
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory i zastosowania
Dwa rodzaje ciągów
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
Wyraz ogólny
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
Suma początkowych wyrazów
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
Wyraz środkowy
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Sprytne podstawienia
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r<0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
Szereg geometryczny
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|<1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q<1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Procent składany
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Spadek wartości
Ten sam wzór z $q<1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Na co uważać
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|<1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Rozkład wielomianów — techniki i kolejność kroków
Po co rozkładać
Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na iloczyn, który jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. To najskuteczniejsza metoda rozwiązywania równań wyższych stopni.
Kolejność działań
- Wspólny czynnik — zawsze najpierw wyłączamy największy wspólny czynnik.
- Wzory skróconego mnożenia — różnica kwadratów, sześcianów, kwadrat sumy/różnicy.
- Grupowanie — gdy powyższe nie działają.
Przykład pełnego rozkładu: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.
Grupowanie
$$x^3-3x^2+2x-6=x^2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x^2+2)$$
Grupujemy wyrazy tak, by po wyłączeniu powstał ten sam nawias.
Różnica i suma sześcianów
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
W drugim czynniku różnicy sześcianów wszystkie znaki są dodatnie.
Czego nie da się rozłożyć
Suma kwadratów $x^2+a^2$ (dla $a\neq0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych — nie rozkłada się na czynniki liniowe.
Krotność pierwiastka
W $(x-1)^2(x+3)$ pierwiastek $1$ jest podwójny, $-3$ pojedynczy — dwie różne wartości, ale trzy czynniki liniowe.
Na co uważać
Zawsze doprowadzaj rozkład do końca. Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika daje rozkład niepełny.
Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość
Objętość
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają graniastosłup.
Pole powierzchni
$$P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami. Pole boczne to suma pól tych trójkątów.
Apotema a wysokość
Wysokość ostrosłupa $H$ jest prostopadła do podstawy i pada na jej środek. Apotema $h_b$ to wysokość ściany bocznej (trójkąta). To dwie różne wielkości — najczęstsze źródło błędów.
Trzy trójkąty prostokątne
W ostrosłupie prawidłowym kluczowe są zależności z twierdzenia Pitagorasa:
- apotema, wysokość i połowa boku podstawy,
- krawędź boczna, wysokość i połowa przekątnej podstawy.
Do apotemy używamy połowy boku, do krawędzi bocznej — połowy przekątnej.
Liczba elementów
Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian, $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.
Czworościan foremny
Wszystkie cztery ściany to trójkąty równoboczne. Objętość o krawędzi $a$: $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$.
Skalowanie
Podwojenie wszystkich wymiarów zwiększa objętość ośmiokrotnie ($2^3$), a pole czterokrotnie ($2^2$).
Na co uważać
Nie zapomnij o mnożniku $\frac13$ w objętości. Rozróżniaj apotemę od wysokości ostrosłupa.
Funkcja homograficzna i hiperbola
Proporcjonalność odwrotna
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\neq0$$
Wykresem jest hiperbola — dwie gałęzie. Dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a<0$ w II i IV.
Asymptoty
Podstawowa hiperbola $\frac ax$ ma asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=0$. To proste, do których wykres się zbliża, ale ich nie dotyka.
Własności
Dziedzina i zbiór wartości to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Funkcja jest nieparzysta (wykres symetryczny względem początku układu) i malejąca w każdym przedziale osobno (dla $a>0$).
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq0$$
Dziedzinę wyznacza warunek $cx+d\neq0$. To przesunięta i przeskalowana hiperbola.
Przesunięcia
$$f(x)=\frac{1}{x-p}+q$$
To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Asymptoty przesuwają się razem: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Sprowadzanie do postaci przesuniętej
W liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy: $\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$. Stąd od razu widać asymptoty.
Zastosowanie
Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały ($xy=\text{const}$), zależność jednej od drugiej to proporcjonalność odwrotna — np. bok prostokąta o ustalonym polu.
Na co uważać
Zawsze wyklucz z dziedziny miejsce zerowania mianownika. Monotoniczność rozpatruj w każdym przedziale osobno — między gałęziami jest asymptota.
Równania i nierówności wymierne
Pierwszy krok: dziedzina
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Rozwiązywanie równań
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nierówności — uwaga na znak
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Krańce przedziałów
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Wzory Viète'a
Treść wzorów
Dla równania $ax^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Dla $a=1$ upraszcza się to do: suma $=-b$, iloczyn $=c$.
Po co je stosować
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — poznać ich sumę, iloczyn, znaki czy wartości wyrażeń symetrycznych.
Znaki pierwiastków
- iloczyn ujemny → pierwiastki różnych znaków,
- iloczyn dodatni i suma dodatnia → oba dodatnie,
- iloczyn dodatni i suma ujemna → oba ujemne.
Wyrażenia symetryczne
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$
Każde wyrażenie symetryczne w pierwiastkach da się zapisać przez sumę i iloczyn.
Budowa równania
Znając sumę $s$ i iloczyn $p$ pierwiastków, równanie (o wiodącym $1$) to:
$$x^2-sx+p=0$$
Zastrzeżenie
Wzory zakładają istnienie pierwiastków. W zadaniach z parametrem trzeba osobno sprawdzić warunek $\Delta\ge0$ — sam znak sumy i iloczynu go nie gwarantuje.
Na co uważać
Pamiętaj o minusie w sumie ($-\frac ba$) i o dzieleniu przez $a$, gdy współczynnik wiodący jest różny od $1$.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych krok po kroku
Równania podstawowe
$$\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$
$$\operatorname{tg}x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
Sprawdź zakres wartości
Sinus i cosinus mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$. Równania $\sin x=2$ czy $\cos x=-3$ nie mają rozwiązań — warto to sprawdzić na samym początku.
Dwa rozwiązania na okres
Dla wartości z wnętrza przedziału $(-1,\ 1)$ sinus i cosinus dają zwykle dwa rozwiązania w każdym okresie. Znajdujemy kąt podstawowy i drugą wartość z odpowiedniej ćwiartki.
Okresy
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dlatego $\operatorname{tg}x=1$ daje rozwiązania odległe o $\pi$: $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.
Podstawienie
Równania typu $2\sin^2x+\sin x-1=0$ rozwiązujemy przez podstawienie $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$. Pierwiastki spoza tego przedziału odrzucamy.
Argument złożony
W równaniu $\cos2x=\frac12$ podstawiamy $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$ — przedział dwukrotnie dłuższy, więc rozwiązań jest więcej.
Rozkład na czynniki
Równanie $\sin x\cos x=0$ rozwiązujemy, przyrównując każdy czynnik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik znika.
Na co uważać
Uwzględniaj oba znaki przy $\cos^2x=\frac14$. Pilnuj przedziału, w którym szukasz rozwiązań, i pamiętaj o różnych okresach funkcji.
Równania kwadratowe z parametrem
Wyróżnik decyduje o liczbie pierwiastków
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta<0 \Rightarrow \text{brak}$$
Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.
Uwaga na współczynnik wiodący
Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.
Znaki pierwiastków przez Viète'a
Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:
$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$
Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2<0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).
Parabola zawsze dodatnia
Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.
Część wspólna warunków
Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.
Styczność do osi
Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).
Na co uważać
Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.
Dzielenie wielomianów i twierdzenie Bézouta
Twierdzenie Bézouta
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
Kryterium podzielności
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Uwaga na znak
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
Stopnie przy dzieleniu
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Dzielenie pisemne
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Na co uważać
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Schemat Bernoulliego i prawdopodobieństwo całkowite
Schemat Bernoulliego
To ciąg $n$ niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia, w którym rozróżniamy sukces (prawdopodobieństwo $p$) i porażkę ($q=1-p$).
Wzór Bernoulliego
$$P_n(k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$$
Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach. Symbol $\binom{n}{k}$ zlicza rozmieszczenia sukcesów, $p^k q^{n-k}$ to prawdopodobieństwo jednego takiego układu.
Suma wszystkich przypadków
$$\sum_{k=0}^{n}P_n(k)=(p+q)^n=1$$
To wprost dwumian Newtona — wszystkie liczby sukcesów wyczerpują możliwości.
Zdarzenie przeciwne
Przy pytaniach „co najmniej jeden” najłatwiej liczyć przez dopełnienie:
$$P(\ge1)=1-P(0)$$
Zamiast sumować wiele przypadków, odejmujemy jeden.
Prawdopodobieństwo całkowite
Gdy przestrzeń dzieli się na rozłączne zdarzenia $H_1,\dots,H_n$ pokrywające całość:
$$P(A)=\sum_i P(A|H_i)\cdot P(H_i)$$
Każda gałąź drzewa to iloczyn prawdopodobieństw wzdłuż drogi, a wyniki z różnych gałęzi dodajemy.
Drzewo stochastyczne
Pomaga uporządkować obliczenia: mnożymy wzdłuż gałęzi, dodajemy między gałęziami. Suma prawdopodobieństw wychodzących z każdego węzła wynosi $1$.
Na co uważać
Sprawdź niezależność prób i stałość $p$. Przy zdarzeniach rzadkich fałszywe alarmy potrafią przeważać nad prawdziwymi wykryciami — licz ostrożnie.
Układy równań drugiego stopnia
Czym są
To układy, w których co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego — najczęściej jedno liniowe i jedno kwadratowe (np. prosta i parabola albo prosta i okrąg).
Metoda podstawiania
Z równania liniowego wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykład: $y=x^2$ i $y=x+2$ dają $x^2=x+2$.
Interpretacja geometryczna
Rozwiązania układu to współrzędne punktów wspólnych wykresów. Prosta i parabola mogą mieć $0$, $1$ (styczność) lub $2$ punkty wspólne — decyduje o tym wyróżnik równania powstałego po podstawieniu.
Równania dwukwadratowe
$$ax^4+bx^2+c=0$$
Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\ge0$. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, a potem wracamy do $x$. Ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają pierwiastków rzeczywistych.
Suma i iloczyn
Układy typu $x+y=s$, $xy=p$ rozwiązujemy, traktując $x$ i $y$ jako pierwiastki równania $t^2-st+p=0$. To skrót oparty na wzorach Viète'a.
Na co uważać
Przy podstawieniu $t=x^2$ nie zapomnij o warunku $t\ge0$. Sprawdzaj liczbę punktów wspólnych wyróżnikiem — $\Delta=0$ oznacza styczność.
Działania na wyrażeniach wymiernych — skracanie i wspólny mianownik
Dziedzina przede wszystkim
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze na początku i pilnujemy jej przez całe zadanie.
Skracanie
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, a potem skracamy wspólne. Przykład: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (dla $x\neq2$).
Dziedzina zostaje z pierwotnego wyrażenia — punkt wykluczony nie znika po skróceniu.
Mnożenie i dzielenie
Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik (najlepiej skracając przed mnożeniem). Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki. Przy odejmowaniu pamiętaj o nawiasie: $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$, a nie $\frac{a-b}{m}$ z pominiętym znakiem przy $b$.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $4$ dni.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie nawiasu przy odejmowaniu licznika oraz zapomnienie o dziedzinie po skróceniu.
Miara łukowa kąta i okresowość funkcji
Radian
Miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — wielkość bezwymiarowa. Pełny kąt to $2\pi$ radianów:
$$360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi$$
Zamiana jednostek
$$\text{stopnie}\to\text{radiany}:\ \cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{radiany}\to\text{stopnie}:\ \cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Warto znać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
Długość łuku i pole wycinka
$$l=r\alpha,\qquad P=\frac12 r^2\alpha$$
Wzory działają tylko dla kątów w radianach — to główny powód wprowadzenia miary łukowej.
Okresowość
Funkcja jest okresowa o okresie $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$.
Parzystość
Cosinus jest parzysty ($\cos(-x)=\cos x$, wykres symetryczny względem osi $OY$), a sinus nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$, symetryczny względem początku układu).
Na co uważać
Wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ wymagają radianów. Najmniejszy okres dodatni charakteryzuje funkcję — wielokrotności okresu też są okresami.
Własności logarytmów
Definicja
$$\log_a b=c \iff a^c=b \qquad (a>0,\ a\neq1,\ b>0)$$
Logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę.
Wartości szczególne
$$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1$$
Trzy podstawowe własności
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad\text{(iloczyn → suma)}$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad\text{(iloraz → różnica)}$$
$$\log_a x^n=n\log_a x \quad\text{(potęga → mnożnik)}$$
Zmiana podstawy
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Pozwala sprowadzić dowolny logarytm do wygodnej podstawy. Wniosek: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Strategia obliczeń
Trudne logarytmy często upraszczają się dopiero po połączeniu: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$, choć każdy z osobna nie jest „ładny".
Na co uważać
$\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik schodzi przed logarytm. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Kąty w okręgu i styczna do okręgu
Kąt środkowy i wpisany
Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Twierdzenie Talesa o okręgu
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.
Czworokąt wpisany
Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.
Styczna
Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).
Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Twierdzenie Ptolemeusza
$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$
Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.
Na co uważać
Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.
Interpretacja pochodnej — styczna i prędkość
Interpretacja geometryczna
Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Interpretacja fizyczna
Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:
$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$
Podstawowe wzory
$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$
Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.
Znak pochodnej a monotoniczność
$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'<0 \Rightarrow \text{maleje}$$
Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.
Zastosowania
Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.
Na co uważać
Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.
Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Funkcja wykładnicza
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$. Dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0 $$f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\neq1$$ Dziedzina to $(0,+\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$. Przechodzi przez $(1,\ 0)$, asymptota pionowa to oś $OY$ ($x=0$). $\log_a x$ jest funkcją odwrotną do $a^x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$, a punkty charakterystyczne zamienione: $(0,1)$ i $(1,0)$. Dodanie stałej do funkcji ($a^x+q$) przesuwa wykres w pionie — asymptota pozioma przechodzi na $y=q$. Zmiana argumentu ($\log_a(x-p)$) przesuwa w poziomie i zmienia dziedzinę oraz asymptotę pionową. Model wzrostu wykładniczego opisuje procent składany $K(t)=K_0(1+p)^t$, rozpad promieniotwórczy i wzrost populacji. Funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich — zawsze wyznacz dziedzinę.Funkcja logarytmiczna
Funkcje wzajemnie odwrotne
Przesunięcia
Zastosowania
Na co uważać
Pierwiastki wymierne i wykres wielomianu
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeśli ułamek nieskracalny $\frac{p}{q}$ jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to $p$ dzieli wyraz wolny, a $q$ — współczynnik wiodący.
Dla wielomianu unormowanego (wiodący $=1$) pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny — to zawęża listę kandydatów.
Znajdowanie pierwiastków
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego i sprawdzamy je kolejno. Znaleziony pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ (twierdzenie Bézouta) — dzielimy i szukamy dalej wśród reszty.
Krotność pierwiastka
Czynnik $(x-a)^k$ oznacza pierwiastek $a$ o krotności $k$. Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków (licząc z krotnościami).
Zachowanie wykresu w miejscu zerowym
W pierwiastku o krotności nieparzystej wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak. W pierwiastku o krotności parzystej — dotyka osi i odbija się.
Ramiona wykresu
Dla stopnia nieparzystego ramiona idą w przeciwnych kierunkach, dla parzystego — w tę samą stronę. Kierunek zależy od znaku współczynnika wiodącego.
Na co uważać
Pierwiastek $a$ daje czynnik $(x-a)$ — uważaj na znak. Suma kwadratów (np. $x^2+1$) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Strona 16 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.